备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题49 离心率及其范围问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题49 离心率及其范围问题

专题49 离心率及其范围问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线 离心率问题是热点之一.从命题的类型看，有小题，也有大题.一把说来，小题大难度基本处于中低档，而大题中则往往较为简单.小题中单纯考查椭圆、双曲线的离心率的确定较为简单，而将三种曲线结合考查，难度则大些.本文在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明离心率及其范围问题的解法与技巧.‎ ‎1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：‎ ‎（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距.从而可求解 ‎（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解 ‎2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：‎ ‎（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口 ‎（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 ‎（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：‎ ‎【经典例题】‎ 例1.【2017课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 21‎ 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式e＝ ；x/k**w ‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ 例2.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 21‎ 例3.【2019届山东省济南省二模】设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 21‎ ‎∴‎ 故选：A 例4.【2019届云南省昆明第一中学第八次月考】已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线底面右顶点，点是双曲线上一点，平分，且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 例5.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ 21‎ ‎【解析】试题分析：‎ 例6.【2019届重庆市江津中学校4月月考】如图，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，为双曲线的顶点，为双曲线虚轴的端点，为右焦点，延长与交于点，若是锐角，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 21‎ ‎【解析】试题分析：根据∠B1PB2为与夹角，并分别表示出与，由∠B1PB2为钝角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用椭圆的性质，可得到e2-e﹣1>0，即可解得离心率的取值范围．‎ 详解：‎ 如图所示，∠B1PB2为与的夹角；‎ 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，‎ ‎=（a，b），=（c，﹣b），‎ ‎∴1＜e＜，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．‎ 例7.已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值是（ ）‎ 21‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 化简得：‎ 该式可变成：‎ ‎,‎ 故选 点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与的数量关系，最后利用基本不等式求得范围.‎ 例8.【2019届福建省漳州市5月测试】已知直线与椭圆交于、‎ 21‎ 两点，与圆交于、两点．若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据直线的方程判定该直线过定点，且该点是圆的圆心，再利用判定点是线段的中点，再利用点差法进行求解．‎ 详解：将化为，‎ 即直线恒过定点，且该点为圆的圆心，‎ 由，得是的中点，‎ 点睛：1.判定直线过定点的方法：‎ 法一：化为点斜式方程；‎ 法二：分别令，得，解得；‎ 法三：化为，则；‎ ‎2.在处理圆锥曲线的中点弦问题时，利用点差法，可减少运算量，提高解题速度．‎ 21‎ 例9.【2019届河南省名校压轴第二次考试】已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 解得，所以，‎ 所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A．‎ 例10.【2019届河南省名校压轴第二次考试】过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：设出双曲线的左焦点，令x=﹣c，代入双曲线的方程，解得A，B的坐标，讨论∠DAB为钝角，可得＜0，或∠ADB为钝角，可得＜0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围．‎ 21‎ 详解：设双曲线的左焦点F1（﹣c，0），‎ 令x=﹣c，可得y=±=±，‎ 可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），‎ 又设D（0，b），可得=（c，b﹣），‎ ‎=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），‎ 由△ABD为钝角三角形，可能∠DAB为钝角，可得＜0，‎ 化为c4﹣4a2c2+2a4＞0，‎ 由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，‎ 又e＞1，可得e＞．‎ 综上可得，e的范围为（1，）∪（．+∞）．‎ 故答案为：‎ 21‎ 点睛：(1) 本题考查双曲线的离心率的范围及向量数量积的坐标表示. 意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理运算能力.（2）本题的关键是转化为钝角三角形，这里是利用数量积＜0转化的，比较简洁高效.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1．已知椭圆的半焦距为，左焦点为，右顶点为，抛物线与椭圆交于两点，若四边形是菱形，则椭圆的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C 详解：‎ 由题意得，椭圆，为半焦距），‎ 的左焦点为，右顶点为，则，‎ 抛物线于椭圆交于两点，‎ 两点关于轴对称，可设，‎ 四边形是菱形，，则，‎ 将代入抛物线方程得，，‎ 21‎ ‎，则不妨设，再代入椭圆方程，‎ 化简得，由，即有，‎ 解得或（舍去），故选C.‎ ‎2.【2019届湖南师范大学附属中学月考（六）】设椭圆的右焦点为,椭圆上的两点关于原点对称，且满足，则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 整理得，令，得，‎ 又由，得，所以，‎ 所以离心率的取值范围是，故选A.‎ ‎3．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、‎ 21‎ 两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 为，到直线的距离小于，，，则，即，即，则双曲线的离心率的取值范围是，故选A.‎ ‎4．【2019届河南省郑州市第三次预测】已知双曲线的右焦点为为坐标原点，若存在直线过点交双曲线的右支于两点，使，则双曲线离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先求出当直线与x轴垂直时的离心率，再求出当直线与渐近线平行时这一极端情况下的离心率，由此可得所求的范围．‎ 21‎ 若直线平行于渐近线时，直线的斜率为，直线方程为，‎ 代入双曲线方程可得点A的坐标为，‎ ‎∴的斜率为，‎ 又此时有，‎ ‎∴，‎ 整理得，解得．‎ 但此时直线与双曲线的右支只有一个交点，不合题意．‎ ‎∴双曲线离心率的取值范围是．‎ ‎5．【2019届山东省烟台市高考练习（二）】已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.‎ 21‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．‎ 详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 因为在椭圆上，且为椭圆的焦点，‎ 所以，解得或（舍去），‎ 所以，所以离心率为．‎ ‎6．已知， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且为直角，椭圆的离心率为 21‎ ‎，双曲线的离心率，则的值为_________．‎ ‎【答案】2.‎ 故答案为：2.‎ ‎7．【2019届江西省上饶市三模】已知两定点和，动点在直线：上移动，椭圆以，为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：作出直线y=x+2，过A作直线y=x+2的对称点C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由离心率公式即可得到．‎ 详解：由题意知c=1，离心率e=，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则c=1，‎ 21‎ 对应的离心率e有最大值．‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质和点线对称问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的分析转化能力. (2)解答本题的关键是求a的最小值.本题求|PA|+|PB|的最小值，利用了对称的思想.求点P关于直线l的对称点时，直线l实际上是线段垂直平分线，根据垂直平分得到一个方程组，即可求出点的坐标.‎ ‎8．【2019届福建省三明市5月测试】已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ 21‎ 又 即，得：‎ ‎∴方程有大于的根 ‎∴‎ 得，又 ‎∴‎ 故答案为：‎ ‎9．如图所示，‎ 21‎ 椭圆中心在坐标原点，为左焦点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于___________.‎ ‎【答案】.‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴黄金双曲线”的离心率e等于．‎ 点睛：本题考查类比推理和双曲线离心率的求法，解题的关键是得到“黄金双曲线”的特征，得到相关点的坐标后将这一特征转化为的关系式，构造出关于离心率的方程，解方程可得所求，解题时要注意双曲线的离心率大于1这一条件．‎ ‎10．【2019届5月第三次全国大联考】已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线交于点．设直线的斜率为，若，则双曲线的离心率的取值范围为______________．‎ 21‎ ‎【答案】‎ ‎11．【百校联盟TOP202019届高三四月联考】已知是椭圆上关于原点对称的两点，若椭圆上存在点，使得直线斜率的绝对值之和为1，则椭圆的离心率的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由是椭圆上关于原点对称的两点，易知斜率之积为定值，结合均值不等式即可建立关于的不等式，从而得到椭圆的离心率的取值范围.‎ 详解：不妨设椭圆C的方程为,,则，‎ 所以，,两式相减得，所以，所以直线斜率的绝对值之和为，由题意得，，所以=4，即，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎12．【2019届云南省曲靖市第一中学4月监测卷（七）】已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 21‎ 则，‎ 即，‎ 设，因为点到直线的距离不小于，‎ 所以，即，‎ 即，即，‎ 即椭圆离心率的取值范围是．‎ 点睛：（1）在处理涉及椭圆或双曲线的点和焦点问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义进行转化，可起到事半功倍的效果；‎ ‎（2）在求椭圆的离心率时，往往用到如下转化：‎ ‎．‎ 21‎