高考数学题型全归纳判定等差数列的方法

高考数学题型全归纳判定等差数列的方法

判定等差数列的方法 ‎　　本文介绍判定等差数列的方法，目的在于深刻理解等差数列的定义，灵活运用有关知识，为解有关数列的综合题奠定基础．那么怎样判定等差数列呢？‎ ‎　　一、定义法 ‎　　如果一个数列{an}满足an+1－an＝常数，则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证数列是等差数列，只需证明an+1－an＝常数，这种方法叫做定义法．‎ ‎　　例1 已知数列{an}是等差数列，而数列{bk}的通项公式为 ‎　　‎ ‎　　证明 设数列{an}的公差为d，则有 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　二、通项公式法 ‎　　大家知道，等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．反之如果数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则数列{an}是等差数列．这样，数列{an}为等差数列的充分必要条件是an＝a1＋(n－1)d．因此通项公式也是判定等差数列的好方法．‎ ‎　　‎ ‎　　求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎　　证明 设等比数列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ - 2 -‎ ‎　　三、等差中项法 ‎　　三数a，A，b成等差数列，即‎2A＝a＋b，A叫a，b等差中项．反之，若‎2A＝a＋b，则a，A，b成差数列．因此，我们常用后一结论来判定等差数列．‎ ‎　　例3 已知x，y，z成等差数列，求证x2(y＋z)，y2(x＋z)，z2(x＋y)也成等差数列．‎ ‎　　证明 ∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)‎ ‎　　＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y ‎　　＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)‎ ‎　　＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)‎ ‎　　＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3．‎ ‎　　而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3，‎ ‎　　∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)．‎ ‎　　故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列．‎ ‎　　有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再求解．至于证明时选用哪个方法，应因题而异．‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　解 因为数列的第k项 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　大，必须前k项非负，而从第k＋1项起以后各项都是负数，因此k适合下列条件：‎ ‎　　由①得k≤14.2，由②得k＞13.2，‎ ‎　　所以，13.2＜k≤14.2．‎ ‎　　由于k为自然数，故k＝14，即该数列前14项的和最大．‎ ‎　　‎ ‎ ‎ - 2 -‎