2015高考数学人教A版本（5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，且O是△ABC的外心，则·＝( )
A．6 B．－6 C．8 D．－8
[答案] D
[解析] ∵AB2＝AC2＋BC2，∴∠ACB为直角，
∵O为△ABC外心，
∴·＝－·＝－(＋)·
＝－||2－·＝－8.
(理)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 由条件知AB＝2，CD＝1，BC＝，
∴MB＝MC＝，
∴·＝||·||·cos45°＝×2×＝1，
·＝||·||·cos135°
＝×1×＝－，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－2＋＋1＋2×1＝2，故选B.
2．(文)已知A、B、C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sinA,1)，q＝(1，－cosB)，则p与q的夹角是( )
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
[答案] A
[解析] 解法1：p·q＝sinA－cosB，若p与q夹角为直角，则p·q＝0，∴sinA＝cosB，∵A、B∈，∴A＝B＝，则C＝，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，∴sinA
这与条件矛盾，∴p与q的夹角为锐角．
解法2：由题意可知A＋B>⇒A>－B⇒sinA>sin(－B)＝cosB⇒p·q＝sinA－cosB>0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角．
(理)(2013·乌鲁木齐第一次诊断)△ABC中，若(＋)·＝||2，则的值为( )
A．2 B．4 C. D．2
[答案] B
[解析] 设△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，由(＋)·＝||2得，·＋·＝||2，即bccos(π－A)＋accosB＝c2，∴acosB－bcosA＝c，由正弦定理得sinAcosB－cosAsinB＝sinC＝sin(A＋B)＝(sinAcosB＋cosAsinB)，即sinAcosB＝4cosAsinB，∴＝4.
3．(文)如果A是抛物线x2＝4y的顶点，过点D(0,4)的直线l交抛物线x2＝4y于B、C两点，那么·等于( )
A. B．0 C．－3 D．－
[答案] B
[解析] 由题意知A(0,0)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，直线l：y＝kx＋4，
由消去y得，x2－4kx－16＝0，
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，
∴y1·y2＝(kx1＋4)(kx2＋4)＝k2x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16k2＋16k2＋16＝16，
∴·＝x1x2＋y1y2＝0.
(理)(2014·襄阳一中检测)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，且与另一条渐近线交于点B，若＝2，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
[答案] D
[解析] 设∠FOA＝α，∵OA⊥FB，且＝2，∴OA为FB的中垂线，∴∠FOB＝2α，∵tanα＝，tan2α＝－，
∴＝－，∴()2＝3，∴＝3，
∴e＝＝2.
4．(2012·河北郑口中学模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )
A. B. C. D.
[答案] C
[解析] 如图，＋＝＝2，∵＋＋2＝0，∴＋＝0，∴P为AD的中点，
∴所求概率为P＝＝.
5．(文)已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为( )
A．(－3,0) B．(3,0)
C．(2,0) D．(4,0)
[答案] B
[解析] 设P(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴当x＝3时·有最小值，
∴P(3,0)．
(理)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则·(O为坐标原点)等于( )
A．－7 B．－14 C．7 D．14
[答案] A
[解析] 记、的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于＝1，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，∴·＝3×3cos2θ＝－7，选A.
6．(2013·荆州市质检)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，若点P为△ABC的外心，则·的值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[答案] C
[解析] ∵cos∠BAP＝＝＝，∴·＝||·||cos∠BAP＝，同理·＝，∵＝－，∴·＝·－·＝－＝－＝6.
二、填空题
7．(文)
(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则·＝________.
[答案] －
[解析] ·＝(＋)·(－)＝||2－||2－·＝1－2－×1×2·cos60°＝－.
(理)
如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值为________．
[答案] －
[解析] 设PC＝x，则0≤x≤3.(＋)·＝2·＝－2x×(3－x)＝2x2－6x＝2(x－)2－，所以(＋)·的最小值为－.
8．(2013·山西诊断)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tanB＝，·＝，则tanB＝________.
[答案] 2－
[解析] 依题意及余弦定理得(a2＋c2－b2)tanB＝2accosB·tanB＝2acsinB＝2－，又·＝accosB＝，于是有＝2－，即tanB＝2－.
9．(2013·云南文山一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝1，＝，则·的值为________．
[答案] －
[解析] ∵＝，∴D为BC的中点，∴＝(＋)，＝＝(－)，·＝(2－2)＝－.
三、解答题
10．(文)(2014·树德中学检测)已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，f(x)＝·.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0，]时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值．
[解析] (1)∵＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)，＝(cosx，－1)，
∴f(x)＝·＝(2cosx＋1)cosx－(cos2x－sinx＋1)
＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1
＝cosx＋sinx＝sin(x＋)，
∴函数f(x)最小正周期T＝2π.
(2)∵x∈[0，]，
∴x＋∈[，]，
∴当x＋＝，
即x＝时，f(x)＝sin(x＋)取到最大值.
(理)(2014·漳县二中月考)已知向量a＝(sinθ，cosθ)与b＝(，1)，其中θ∈(0，)．
(1)若a∥b，求sinθ和cosθ的值；
(2)若f(θ)＝(a＋b)2，求f(θ)的值域．
[解析] (1)∵a∥b，∴sinθ·1－cosθ＝0，
求得tanθ＝.
又∵θ∈(0，)，∴θ＝.∴sinθ＝，cosθ＝.
(注：本问也可以结合sin2θ＋cos2θ＝1或化为2sin(θ－)＝0来求解)
(2)f(θ)＝(sinθ＋)2＋(cosθ＋1)2
＝2sinθ＋2cosθ＋5＝4sin(θ＋)＋5，
又∵θ∈(0，)，θ＋∈(，)，
0)的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝8x
[答案] A
[解析] ∵F(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由＋＋＝0得，
(x1－)＋(x2－)＋(x3－)＝0，
∴x1＋x2＋x3＝p.
又由抛物线定义知，
||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋(x3＋)＝3p＝3，∴p＝1，
因此，所求抛物线的方程为y2＝2x，故选A.
(理)设F1、F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于( )
A．0 B．2 C．4 D．－2
[答案] D
[解析] 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××F1F2·h (h为F1F2边上的高)，所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos120°
＝2×2×(－)＝－2.
13．(2012·浙江省样本学校测试)如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝3，AC＝5，BC＝，则·等于( )
A．－8 B．－1 C．1 D．8
[答案] D
[解析]
取BC的中点M，连接AM、OM，
·＝(＋)·＝·
＝·(－)＝＝8，故选D.
二、填空题
14．(2013·兰州名校检测)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(a1b1，a2b2)，已知向量m＝(2，)，n＝(，0)，点P(x，y)在y＝sinx的图象上运动．Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，则函数y＝f(x)的值域是________．
[答案] [－，]
[解析] 令Q(c，d)，由新的运算可得＝m⊗＋n＝(2x，sinx)＋(，0)＝(2x＋，sinx)，，消去x得d＝sin(c－)，所以y＝f(x)＝sin(x－)，易知y＝f(x)的值域是[－，]．
15．(文)已知M是△ABC内的一点，且·＝2，∠BAC＝30°，若△MBC、△MCA和△MAB的面积分别为、x、y，则＋的最小值是________．
[答案] 18
[解析] ∵·＝2，∴bccosA＝2，
∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，
∴S△ABC＝1，∴x＋y＝，
＋＝＋＝(＋)＋10≥18.
等号成立时，∴x＝，y＝，
∴在时，＋取得最小值18.
(理)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝(＋)，则双曲线的离心率为________．
[答案]
[解析] ∵PF与圆x2＋y2＝相切，∴OE⊥PF，且OE＝，∵＝(＋)，∴E为PF的中点，又O为FF2的中点，∴|PF2|＝2|OE|＝a，由双曲线定义知，|PF|＝|PF2|＋2a＝3a，在Rt△PFF2中，|PF|2＋|PF2|2＝|FF2|2，∴a2＋9a2＝4c2，∴e2＝，
∵e>1，∴e＝.
三、解答题
16．(文)(2013·衡水中学六模)在平面直角坐标系中，已知点A(，0)，向量e＝(0,1)，点B为直线x＝－上的动点，点C满足2＝＋，点M满足·e＝0，·＝0.
(1)试求动点M的轨迹E的方程；
(2)设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆(x－1)2＋y2＝1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．
[解析] (1)设M(x，y)，B(－，m)，则＝(x＋，y－m)，
∵2＝＋＝(，0)＋(－，m)＝(0，m)，
∴C(0，)，
e＝(0,1)，＝(x，y－)，＝(－1，m)，
由·e＝0，·＝0得消去m得y2＝2x.
所以动点M的轨迹E的方程为y2＝2x.
(2)设P(x0，y0)，R(0，b)，N(0，c)，且b>c，
∴lPR：y＝x＋b，
即lPR：(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，
由直线PR与圆相切得，＝1，注意到x0>2，化简得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，
同理得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，
所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，
所以|b－c|＝＝，
有S△PRN＝··x0＝(x0－2)＋＋4≥8，当x0＝4时△PRN的面积的最小值为8.
(理)(2013·哈尔滨九中月考)如图，已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)．
(1)若动点M满足·＋||＝0，求点M的轨迹C；
(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(1)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间)，试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．
[解析] (1)由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.
∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1，
故直线l的方程为y＝x－1，∴点A坐标为(1,0)．
设M(x，y)，则＝(1,0)，＝(x－2，y)，＝(x－1，y)，
由·＋||＝0得(x－2)＋y·0＋·＝0，
整理，得＋y2＝1.
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2的椭圆．
(2)由题意知直线l′的斜率存在且不为零，
设l′的方程为y＝k(x－2)(k≠0)①，
将①代入＋y2＝1中，整理得(2k2＋1)x2－8k2x＋(8k2－2)＝0，
由Δ>0得0
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