高考数学专题基本初等函数理
专题2.3 基本初等函数
【三年高考】
1. 【2017课标1，理11】设x、y、z为正数，且，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
【答案】D
【解析】试题分析：令，则，，
∴，则，，则，故选D.
2. 【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，从而是上的偶函数，且在上是增函数，，，又，则，所以即，
，所以，故选C．
3. 【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：lg3≈0.48）
（A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093
【答案】D
4. 【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
5．【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .
【答案】
【解析】设，因为，因此
6．【2016高考上海理数】已知点在函数的图像上，则.
【答案】
【解析】将点带入函数的解析式得，所以，用表示得，所以.
7．【2016高考天津理数】已知函数f（x）=（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{}
【答案】C
8．【2016高考上海理数】已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
【解析】（1）由，得，解得．
（2），，当时，，经检验，满足题意．当时，，经检验，满足题意．当且时，，，．是原方程的解当且仅当，即；是原方程的解当且仅当，即．于是满足题意的．综上，的取值范围为．
（3）当时，，，所以在上单调递减．函数在区间上的最大值与最小值分别为，． 即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．
9.【2015高考四川，理8】设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）
（A） 充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.
10.【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
11.【2015高考浙江，理18】已知函数，记是在区间上的最大值.
（1） 证明：当时，；
（2）当，满足，求的最大值.
【解析】（1）由，得对称轴为直线，由，得
，故在上单调，∴，当时，由
，得，即，当时，由
，得，即，综上，当时，
；（2）由得，，故，，由，得，当，时，，且在上的最大值为，即，∴的最大值为..
【2017考试大纲】
1.指数函数
(1)了解指数函数模型的实际背景.
(2)理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
(3)理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点.
(4)知道指数函数是一类重要的函数模型.
2.对数函数
(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点.
(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.
a
(4)了解指数函数 与对数函数互为反函数.
3.幂函数
(1)了解幂函数的概念.
(2)结合函数的图像,了解它们的变化情况.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对基本初等函数的考查，大部分是以基本初等函数的性质为依托，结合运算推理解决问题，高考中一般以选择题和填空的形式考查.纯基本初等函数的试题，一般考查指对数式的基本运算性质.
【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式 , 幂函数新课标要求较低，只要求掌握幂函数的概念，图像与简单性质，仅限于几个特殊的幂函数，关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.指数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.对指数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握指数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.高考题目形式多以指数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.对数函数在历年的高考题中占据着重要的地位.从近几年的高考形势来看，对对数函数的考查，大多以基本函数的性质为依托
，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题.为此，我们要熟练掌握对数运算法则，明确算理，能对常见的对数型函数进行变形处理.高考题目形式多以对数函数为载体的复合函数来考察函数的性质.同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大.基本初等函数是考察函数、方程、不等式很好的载体，
预测2018年高考继续会对基本初等函数图象和性质的考察.尤其注意以基本初等函数特别是指对函数为模型的抽象函数的考察，这种题型只给出定义域内满足某些运算性质的法则，往往集定义域、值域、单调性、奇偶性与一身，全面考察学生对函数概念和性质的理解.
【2018年高考考点定位】
高考对基本初等函数的考查有三种主要形式：一是比较大小；二是基本初等函数的图象和性质；三是基本初等函数的综合应用，其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系.
【考点1】指数值、对数值的比较大小
【备考知识梳理】
指数函数，当时，指数函数在单调递增；当时，指数函数在单调递减.
对数函数，当时，对数函数在单调递增；当时，对数函数在单调递减.
幂函数图象永远过（1,1），且当时，在时，单调递增；当时，在时，单调递减.
【规律方法技巧】
指数值和对数值较大小，若指数值有底数相同或指数相同，可以考虑构造指数函数和幂函数和对数函数，通过考虑单调性，进而比较函数值的大小；其次还可以借助函数图象比较大小.若底数和指数不相同时，可考虑选取中间变量，指数值往往和1比较；对数值往往和0、1比较.
【考点针对训练】
1. 【吉林省实验中学2017届高三第九次模拟】已知，则的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
2. 【天津市耀华中学2017届高三第一次校模拟】若， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得： ，则： .
本题选择A选项.
【考点2】指数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
y＝ax
a>1
0
0时，y>1；x<0时，00时，01
过定点(0,1)
在(－∞，＋∞)上是增函数
在(－∞，＋∞)上是减函数
【规律方法技巧】
1、 研究指数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同.
2、与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．
3、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解．
【考点针对训练】
1. 【云南省民族中学2017届高三适应性考试（三）】设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则__________．
【答案】
2．【山西省临汾第一中学2017届高三全真模拟】已知函数，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.
【考点3】对数的运算性质和对数函数的图象和性质
【备考知识梳理】
1．对数的定义:如果，那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫做真数．
2．对数的性质与运算及换底公式
(1)对数的性质：①；②；③
(2)对数的换底公式:基本公式 (a，c均大于0且不等于1，b>0)．
(3)对数的运算法则：如果，，那么
①，②，③ ()．
3．对数函数的图像与性质
a>1
01时，y>0；
正负
当00
当x>1时，y<0；
【规律方法技巧】
1、 研究对数函数性质时，一定要首先考虑底数的范围，分和两种情况讨论，因为两种情况单调性不同，相应地图象也不同，同时要注意定义域.
2、对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
3、一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
【考点针对训练】
1. 【山东省烟台市2017届高三适应性练习（二）】已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，.
；∴g(x)在R上单调递增，∴由f(3x+1)+f(x)>4,得g(3x+1)-2+g(x)-2>0.则g(3x+1)>g(−x).∴3x+1>−x，解得.∴原不等式的解集为.本题选择B选项.
2．【河北省石家庄市2017届高三冲刺】已知定义在上的奇函数，当时， ，则使得成立的的取值范围为__________．
【答案】
【解析】当时， 在单调递增，又因为定义在上的奇函数，所以单调递增，由，所以，得。填.
【考点4】二次函数的图象和性质
【备考知识梳理】
二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
单调性
在x∈上单调递减；在x∈上单调递增
在x∈上单调递减在x∈上单调递增
对称性
函数的图象关于x＝－对称
【规律方法技巧】
1、分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．
2、抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.
【考点针对训练】
1．【2017湖南衡阳三次联考】《数学统综》有如下记载：“有凹钱，取三数，小小大，存三角”.意思是说“在凹（或凸）函数（函数值为正）图象上取三个点，如果在这三点的纵坐标中两个较小数之和最大的数，则存在将这三点的纵坐标值作为三边长的三角形”.现已知凹函数，在上取三个不同的点， ， ，均存在为三边长的三角形，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，∵，∴或， ，故选A.
2. 【2017重庆二诊】已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
【答案】B
【解析】由已知， ，令，解得或，则函数在和上单调递增，在上单调递减，极大值，最小值.综上可考查方程的根的情况如下（附函数图）：（1）当或时，有唯一实根；
（2）当时，有三个实根；（3）当或时，有两个实根；（4）当时，无实根.令，则由，得，当时，由，符号情况（1），此时原方程有1个根，由，而，符号情况（3），此时原方程有2个根，综上得共有3个根；当时，由，又，符号情况（1）或（2），此时原方程有1个或三个根，由，又，符号情况（3），此时原方程有两个根，综上得共1个或3个根.综上所述， 的值为1或3.故选B.
【考点5】幂函数的图象和性质
【备考知识梳理】
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)幂函数的图象比较
(3)幂函数的性质比较
特征
函数
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x∈R且x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
增
x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减
增
增
x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减
【规律方法技巧】
1．幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．
2．在
上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【考点针对训练】
1.已知幂函数的图象过点，则（ ）
A． B． C． D．与大小无法判定
【答案】A
【解析】设，则，，即，在上是减函数，所以．故选A．
2. 【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】．已知：幂函数在上单调递增； ，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【应试技巧点拨】
1.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、倍．
2．指数函数且与对数函数且互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
3．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质,要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．
4.求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为与内层函数相关的问题加以解决．
5.指数函数且的图象和性质与的取值有关，要特别注意区分与来研究．
6．对可化为或形式的方程或不等式，常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围．
7．指数式且与对数式且的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．
8．在运算性质 且时，要特别注意条件，在无的条件下应为 (，且为偶数)．
9.幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
1.【2017届河南省新乡市高三第二次模拟】设， ， ，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由于，所以三数的大小关系是，应选答案B.
2. 【四川省师范大学附属中学2017届高三下学期5月模拟】已知函数的定义域为且满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，可得 ，由 ，得 ，而 ，所以 ，
，故选D.
3. 【云南省师范大学附属中学2017届高考适应性月考（八）】若偶函数在上单调递减， ， ， ，则满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，所以， ，因为偶函数在上单调递减，所以在上单调递增， ，所以，故选B．
4. 【吉林省实验中学2017届高三上学期第二次模拟】已知 是方程的根， 是方程的根，则 的值为
A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 1009
【答案】C
5. 【山东省日照市2017届高三下学期第二次模拟】函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以.根据二次函数的性质可知，不等式 的解集为，故选D
6. 【河北省2017届衡水中学押题卷】定义在上的函数满足，且当时， ，对， ，使得，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知问题等价于函数在上的值域是函数在上的值域的子集．当时， ，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时， ．则在的值域为．当时， ，则有，解得，当时， ，不符合题意；当时， ，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选．
7. 【2017届上海市虹口区高三4月二模】已知函数， 、、，且
， ， ，则的值（______）
A.一定等于零． B.一定大于零． C.一定小于零． D.正负都有可能．
【答案】B
【解析】由已知可得 为奇函数，且在 上是增函数，由
，同理可得，
.
8. 【山东省枣庄市第三中学2017届高三全市“二调”】已知定义在上的函数满足， ，且当时， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 【四川省成都市9校2017届高三第四次联合】已知函数（， 为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数与（为自然对数的底数）的图象上存在关于直线对称的点，所以函数与的图象有公共点，则有解，即有解，令，则在成立， 在上成立，即在单调递减，在
上单调递增，且，所以；故选A.
10. 【内蒙古集宁一中2017届高三第一次月考】设是定义在上的周期为的函数，当时， ，则____________.
【答案】1
【解析】由题意可得： .
11. 【2016届山东省济宁市高三下学期3月模拟】定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 由题意可得，即函数是周期为4的周期函数，又是上的奇函数，在上，故
12. 【2016届浙江省杭州市高三第二次质检】若直线与函数的图象及轴分别交于三点，若，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．
【答案】C
【解析】由题意可知，,
或， 或，或.故选C.
13. 【2016届山东省枣庄市高三12月】2若函数的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的图象可知，函数，则下图中对于选项A，是减函数，所以A错误；对于选项B,的图象是正确的,故选B．
14. 【2016届四川南充高中高三4月模拟三】已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
15. 【2016届山东省济宁市高三下学期3月模拟】若函数图象上不同两点关于原点对称，则称点对是函数的一对“和谐点对”（点对与看作同一对“和谐点对”），已知函数，则此函数的“和谐点对”有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
【答案】
【解析】由题意知函数关于原点对称的图象为，即作出两个函数的图象如图，
由图象可知两个函数在上的交点个数只有2个，所以函数的“和谐点对”有2个，故选B．
【一年原创真预测】
1. 已知函数是奇函数，则方程的根为（ ）
A． B． C. ， D．，
【答案】B
【解析】因为函数为上的奇函数，所以，即，解得.所以.方程，即.当时，有，整理得，解得.综上，方程的根为，故选B.
【入选理由】本题考查函数的奇偶性、分段函数求值以及对数运算等基础知识，意在考查基本的运算能力.此题难度不大,考查基础，故选此题.
2. 设，是不相等的两个正数，且，则的取值范围为（ ）
A.B. C.D.
【答案】D
【解析】由已知可得.设，则
.当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.如图，作出函数的图象，由题意，所以为方程的两个不同的解.不妨设，则，故，所以.故选D.
【入选理由】本题考查条件代数式的取值范围、对数函数、函数的单调性与单调性的应用等，意在考查基本的逻辑推理能力和运算能力、数学的应用意识等.此题通过转化，将等式问题转化为函数问题，故选此题.
3. 已知函数，若命题：存在∈(-∞,2]，使≤0为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知∈(-∞,2]，使＞0是真命题，即在(-∞,2]上是增函数，所以，解得，故选A．
【入选理由】本题考查二次函数、函数的单调性的判断，命题等，意在考查基本的逻辑推理能力和运算能力、数学的应用意识等.此题难度不大，符合高考考试题型，故选此题.
4. 函数是定义在上的奇函数，对任意的，满足且当时，_________.
【答案】
【解析】由已知得，所以函数的周期,
，而，所以.
【入选理由】本题考查函数周期性、对数运算等基础知识，意在考查转化与化归、运算求解能力．此题难度不大，故选此题.
5. 已知函数，则不等式的解集为
【答案】
【解析】画出函数的图像如图，结合图像可以看出当时，.则问题转化为，即，也即，所以.
【入选理由】本题考查函数的图像和性质及对数不等式的解法等基础知识，意在考查转化化归思想、数形结合思想及运算求解能力和分析问题解决问题的能力.本题综合考查了对数函数的性质，出题角度新，故选此题.
