2014步步高高考数学第一轮复习04两角和与差的正弦余弦正切

2014步步高高考数学第一轮复习04两角和与差的正弦余弦正切

‎§4.5　两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎2014高考会这样考　1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质．‎ 复习备考要这样做　1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．‎ ‎1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(Cα－β)‎ cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(Cα＋β)‎ sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(Sα－β)‎ sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(Sα＋β)‎ tan(α－β)＝　(Tα－β)‎ tan(α＋β)＝　(Tα＋β)‎ ‎2． 二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ tan 2α＝.‎ ‎3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，‎ tan αtan β＝1－＝－1.‎ ‎4． 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．‎ ‎[难点正本　疑点清源]‎ 三角变换中的“三变”‎ ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．‎ ‎1． 已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为_______．‎ 答案　 解析　由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－，‎ 得sin αcos β＝，cos αsin β＝，‎ 所以＝＝.‎ ‎2． 函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为______________________．‎ 答案　 (k∈Z)‎ 解析　f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x ‎＝2×＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋1‎ ‎＝sin＋1，‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以所求区间为 (k∈Z)．‎ ‎3． (2012·江苏)设α为锐角，若cos＝，则 sin的值为________．‎ 答案　 解析　∵α为锐角且cos＝，‎ ‎∴sin＝.‎ ‎∴sin＝sin ‎＝sin 2cos －cos 2sin ‎＝sincos－ ‎＝××－ ‎＝－＝.‎ ‎4． (2012·江西)若＝，则tan 2α等于 (　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由＝，等式左边分子、分母同除cos α得，＝，解得tan α＝－3，则tan 2α＝＝.‎ ‎5． (2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ等于 (　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　sin(＋θ)＝(sin θ＋cos θ)＝，‎ 将上式两边平方，得(1＋sin 2θ)＝，∴sin 2θ＝－.‎ 题型一　三角函数式的化简、求值问题 例1　(1)化简：‎ ·；‎ ‎(2)求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·.‎ 思维启迪：切化弦；注意角之间的联系及转化．‎ 解　(1)· ‎＝· ‎＝· ‎＝·＝.‎ ‎(2)原式＝·sin 80°‎ ‎＝×cos 10°‎ ‎＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ 探究提高　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有 ‎①化为特殊角的三角函数值；‎ ‎②化为正、负相消的项，消去求值；‎ ‎③化分子、分母出现公约数进行约分求值．‎ ‎ 在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tan ＋tan ＋tan tan 的值为________．‎ 答案　 解析　因为三个内角A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，所以A＋C＝，＝，tan ＝，‎ 所以tan ＋tan ＋tan tan ‎＝tan＋tan tan ‎＝＋tan tan ＝.‎ 题型二　三角函数的给角求值与给值求角问题 例2　(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．‎ 思维启迪：(1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．‎ ‎(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.‎ 解　(1)∵0<β<<α<π，‎ ‎∴－<－β<，<α－<π，‎ ‎∴cos＝＝，‎ sin＝＝，‎ ‎∴cos ＝cos ‎＝coscos＋sinsin ‎＝×＋×＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝ ‎＝＝>0，∴0<α<，‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，‎ ‎∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.‎ 探究提高　(1)注意变角－＝，可先求cos 或sin 的值．(2)先由tan α＝tan[(α－β)＋β]，求tan α的值，再求tan 2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ ‎(4)解这类问题的一般步骤：‎ ‎①求角的某一个三角函数值；‎ ‎②确定角的范围；‎ ‎③根据角的范围写出所求的角．‎ ‎ 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.‎ 解　∵0<β<α<，∴0<α－β<.‎ 又∵cos(α－β)＝，cos α＝，0<β<α<，‎ ‎∴sin α＝＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝，‎ ‎∴cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ ‎∵0<β<，∴β＝.‎ 题型三　三角变换的简单应用 例3　已知f(x)＝sin2x－2sin·sin.‎ ‎(1)若tan α＝2，求f(α)的值；‎ ‎(2)若x∈，求f(x)的取值范围．‎ 思维启迪：(1)化简f(x)，由tan α＝2代入求f(α)；(2)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式，求f(x)的取值范围．‎ 解　(1)f(x)＝(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·‎ cos ‎＝＋sin 2x＋sin ‎＝＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x ‎＝(sin 2x＋cos 2x)＋.‎ 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝.‎ cos 2α＝＝＝－.‎ 所以，f(α)＝(sin 2α＋cos 2α)＋＝.‎ ‎(2)由(1)得f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)＋ ‎＝sin＋.‎ 由x∈，得≤2x＋≤.‎ ‎∴－≤sin≤1,0≤f(x)≤，‎ 所以f(x)的取值范围是.‎ 探究提高　(1)将f(x)化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin 2α，cos 2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎ 已知函数f(x)＝sin＋‎ ‎2sin2 (x∈R)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．‎ 解　(1)因为f(x)＝sin＋1－cos 2 ‎＝2[sin－cos]＋1‎ ‎＝2sin＋1＝2sin＋1，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，‎ 此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，‎ 所以所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．‎ 利用三角变换研究三角函数的性质 典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cos x·‎ sin－1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ 审题视角　(1)问首先化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的形式，由T＝求得；(2)问由x∈求得ωx＋φ的范围，从而求得最值．‎ 规范解答 解　(1)因为f(x)＝4cos xsin－1‎ ‎＝4cos x－1‎ ‎＝sin 2x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，[4分]‎ 所以f(x)的最小正周期为π.[6分]‎ ‎(2)因为－≤x≤，‎ 所以－≤2x＋≤.[8分]‎ 于是，当2x＋＝，‎ 即x＝时，f(x)取得最大值2；[10分]‎ 当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.[12分]‎ 答题模板 第一步：将f(x)化为asin x＋bcos x的形式．‎ 第二步：构造f(x)＝(sin x·＋‎ ‎ cos x·)．‎ 第三步：和角公式逆用f(x)＝sin(x＋φ) (其中 ‎ φ为辅助角)．‎ 第四步：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质．‎ 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ 温馨提醒　(1)在本题的解法中，运用了二倍角的正、余弦公式，还引入了辅助角，技巧性较强．值得强调的是辅助角公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)，或asin α＋bcos α＝ cos(α－φ) (其中tan φ＝)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注．‎ ‎(2)本题的易错点是想不到引入辅助角或引入错误．‎ 方法与技巧 ‎1． 巧用公式变形：‎ 和差角公式变形：tan x±tan y＝tan(x±y)·(1∓tan xtan y)；‎ 倍角公式变形：降幂公式cos2α＝，sin2α＝；‎ 配方变形：1±sin α＝2,1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.‎ ‎2． 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(其中tan φ＝)有≥|y|.‎ ‎3． 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ ‎4． 已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．‎ ‎5． 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．‎ 失误与防范 ‎1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“‎1”‎的各种变通．‎ ‎2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝所对应的角α＋β不是唯一的．‎ ‎3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟，满分：57分)‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1． (2012·江西)若tan θ＋＝4，则sin 2θ等于 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由tan θ＋＝＋＝＝4，‎ 得sin θcos θ＝，‎ 则sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×＝.‎ ‎2． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于 (　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　方法一　∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－.‎ 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝>0，‎ ‎∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，‎ ‎∴4kπ＋π<2α<4kπ＋π(k∈Z)，‎ ‎∴2α为第三象限角，‎ ‎∴cos 2α＝－＝－.‎ 方法二　由sin α＋cos α＝，‎ 两边平方得1＋2sin αcos α＝，‎ ‎∴2sin αcos α＝－.‎ ‎∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，‎ ‎∴sin α－cos α＝ ‎＝＝.‎ 由得 ‎∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎3． 已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝， 则α＋β等于 (　　)‎ A. B. C.和 D．－和－ 答案　A 解析　由于α，β都为锐角，所以cos α＝＝，‎ cos β＝＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，‎ 所以α＋β＝.‎ ‎4． (2011·福建)若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵α∈，且sin2α＋cos 2α＝，‎ ‎∴sin2α＋cos2α－sin2α＝，∴cos2α＝，‎ ‎∴cos α＝或－(舍去)，‎ ‎∴α＝，∴tan α＝.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎5． cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值为________．‎ 答案　 解析　由诱导公式及倍角公式，‎ 得cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°‎ ‎＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°‎ ‎＝1＋sin 30°＝.‎ ‎6. ＝________.‎ 答案　－4 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝＝－4.‎ ‎7． sin α＝，cos β＝，其中α，β∈，则α＋β＝____________.‎ 答案　 解析　∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)，‎ ‎∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝×－×＝0，∴α＋β＝.‎ 三、解答题(共22分)‎ ‎8． (10分)已知－＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．‎ 解　因为－ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝ ‎＝，‎ 所以＝－2tan α＝－.‎ 所以sin α＝0或|cos α|＝－cos α>0.‎ 故α的取值集合为{α|α＝kπ或2kπ＋<α<2kπ＋π或2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z}．‎ ‎9． (12分)已知α∈，且sin ＋cos ＝.‎ ‎(1)求cos α的值；‎ ‎(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．‎ 解　(1)因为sin ＋cos ＝，‎ 两边同时平方，得sin α＝.‎ 又<α<π，所以cos α＝－.‎ ‎(2)因为<α<π，<β<π，‎ 所以－π<－β<－，故－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.‎ cos β＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)‎ ‎＝－×＋×＝－.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：25分钟，满分：43分)‎ 一、选择题(每小题5分，共15分)‎ ‎1． (2012·山东)若θ∈，sin 2θ＝，则sin θ等于 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　∵θ∈，∴2θ∈.‎ ‎∴cos 2θ＝－＝－，‎ ‎∴sin θ＝＝.‎ ‎2． 已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　因为α＋＋β－＝α＋β，‎ 所以α＋＝(α＋β)－，所以 tan＝tan ‎＝＝.‎ ‎3． 当－≤x≤时，函数f(x)＝sin x＋cos x的 (　　)‎ A．最大值是1，最小值是－1‎ B．最大值是1，最小值是－ C．最大值是2，最小值是－2‎ D．最大值是2，最小值是－1‎ 答案　D 解析　f(x)＝sin x＋cos x ‎＝2＝2sin，‎ 由－≤x≤，得－≤x＋≤.‎ 所以当x＋＝时，f(x)有最大值2，‎ 当x＋＝－时，f(x)有最小值－1.‎ 二、填空题(每小题5分，共15分)‎ ‎4． 已知锐角α满足cos 2α＝cos，则sin 2α＝________.‎ 答案　 解析　∵α∈，∴2α∈(0，π)，－α∈.‎ 又cos 2α＝cos，‎ ‎∴2α＝－α或2α＋－α＝0，‎ ‎∴α＝或α＝－(舍)，∴sin 2α＝sin ＝.‎ ‎5． 已知cos＝，α∈，则＝________.‎ 答案　 解析　∵cos＝(cos α＋sin α)＝，‎ ‎∴sin α＋cos α＝，‎ ‎1＋2sin αcos α＝，2sin αcos α＝，‎ ‎1－2sin αcos α＝，cos α－sin α＝，‎ ＝ ‎＝(cos α－sin α)＝.‎ ‎6． 设x∈，则函数y＝的最小值为________．‎ 答案　 解析　因为y＝＝，‎ 所以令k＝.又x∈，‎ 所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．又kmin＝tan 60°＝，所以函数y＝的最小值为.‎ 三、解答题 ‎7． (13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)设α，β∈，f＝－，f ‎＝，求cos(α＋β)的值．‎ 解　(1)由T＝＝10π得ω＝.‎ ‎(2)由得 整理得　∵α，β∈，‎ ‎∴cos α＝＝，sin β＝＝.‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcosβ －sin αsin β ‎＝×－×＝－.‎