江苏省苏州市高考数学一模试卷解析

江苏省苏州市高考数学一模试卷解析

‎2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程 ‎1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　　．‎ ‎2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=　　．‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为　　．‎ ‎4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是　　‎ ‎5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　　．‎ ‎6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为　　．‎ ‎7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为　　．‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为　　．‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2‎ ‎=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为　　．‎ ‎11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为　　．‎ ‎12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=　　．‎ ‎13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为　　．‎ ‎14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为　　．‎ ‎　‎ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求角B的大小．‎ ‎16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1‎ ‎（1）求证：E是AB中点；‎ ‎（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．‎ ‎17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2‎ ‎）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．‎ ‎（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．‎ ‎（1）求该椭圆的方程：‎ ‎（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值．‎ ‎19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=‎ ‎（1）求证：数列{}为等比数列；‎ ‎（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：‎ ‎（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．‎ ‎　‎ 四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．‎ ‎（1）求矩阵M；‎ ‎（2）求矩阵M的另一个特征值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．‎ ‎（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．‎ ‎　‎ 四.必做题：每小题0分，共计20分 ‎25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．‎ ‎（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn ‎（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tannθ；‎ ‎（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎　‎ ‎2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程 ‎1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁UM=　{6，7}　．‎ ‎【考点】补集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．‎ ‎【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，‎ M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，‎ 则∁UM={6，7}．‎ 故答案为：{6，7}．‎ ‎　‎ ‎2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：由z+i=，‎ 得=，‎ 则|z|=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．函数f（x）=的定义域为　{x|x＞且x≠1}　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：，‎ 解得：x＞且x≠1，‎ 故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，‎ 故答案为：{x|x＞且x≠1}．‎ ‎　‎ ‎4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是　24　‎ ‎【考点】伪代码．‎ ‎【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，‎ 由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．‎ ‎【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环 t=1×2=2，i=3；‎ 当i=3时，满足循环条件，执行循环 t=2×3=6，i=4；‎ 当i=4时，满足循环条件，执行循环 t=6×4=24，i=5；‎ 当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．‎ 故答案为：24．‎ ‎　‎ ‎5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学 生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为　300　．‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．‎ ‎【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，‎ 其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，‎ ‎∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，‎ ‎∵高级中学共有900名学生，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=‎ ‎∴该校高二年级学生人数为=300，‎ 故答案为：300．‎ ‎　‎ ‎6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．‎ ‎【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，‎ 设正四棱锥的高为PO，连结AO，‎ 则AO=AC=．‎ 在直角三角形POA中，PO===1．‎ 所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为　　．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．‎ ‎【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，‎ 基本事件总数n==6，‎ 这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，‎ ‎∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），‎ 则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），‎ 即有c==2，‎ 不妨设a=1，‎ 可得双曲线的离心率为e==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎9．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为　2　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为　x﹣y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my﹣4=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣‎ 联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，‎ 故答案为：x﹣y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为　﹣或1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．‎ ‎【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，‎ ‎∴﹣=λ，‎ ‎∴=λ；‎ 又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），‎ ‎∴•=λ•[+（λ﹣1）]‎ ‎=λ•+λ（λ﹣1）‎ ‎=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，‎ 整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，‎ 解得λ=﹣或λ=1，‎ ‎∴实数λ的值为﹣或1．‎ 故答案为：﹣或1．‎ ‎　‎ ‎12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=　2﹣4　．‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．‎ ‎【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴‎ tanα=．‎ 又tan=tan（﹣）===2﹣，‎ ‎∴tan（α+）====﹣=2﹣4，‎ 故答案为：2﹣4．‎ ‎　‎ ‎13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为　4　．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．‎ ‎【解答】解：当x≥1时， =，即lnx=，‎ 令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，‎ g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，‎ g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．‎ ‎（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）‎ 当x＜1时，y=，函数的图象与y=‎ 的图象如图，考查两个函数由2个交点，‎ 综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为　1　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，‎ 又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），‎ 其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，‎ 即y3﹣y2≥﹣y，‎ 当且仅当y=时取得等号，‎ 设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），‎ 当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，‎ 可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．‎ 由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，‎ 当x=时，取得等号．‎ 则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．‎ 当且仅当x=，y=时，取得最小值1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分 ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=‎ ‎（1）求边c的长；‎ ‎（2）求角B的大小．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．‎ ‎（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得： ==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，‎ 化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．‎ 相加可得：2c2=8c，解得c=4．‎ ‎（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．‎ 由正弦定理可得： ==，‎ 又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．‎ ‎∴a=，b=．‎ ‎∴﹣16sin2B=，‎ ‎∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，‎ ‎∴﹣2═，‎ ‎∴=0或=1，B∈．‎ 解得：B=．‎ ‎　‎ ‎16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1‎ ‎（1）求证：E是AB中点；‎ ‎（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．‎ ‎（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．‎ ‎【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，‎ ‎∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，‎ ‎∴O为AC1的中点，‎ ‎∵E′是AB的中点，‎ ‎∴OE′∥BC1； ‎ ‎∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴OE′∥平面BCC1B1，‎ ‎∵OE∥平面BCC1B1，‎ ‎∴E，E′重合，‎ ‎∴E是AB中点；‎ ‎（2）∵侧面AA1C1C是菱形，‎ ‎∴AC1⊥A1C，‎ ‎∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥平面A1BC，‎ ‎∵BC⊂平面A1BC，‎ ‎∴AC1⊥BC．‎ ‎　‎ ‎17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．‎ ‎（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用．‎ ‎【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；‎ ‎（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴l=﹣+（0＜α＜）；‎ ‎（2）l′=h，‎ ‎∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，‎ ‎∴时，l取得最小值m．‎ ‎　‎ ‎18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．‎ ‎（1）求该椭圆的方程：‎ ‎（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的 斜率之和为定值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2‎ ‎=1，即可求得椭圆的方程：‎ ‎（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，‎ 椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，‎ 则椭圆的标准方程：；‎ ‎（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），‎ 由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，‎ 则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，‎ 由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，‎ 则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，‎ 则kAP+kAQ=+=，‎ 由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，‎ kAP+kAQ===1，‎ ‎∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．‎ ‎　‎ ‎19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）‎ ‎（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；‎ ‎（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，‎ 若f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），‎ 令g（x）=lnx++1，（x＞0），‎ g′（x）=，‎ 令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ 故g（x）min=g（1）=2，‎ 故0＜a≤2；‎ ‎（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，‎ 即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，‎ ‎①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，‎ 令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），‎ 则m′（x）=lnx++1，‎ 由（1）得：m′（x）≥2，‎ 故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，‎ 故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；‎ ‎②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，‎ 令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），‎ 则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，‎ 故n′（x）＞n（1）=2，‎ 故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，‎ 故a≥0，而a为正实数，故a＞0．‎ ‎　‎ ‎20．己知n为正整数，数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，设数列{bn}满足bn=‎ ‎（1）求证：数列{}为等比数列；‎ ‎（2）若数列{bn}是等差数列，求实数t的值：‎ ‎（3）若数列{bn}是等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求满足条件的所有整数a1的值．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化为： =2×，即可证明．‎ ‎（2）由（1）可得： =，可得=n•4n﹣1．数列{bn}满足bn=，可得b1，b2，b3，利用数列{bn}是等差数列即可得出t．‎ ‎（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12Sn﹣a14n2=16bm，即可得出a1．‎ ‎【解答】（1）证明：数列{an}满足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，‎ ‎∴=an+1，即=2，‎ ‎∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．‎ ‎（2）解：由（1）可得： =，∴=n•4n﹣1．‎ ‎∵bn=，∴b1=，b2=，b3=，‎ ‎∵数列{bn}是等差数列，∴2×=+，‎ ‎∴=+，‎ 化为：16t=t2+48，解得t=12或4．‎ ‎（3）解：数列{bn}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．‎ ‎①t=12时，bn==，Sn=，‎ ‎∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，‎ ‎∴×﹣a14n2=16×，‎ ‎∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．‎ ‎②t=4时，bn==，Sn=，‎ 对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，‎ ‎∴×﹣a14n2=16×，‎ ‎∴n=4m，‎ ‎∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．‎ ‎∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．‎ ‎　‎ 四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]‎ ‎21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．‎ ‎【考点】弦切角．‎ ‎【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．‎ ‎【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，‎ 因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，‎ 所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；‎ 又因为∠ACB=90°，‎ 得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，‎ 从而∠ABE=30°，‎ 于是．‎ ‎　‎ ‎[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．‎ ‎（1）求矩阵M；‎ ‎（2）求矩阵M的另一个特征值．‎ ‎【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．‎ ‎【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；‎ ‎（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．‎ ‎【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，‎ 则=8=，‎ 故，‎ 由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．‎ 则=，‎ 故 联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．‎ ‎（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，‎ 故矩阵M的另一个特征值为2．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．‎ ‎（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．‎ ‎【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．‎ ‎（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，‎ 所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．‎ ‎（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．‎ 化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．‎ ‎【考点】二维形式的柯西不等式．‎ ‎【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式可得 ‎（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）‎ ‎2]=3×12‎ ‎∴++≤3，当且仅当==时取等号．‎ ‎∴++的最大值是6，‎ 故最大值为6．‎ ‎　‎ 四.必做题：每小题0分，共计20分 ‎25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．‎ ‎（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．‎ ‎（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N﹣PC﹣B的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，‎ ‎，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．‎ 则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…‎ 设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，‎ ‎∴1+1+p2=4，∴p=，‎ ‎∵===（），‎ ‎=（），‎ ‎∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），‎ 设异面直线MN与PC所成角为θ，‎ 则cosθ===．‎ θ=30°，‎ ‎∴异面直线MN与PC所成角为30°．‎ ‎（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），‎ 设平面PBC的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=1，得=（0，，1），‎ 设平面PNC的法向量=（a，b，c），‎ 则，取c=1，得=（，2，1），‎ 设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎26．设|θ|＜，n为正整数，数列{an}的通项公式an=sintannθ，其前n项和为Sn ‎（1）求证：当n为偶函数时，an=0；当n为奇函数时，an=（﹣1）tannθ；‎ ‎（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用sin=，即可得出．‎ ‎（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．利用等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】证明：（1）an=sintannθ，‎ 当n=2k（k∈N*）为偶数时，an=sinkπ•tannθ=0；‎ 当n=2k﹣1为奇函数时，an=•tannθ=（﹣1）k﹣1tannθ=（﹣1）tannθ．‎ ‎（2）a2k﹣1+a2k=（﹣1）tannθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣tan2θ．‎ ‎∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。在物业人员配备中，我们遵循如下原则： 1、本着精简、高效原则根据项目实际服务、管理和经营的需要，推行统一目标、分解责任、责权利相结合。2、职责、权限明确原则日常工作由综合服务主管直接对各服务人员即集指挥和职能于一身，便于综合服务主管全面掌握日常工作及人员状况，减小失控。‎