高考数列专题总结全是精华

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数列专题复习（0929）‎ 一、 证明等差等比数列 1． 等差数列的证明方法：‎ ‎ （1）定义法：(常数) （2）等差中项法：‎ ‎2．等比数列的证明方法：‎ ‎（1）定义法：(常数) （2）等比中项法： ‎ 例1.设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，‎ Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn．‎ 解：设等差数列｛an｝的公差为d，则 Sn=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即 解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．‎ ‎∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，‎ ‎∴Tn＝n2－n．‎ 例2．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式：‎ ‎3tSn－（2t+3）Sn－1=3t（t>0，n=2，3，4，…）‎ 求证：数列{an}是等比数列；‎ 解：（1）由a1=S1=1，S2=1+a2，得a2=‎ 又3tSn－（2t+3）Sn－1=3t ①‎ ‎3tSn－1－（2t+3）Sn－2=3t ②‎ ‎①－②得3tan－（2t+3）an－1=0 ∴，（n=2，3，…）‎ 所以{an}是一个首项为1，公比为的等比数列.‎ 练习：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…‎ （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；‎ （2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；‎ 答案 .(2) ,;‎ 二．通项的求法 ‎（1）利用等差等比的通项公式 ‎(2)累加法：‎ 例3．已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知：‎ 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ‎，‎ ‎（3）构造等差或等比 或 例4．已知数列满足 ‎ 求数列的通项公式；‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 是以为首项，2为公比的等比数列。‎ ‎ ‎ ‎ 即　‎ 例5．已知数列中，,，求.‎ 解：在两边乘以得：‎ 令，则,解之得：,所以.‎ 练习:已知数列满足，且。‎ ‎ （1）求； （2）求数列的通项公式。‎ 解： （1）‎ ‎ （2）‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎（4）利用 例6．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数 ‎，.求数列的通项公式；‎ 解： ……2分 当 ‎ 当……4分 练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an ‎ 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴‎10a1=a12+‎5a1+6，解之得a1=2或a1=3 ‎ 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② ‎ ‎ 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ‎ ‎∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) ‎ 当a1=3时，a3=13，a15=‎73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;‎ 当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a‎1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 ‎ ‎2．设数列的前项的和 ‎，‎ ‎（Ⅰ）求首项与通项；‎ ‎（Ⅱ）设，，证明：‎ 解：（I），解得：‎ 所以数列是公比为4的等比数列 所以：‎ 得： （其中n为正整数）‎ ‎（II）‎ 所以： ‎ ‎（5）累积法 转化为，逐商相乘.‎ 例7．已知数列满足，，求。‎ 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又，‎ 练习：1.已知， ，求。‎ 解： 。‎ ‎2．已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，‎ 则{an}的通项 ‎ 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又，‎ ‎，将以上n个式子相乘，得 ‎（6）倒数变形：,两边取倒数后换元转化为。‎ 例8：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。‎ 解：取倒数：‎ 是等差数列，‎ 练习：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝‎ 求数列｛an｝的通项公式；‎ 解：将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为 ‎1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n³1）‎ 三．数列求和 ‎1、等差数列求和公式： ‎ ‎2、等比数列求和公式：‎ ‎3、错位相减法求和 ‎{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.‎ 例9． 求和：‎ 解：由题可知，设………………………①‎ ‎…②（设制错位）‎ ‎①－②得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：。‎ ‎∴ ‎ 练习： 求数列前n项的和.‎ 解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积 设…………………………………①‎ ‎…………② ①－②得 ‎ ‎∴ ‎ ‎4、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.‎ ‎5、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ 例10． 求数列的前n项和：，…‎ 解：设 将其每一项拆开再重新组合得 ‎（分组）‎ 当a＝1时，＝（分组求和）‎ 当时，＝‎ ‎6、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）‎ ‎（1）为等差数列，‎ ‎（2）‎ 例11． 求数列的前n项和.‎ 解：设，则 ‎ ‎＝‎ 例12． 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.‎ 解： 　 ∵ ‎ ‎ 　 ∴ 数列{bn}的前n项和：‎ ‎ ＝ ＝ ‎ 练习：‎ ‎1．已知数列{}的前项和为，且满足 。求数列{}的通项公式；‎ 解：（1）数列{}的前项和为，且满足 则 （）‎ 相减得： （） ‎ 又当n=1时，， ， ‎ ‎{}是以为首项，公比的等比数列 ‎ （）‎ ‎2．已知数列：‎ ‎①求证数列为等差数列，并求它的公差 ‎②设，求。‎ 解：①由条件，‎ ‎∴；∴‎ 故为等差数列，公差 ‎②‎ 又知 ‎∴‎