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文档介绍
高考理科数学新课标1卷解析版
2013年高考理科数学新课标1卷解析版 一、选择题(题型注释) 1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则( ) A、A∩B=Æ B、AB=R C、BA D、AB 【答案】B; 【解析】依题意,由数轴可知,选B. 【考点定位】本题考查集合的基本运算,考查学生数形结合的能力. 2.若复数z满足 (3-4i)z=|4+3i |,则z的虚部为 ( ) A、-4 (B)- (C)4 (D) 【答案】D; 【解析】设,故,所以,解得. 【考点定位】本题考查复数的基本运算,考查学生的基本运算能力. 3.为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ) A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 【答案】C; 【解析】不同的学段在视力状况上有所差异,所以应该按照年段分层抽样. 【考点定位】本题考查随机抽样,考查学生对概念的理解. 4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为 ( ) A、y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 【答案】C; 【解析】,故,即,故渐近线方程为. 【考点定位】本题考查双曲线的基本性质,考查学生的化归与转化能力. 5.执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( ) A、[-3,4] B、[-5,2] C、[-4,3] D、[-2,5] 【答案】A; 【解析】若,则;若,;综上所述. 【考点定位】本题考查算法框图,考查学生的逻辑推理能力. 6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ) A、cm3 B、cm3 C、cm3 D、cm3 【答案】A; 【解析】作出该球轴截面的图像如下图所示,依题意,,设,故,因为,解得,故该球的半径,所以. 【考点定位】本题考查球体的体积公式,考查学生的空间想象能力. 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m= ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 【答案】C; 【解析】,故;因为,故,故,因为,故,即. 【考点定位】本题考查等差数列的基本公式,考查学生的化归与转化能力. 8.某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为( ) A、16+8 B、8+8 C、16+16 D、8+16 【答案】A; 【解析】上半部分体积为,下半部分体积,故总体积. 【考点定位】本题考查三视图以及简单组合体的体积计算,考查学生的空间想象能力. 9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( ) A、5 B、6 C、7 D、8 【答案】B; 【解析】,,因为,解得m=6. 【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算,考查学生的基本运算能力. 10.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点。若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为 ( ) A、+=1 B、+=1 C、+=1 D、+=1 【答案】D; 【解析】设、,所以,运用点差法,所以直线的斜率为,设直线方程为,联立直线与椭圆的方程,所以;又因为,解得. 【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系,考查学生的化归与转化能力. 11.已知函数f(x)=,若| f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ) A、(-∞,0] B、(-∞,1] C、[-2,1] D、[-2,0] 【答案】D; 【解析】作出函数图像,在点(0,0)处的切线为制定参数的标准;当时,,,,故;当时,,,由于上任意一点的切线斜率都要大于,故,综上所述, 【考点定位】本题考查导数的几何意义,考查学生数形结合的能力. 12.设△AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn,△AnBnCn的面积为Sn,n=1,2,3,… 若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=,cn+1=,则( ) A、{Sn}为递减数列 B、{Sn}为递增数列 C、{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D、{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 【答案】B; 【解析】因为,不妨设,; 故; ,,, ; 显然; 同理,,,,,显然. 【考点定位】本题考查创新型数列,在解题的过程中构使用海伦秦九韶公式进行计算,考查学生特殊到一般的数学思想. 二、双选题(题型注释) 三、判断题(题型注释) 四、连线题(题型注释) 五、填空题(题型注释) 13.已知两个单位向量,的夹角为,,若,则_____。 【答案】2; 【解析】,故,故. 【考点定位】本题考查向量的数量积运算,考查学生的基本运算能力. 14.若数列{an}的前n项和为Sn=an+,则数列{an}的通项公式是an=______. 【答案】; 【解析】当时,;当时,,故;所以. 【考点定位】本题考查数列的前n项和与通项公式之间的关系,考查学生的化归与转化能力. 15.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=______ 【答案】; 【解析】. 【考点定位】本题考查三角恒等变换,考查学生对概念的理解 16.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值是______. 【答案】16; 【解析】依题意,为偶函数, 展开式中的系数为,故,的系数为,故,令,得,由对称轴为-2可知,将该式分解为,可知其在和处取到最大值,带入,可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质,考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 六、综合题(题型注释) 七、探究题(题型注释) 八、解答题 17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan∠PBA 【答案】(1)因为,所以,所以,由余弦定理得:; (2)设,由已知得,由正弦定理得,化简得,故. 【解析】(1)利用余弦定理可以求出PA;(2)在中使用正弦定理可以得到,进而化简,得到结论. 【考点定位】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查学生数形结合的能力以及转化与化归能力. 18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°. (Ⅰ)证明AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。 【答案】(1)取AB的中点O,连接、、,因为CA=CB,所以,由于AB=A A1,∠BA A1=600,所以,所以平面,因为平面,所以AB⊥A1C; (2)以O为原点,OA所在直线为x轴,所在直线为y轴建立如图直角坐标系,,,,则,,,设为平面的法向量,则,所以为平面的一个法向量,所以直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值. 【解析】(1)构造辅助线证明线面垂直,进而得到线线垂直;(2)利用向量法进行求解. 【考点定位】本题考查线面垂直的判定、线面垂直的性质以及向量法求空间角,考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。 【答案】(1)记该批产品通过检验为事件A;则; (2)X的可能取值为400、500、800; ,,,则X的分布列为 X 400 500 800 P 【解析】(1)利用相互独立事件模型计算概率;(2)在(1)的基础上,利用对立事件算出X为400、500、800时的概率,进而列出分布列,求出期望. 【考点定位】本题考查相互独立事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望,考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力. 20.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【答案】依题意,圆M的圆心,圆N的圆心,故,由椭圆定理可知,曲线C是以M、N为左右焦点的椭圆(左顶点除外),其方程为; (2)对于曲线C上任意一点,由于(R为圆P的半径),所以R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为; 若直线l垂直于x轴,易得; 若直线l不垂直于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,解得,故直线l:;有l与圆M相切得,解得;当时,直线,联立直线与椭圆的方程解得;同理,当时,. 【解析】(1)根据椭圆的定义求出方程;(2)先确定当圆P的半径最长时,其方程为,再对直线l进行分类讨论求弦长. 【考点定位】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力. 21.(本小题满分共12分)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2 (Ⅰ)求a,b,c,d的值 (Ⅱ)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围。 【答案】(1)因为曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),所以b=d=2;因为,故;,故,故;所以,; (2)令,则,由题设可得,故,令得, (1)若,则,从而当时,,当时,即在上最小值为,此时f(x)≤kg(x)恒成立; (2)若,,故在上单调递增,因为所以f(x)≤kg(x)恒成立 (3)若,则,故f(x)≤kg(x)不恒成立; 综上所述k的取值范围为. 【解析】(1)利用导数的几何意义进行求解;(2)构造函数“”,对k的取值范围进行分类讨论,进而得到答案. 【考点定位】本题考查导数的几何意义、导数与函数的最值、导数与函数的单调性,考查学生的分类讨论能力以及化归与转化思想. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径。 【答案】(1)连接DE,交BC为G,由弦切角定理得,,,又因为,所以DE为直径,由勾股顶底得DB=DC. (2)由(1),,,故是的中垂线,故,圆心为O,连接BO,则,,所以,故外接圆半径为. 【解析】(1)利用弦切角定理进行求解;(2)利用(1)中的结论配合角度的计算可以得到答案. 【考点定位】本题考查几何证明中的定理运用,考查学生的数形结合的能力. 23.(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。 (Ⅰ)把C1的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【答案】(1)因为,消去参数,得,即 , 故极坐标方程为; (2)的普通方程为,联立、的方程,解得或,所以交点的极坐标为. 【解析】(1)先得到C1的一般方程,进而得到极坐标方程;(2)先联立求出交点坐标,进而求出极坐标. 【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化,考查学生的转化与化归能力. 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>-1,且当x∈[-,)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【答案】 当时,令,,做出函数图像可知,当时,,故原不等式的解集为; (2)依题意,原不等式化为,故对都成立,故 ,故,故的取值范围是. 【解析】(1)构造函数,作出函数图像,观察可知结论;(2)利用分离参数法进行求解. 【考点定位】本题考不等式的解法,考查学生数形结合的能力以及化归与转化思想.查看更多