- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
江苏省泰州市高考数学一模试卷
2015年江苏省泰州市高考数学一模试卷 一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.) 1.(5分)(2015•泰州一模)已知A={1,3,4},B={3,4,5},则A∩B= {3,4} . 【考点】: 交集及其运算. 【专题】: 集合. 【分析】: 由A与B,求出两集合的交集即可. 【解析】: 解:∵A={1,3,4},B={3,4,5}, ∴A∩B={3,4}. 故答案为:{3,4} 【点评】: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)(2015•泰州一模)函数f(x)=2sin(3x+)的最小正周期T= . 【考点】: 三角函数的周期性及其求法. 【专题】: 计算题. 【分析】: 由函数解析式找出ω的值,代入周期公式T=,即可求出函数的最小正周期. 【解析】: 解:函数f(x)=2sin(3x+), ∵ω=3,∴T=. 故答案为: 【点评】: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 3.(5分)(2015•泰州一模)复数z满足iz=3+4i(i是虚数单位),则z= 4﹣3i . 【考点】: 复数代数形式的乘除运算. 【专题】: 数系的扩充和复数. 【分析】: 利用复数的运算法则即可得出. 【解析】: 解:∵iz=3+4i, ∴﹣i•iz=﹣i(3+4i), ∴z=4﹣3i, 故答案为:4﹣3i. 【点评】: 本题考查了复数的运算法则,属于基础题. 4.(5分)(2015•泰州一模)函数y=的定义域为 [2,+∞) . 【考点】: 函数的定义域及其求法. 【专题】: 计算题;函数的性质及应用. 【分析】: 由根式内部的代数式大于等于0,然后求解指数不等式. 【解析】: 解:由2x﹣4≥0,得2x≥4,则x≥2. ∴函数y=的定义域为[2,+∞). 故答案为:[2,+∞). 【点评】: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题. 5.(5分)(2015•泰州一模)执行如图所示的流程图,则输出的n为 4 . 【考点】: 程序框图. 【专题】: 图表型;算法和程序框图. 【分析】: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当S=63时,不满足条件S>63,退出循环,输出n的值为4. 【解析】: 解:模拟执行程序框图,可得 S=511,n=1 满足条件S>63,S=255,n=2 满足条件S>63,S=127,n=3 满足条件S>63,S=63,n=4 不满足条件S>63,退出循环,输出n的值为4. 故答案为:4. 【点评】: 本题主要考查了程序框图和算法,正确得到每次循环的S,n的值是解题的关键,属于基础题. 6.(5分)(2015•泰州一模)若数据2,x,2,2的方差为0,则x =2 . 【考点】: 极差、方差与标准差. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: 由已知利用方差公式得到关于x的方程解之. 【解析】: 解:因为数据2,x,2,2的方差为0,由其平均数为,得到=0,解得x=2; 故答案为:2. 【点评】: 本题考查了调查数据的方差的计算公式的运用,熟记公式是关键,属于基础题 7.(5分)(2015•泰州一模)袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球,从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率为 . 【考点】: 古典概型及其概率计算公式. 【专题】: 排列组合. 【分析】: 从中任取两个球共有红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2,共6种取法,其中颜色相同只有2种,根据概率公式计算即可 【解析】: 解:从中任取两个球共有红1红2,红1白1,红1白2,红2白1,红2白2,白1白2,共6种取法,其中颜色相同只有2种, 故从中任取两个球,则这两个球颜色相同的概率P==; 故答案为:. 【点评】: 本题考查了古典概型概率的问题,属于基础题 8.(5分)(2015•泰州一模)等比数列an中,a1+32a6=0,a3a4a5=1,则数列前6项和为 ﹣ . 【考点】: 等比数列的通项公式. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: 根据a1+32a6=0,求出公比q的值,再根据a3a4a5=1,求出a4与a1,即可计算数列的前6项和S6. 【解析】: 解:∵等比数列{an}中,a1+32a6=0, ∴q5==﹣, 即公比q=﹣; 又∵a3a4a5=1, ∴a4=1, ∴a1===﹣8; ∴该数列的前6项和为 S6===﹣. 故答案为:﹣. 【点评】: 本题考查了等比数列的通项公式与前n项和的计算问题,是基础题目. 9.(5分)(2015•泰州一模)已知函数f(x)=是奇函数,则sinα= ﹣1 . 【考点】: 函数奇偶性的性质. 【专题】: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】: 由已知中函数f(x)=是奇函数,可得cos(x+α)=sinx恒成立,进而α=﹣+2kπ,k∈Z,进而可得sinα的值. 【解析】: 解:当x<0时,﹣x>0, 则f(x)=﹣x2+cos(x+α),f(﹣x)=(﹣x)2+sin(﹣x)=x2﹣sinx, ∵函数f(x)是奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(﹣x), ∴cos(x+α)=sinx恒成立, ∴α=﹣+2kπ,k∈Z, ∴sinα=﹣1, 故答案为:﹣1 【点评】: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,诱导公式,特殊角的三角函数值,是三角函数与函数图象和性质的综合应用,难度中档. 10.(5分)(2015•泰州一模)双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e= . 【考点】: 双曲线的简单性质. 【专题】: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】: 求出双曲线的左顶点以及右焦点,以及渐近线方程,运用两点的距离公式和点到直线的距离公式,列出a、b、c关系式,然后由离心率公式即可计算得到. 【解析】: 解:双曲线﹣=1的右焦点为(c,0),左顶点为(﹣a,0), 右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为:==b, 右焦点(c,0)到左顶点为(﹣a,0)的距离为:a+c, 由题意可得,b=(a+c), 即有4b2=a2+c2+2ac,即4(c2﹣a2)=a2+c2+2ac, 即3c2﹣5a2﹣2ac=0, 由e=,则有3e2﹣2e﹣5=0, 解得,e=. 故答案为:. 【点评】: 本题考查双曲线的离心率的求法,点到直线的距离公式的应用,属于中档题. 11.(5分)(2015•泰州一模)若α、β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 ②④ .(写出所有真命题的序号) ①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线. ②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直. ③若直线m⊂α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线. ④若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线. 【考点】: 空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: 利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答. 【解析】: 解:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线.故①错误; 对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直.故②正确; 对于③,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.故③错误; 对于④,若直线m⊂α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.故④正确; 故答案为:②④. 【点评】: 本题考查了线面垂直的性质定理的运用判断直线的位置关系;关键是熟练运用定理,全面考虑. 12.(5分)(2015•泰州一模)已知实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0,则的取值范围为 . 【考点】: 基本不等式. 【专题】: 不等式的解法及应用. 【分析】: 实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0,化为=1,令=cosθ,=sinθ,θ∈[0,2π).可得k===,表示点P(2,0)与圆x2+y2=1上的点连线的在的斜率.利用直线与圆的位置关系即可得出. 【解析】: 解:∵实数a,b,c满足a2+b2=c2,c≠0, ∴=1, 令=cosθ,=sinθ,θ∈[0,2π). ∴k===,表示点P(2,0)与圆x2+y2=1上的点连线的直线的斜率. 设直线l:y=k(x﹣2), 则, 化为, 解得. ∴的取值范围为. 故答案为:. 【点评】: 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 13.(5分)(2015•泰州一模)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若∠B=∠C且7a2+b2+c2=4,则△ABC的面积的最大值为 . 【考点】: 余弦定理;正弦定理. 【专题】: 解三角形. 【分析】: 由∠B=∠C得b=c,代入7a2+b2+c2=4化简,根据余弦定理求出cosC,由平方关系求出sinC,代入三角形面积公式求出表达式,由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值. 【解析】: 解:由∠B=∠C得b=c,代入7a2+b2+c2=4得, 7a2+2b2=4,即2b2=4﹣7a2, 由余弦定理得,cosC==, 所以sinC===, 则△ABC的面积S===a ==×≤×× ==, 当且仅当15a2=8﹣15a2取等号,此时a2=, 所以△ABC的面积的最大值为, 故答案为:. 【点评】: 本题考查余弦定理,平方关系,基本不等式的应用,以及三角形的面积公式,考查变形、化简能力. 14.(5分)(2015•泰州一模)在梯形ABCD中,=2,=6,P为梯形ABCD所在平面上一点,且满足++4=,•=•,Q为边AD上的一个动点,则的最小值为 . 【考点】: 向量的加法及其几何意义. 【专题】: 平面向量及应用. 【分析】: 画图,根据向量的几何意义和++4=,可求出=2,||=4,设∠ADP=θ,根据•=•,求出cosθ,继而求出sinθ,再根据射影定理得到的最小值 【解析】: 解:取AB的中点,连接PE, ∵=2, ∴=2, ∴=, ∴四边形DEBC为平行四边形, ∴=, ∵+=﹣2,++4=, ∴=2, ∵=6, ∴=2,||=4, 设∠ADP=θ, ∵•=•, ∴•=||||cosθ=•, ∴cosθ=, ∴sinθ=, 当⊥时,最小, ∴=|DP|sinθ|=2×= 故答案为: 【点评】: 本题考查了向量的几何意义以及向量的夹角公式,以及射影定理,属于中档题 二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(14分)(2015•泰州一模)在平面直角坐标系xOy中,角α的终边经过点P(3,4). (1)求sin(α+)的值; (2)若P关于x轴的对称点为Q,求•的值. 【考点】: 平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 【专题】: 平面向量及应用. 【分析】: (1)由已知的α的三角函数值,然后利用两角和的正弦公式求值; (2)由已知求出Q的坐标,明确,的坐标,利用数量积公式解答. 【解析】: 解:(1)∵角α的终边经过点P(3,4),∴,…(4分) ∴.…(7分) (2)∵P(3,4)关于x轴的对称点为Q, ∴Q(3,﹣4).…(9分) ∴, ∴. …(14分) 【点评】: 本题考查了三角函数的定义以及三角函数公式的运用、向量的数量积的运算.属于基础题. 16.(14分)(2015•泰州一模)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,EF∥AB,AB=2EF,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,点G为BC的中点. (1)求证:直线OG∥平面EFCD; (2)求证:直线AC⊥平面ODE. 【考点】: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 【专题】: 空间位置关系与距离. 【分析】: (1)根据线线平行推出线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理进行证明即可. 【解析】: 证明(1)∵四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,∴点O是BD的中点, ∵点G为BC的中点∴OG∥CD,…(3分) 又∵OG⊄平面EFCD,CD⊂平面EFCD,∴直线OG∥平面EFCD.…(7分) (2)∵BF=CF,点G为BC的中点,∴FG⊥BC, ∵平面BCF⊥平面ABCD,平面BCF∩平面ABCD=BC,FG⊂平面BCF,FG⊥BC∴FG⊥平面ABCD,…(9分) ∵AC⊂平面ABCD∴FG⊥AC, ∵,,∴OG∥EF,OG=EF, ∴四边形EFGO为平行四边形,∴FG∥EO,…(11分) ∵FG⊥AC,FG∥EO,∴AC⊥EO,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥DO, ∵AC⊥EO,AC⊥DO,EO∩DO=O,EO、DO在平面ODE内, ∴AC⊥平面ODE.…(14分) 【点评】: 本题考查了线面平行,线面垂直的判定定理,本题属于中档题. 17.(14分)(2015•泰州一模)如图,我市有一个健身公园,由一个直径为2km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角三角形△PRQ构成,其中O为PQ的中点.现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD,按实际需要,四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上,另外两个顶点A、B在半圆上,AB∥CD∥PQ,且AB、CD间的距离为1km.设四边形ABCD的周长为ckm. (1)若C、D分别为QR、PR的中点,求AB长; (2)求周长c的最大值. 【考点】: 三角函数的最值;在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】: 计算题;应用题;函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】: (1)连结RO并延长分别交AB、CD于M、N,连结OB,运用等腰直角三角形的性质, 结合勾股定理计算即可得到AB的长; (2)设∠BOM=θ,由解直角三角形可得BM,OM,即可得到c=AB+CD+BC+AD=2(sinθ+cosθ+), 再由≤(当且仅当a=b取得等号),计算即可得到最大值. 【解析】: (1)解:连结RO并延长分别交AB、CD于M、N,连结OB, ∵C、D分别为QR、PR的中点,PQ=2,∴, ∵△PRQ为等腰直角三角形,PQ为斜边,∴,. ∵MN=1,∴. 在Rt△BMO中,BO=1,∴, ∴. (2)设∠BOM=θ,, 在Rt△BMO中,BO=1,∴BM=sinθ,OM=cosθ. ∵MN=1,∴CN=RN=1﹣ON=OM=cosθ, ∴, ∴,, 当sinθ+cosθ=,即有sin2θ=, 即或时取等号. ∴当或时,周长c的最大值为km. 【点评】: 本题考查三角函数的最值,考查重要不等式的运用,考查同角的平方关系,考查运算能力,属于中档题. 18.(16分)(2015•泰州一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.若直线PQ斜率为时,PQ=2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论. 【考点】: 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】: ,(1)设,由于直线PQ斜率为时,,可得,解得,代入椭圆方程可得:,又,联立解得即可. (2)设P(x0,y0),则Q(﹣x0,﹣y0),代入椭圆方程可得.由直线PA方程为:,可得,同理由直线QA方程可得,可得以MN为直径的圆为,由于,代入整理即可得出. 【解析】: 解:(1)设, ∵直线PQ斜率为时,, ∴, ∴,=1, ∴, ∵,化为a2=2b2. 联立, ∴a2=4,b2=2. ∴椭圆C的标准方程为. (2)以MN为直径的圆过定点.下面给出证明: 设P(x0,y0),则Q(﹣x0,﹣y0),且,即, ∵A(﹣2,0),∴直线PA方程为:, ∴, 直线QA方程为:, ∴, 以MN为直径的圆为, 即, ∵, ∴, 令y=0,x2+y2﹣2=0,解得, ∴以MN为直径的圆过定点. 【点评】: 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19.(16分)(2015•泰州一模)数列{an},{bn},{cn}满足:bn=an﹣2an+1,cn=an+1+2an+2﹣2,n∈N*. (1)若数列{an}是等差数列,求证:数列{bn}是等差数列; (2)若数列{bn},{cn}都是等差数列,求证:数列{an}从第二项起为等差数列; (3)若数列{bn}是等差数列,试判断当b1+a3=0时,数列{an}是否成等差数列?证明你的结论. 【考点】: 数列递推式;等比关系的确定. 【专题】: 等差数列与等比数列. 【分析】: (1)利用等差数列的定义只要证明bn+1﹣bn=一个常数即可; (2)当n≥2时,cn﹣1=an+2an+1﹣2,bn=an﹣2an+1,可得,,只要证明an+1﹣an等于一个常数即可; (3)解:数列{an}成等差数列. 解法1 设数列{bn}的公差为d',由bn=an﹣2an+1,利用“错位相减”可得,设,可得,进而得到,令n=2,得,利用b1+a3=0,可得an+2﹣an+1=﹣(bn+1﹣d')+(bn﹣d')=﹣d',即可证明. 解法2 由bn=an﹣2an+1,b1+a3=0,令n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即a1﹣2a2+a3=0,可得bn+1=an+1﹣2an+2,bn+2=an+2﹣2an+3,2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3),由于数列{bn}是等差数列,可得2bn+1﹣bn﹣bn+2=0,可得2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3),即可证明. 【解析】: 证明:(1)设数列{an}的公差为d, ∵bn=an﹣2an+1, ∴bn+1﹣bn=(an+1﹣2an+2)﹣(an﹣2an+1)=(an+1﹣an)﹣2(an+2﹣an+1)=d﹣2d=﹣d, ∴数列{bn}是公差为﹣d的等差数列. (2)当n≥2时,cn﹣1=an+2an+1﹣2, ∵bn=an﹣2an+1, ∴,∴, ∴, ∵数列{bn},{cn}都是等差数列, ∴为常数, ∴数列{an}从第二项起为等差数列. (3)解:数列{an}成等差数列. 解法1 设数列{bn}的公差为d', ∵bn=an﹣2an+1, ∴, ∴,…,, ∴, 设, ∴, 两式相减得:, 即, ∴, ∴, ∴, 令n=2,得, ∵b1+a3=0, ∴, ∴2a1+2b1﹣4d'=0, ∴an+1=﹣(bn﹣d'), ∴an+2﹣an+1=﹣(bn+1﹣d')+(bn﹣d')=﹣d', ∴数列{an}(n≥2)是公差为﹣d'的等差数列, ∵bn=an﹣2an+1,令n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即a1﹣2a2+a3=0, ∴数列{an}是公差为﹣d'的等差数列. 解法2∵bn=an﹣2an+1,b1+a3=0, 令n=1,a1﹣2a2=﹣a3,即a1﹣2a2+a3=0, ∴bn+1=an+1﹣2an+2,bn+2=an+2﹣2an+3, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=(2an+1﹣an﹣an+2)﹣2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ∵数列{bn}是等差数列, ∴2bn+1﹣bn﹣bn+2=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=2(2an+2﹣an+1﹣an+3), ∵a1﹣2a2+a3=0, ∴2an+1﹣an﹣an+2=0, ∴数列{an}是等差数列. 【点评】: 本题考查了等差数列的定义及其通项公式,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 20.(16分)(2015•泰州一模)已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=ax+b. (1)若函数h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (2)若直线g(x)=ax+b是函数f(x)=lnx﹣图象的切线,求a+b的最小值; (3)当b=0时,若f(x)与g(x)的图象有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2>2e2. (取e为2.8,取ln2为0.7,取为1.4) 【考点】: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】: 导数的综合应用. 【分析】: (1)把f(x)和g(x)代入h(x)=f(x)﹣g(x),求其导函数,结合h(x)在(0,+∞)上单调递增,可得对∀x>0,都有h′(x)≥0,得到,由得到a的取值范围; (2)设切点,写出切线方程,整理得到,令换元,可得a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,利用导数求其最小值; (3)由题意知,,把a用含有x1,x2的代数式表示,得到,不妨令0<x1<x2,记,构造函数,由导数确定其单调性,从而得到,即 ,然后利用基本不等式放缩得到,令,再由导数确定G(x)在(0,+∞)上单调递增,然后结合又得到,即. 【解析】: (1)解:h(x)=f(x)﹣g(x)=,则, ∵h(x)=f(x)﹣g(x)在(0,+∞)上单调递增,∴对∀x>0,都有, 即对∀x>0,都有, ∵,∴a≤0, 故实数a的取值范围是(﹣∞,0]; (2)解:设切点,则切线方程为, 即,亦即, 令,由题意得, 令a+b=φ(t)=﹣lnt+t2﹣t﹣1,则, 当t∈(0,1)时,φ'(t)<0,φ(t)在(0,1)上单调递减; 当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0,φ(t)在(1,+∞)上单调递增, ∴a+b=φ(t)≥φ(1)=﹣1,故a+b的最小值为﹣1; (3)证明:由题意知,, 两式相加得, 两式相减得, 即, ∴, 即, 不妨令0<x1<x2,记, 令,则, ∴在(1,+∞)上单调递增,则, ∴,则, ∴, 又, ∴,即, 令,则x>0时,, ∴G(x)在(0,+∞)上单调递增, 又, ∴, 则,即. 【点评】: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,体现了数学转化思想方法和函数构造法,本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力,难度较大. 三、选做题(共4小题,满分20分,<SPAN style="FONT-SIZE: 10.5pt; FONT-FAMILY: 宋体; mso-bidi-font-family: 'Times New Roman'; mso-font-kerning: 1.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-font-size: 16.0pt; mso-ascii-font-family: 'Times New Roman'; mso-hansi-font-family: 'Times New Roman'"><STRONG>四小题中任选两题作答</STRONG></SPAN>) 【几何证明选讲】 21.(10分)(2015•泰州一模)如图,EA与圆O相切于点A,D是EA的中点,过点D引圆O的割线,与圆O相交于点B,C,连结EC. 求证:∠DEB=∠DCE. 【考点】: 与圆有关的比例线段. 【专题】: 立体几何. 【分析】: 由切割线定理:DA2=DB•DC,从则DE2=DB•DC,进而△EDB~△CDE,由此能证明∠DEB=∠DCE. 【解析】: 证明:∵EA与⊙O相切于点A. ∴由切割线定理:DA2=DB•DC. ∵D是EA的中点, ∴DA=DE.∴DE2=DB•DC.…(5分) ∴.∵∠EDB=∠CDE, ∴△EDB~△CDE,∴∠DEB=∠DCE…(10分) 【点评】: 本题考查两角相等的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意切割线定理的合理运用. 【矩阵与变换】 22.(10分)(2015•泰州一模)已知矩阵A=,B=,若矩阵AB﹣1对应的变换把直线l变为直线l′:x+y﹣2=0,求直线l的方程. 【考点】: 几种特殊的矩阵变换. 【专题】: 矩阵和变换. 【分析】: 计算出AB﹣1的值,设出变换,计算即可. 【解析】: 解:∵,∴, ∴, 设直线l上任意一点(x,y)在矩阵AB﹣1对应的变换下为点(x',y'), ∴. 代入l', l':(x﹣2y)+(2y)﹣2=0,化简后得:l:x=2. 【点评】: 本题考查了矩阵的变换,属基础题. 【坐标系与参数方程选讲】 23.(2015•泰州一模)己知在平面直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为(α为参数).以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣cosθ)=1,直线l与圆M相交于A,B两点,求弦AB的长. 【考点】: 简单曲线的极坐标方程. 【专题】: 坐标系和参数方程. 【分析】: 利用sin2α+cos2α=1可得圆O的普通方程,把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程,再利用点到直线的距离公式可得圆心O(0,0)到直线l的距离d,再利用弦长公式可得|AB|=. 【解析】: 解:由圆O的参数方程(α为参数),利用sin2α+cos2α=1可得圆O:x2+y2=4, 又直线l的极坐标方程为ρ(sinθ﹣cosθ)=1可得直线l:x﹣y+1=0, 圆心O(0,0)到直线l的距离, 弦长. 【点评】: 本题考查了圆的参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式,考查了计算能力,属于基础题. 【不等式选讲】 24.(2015•泰州一模)已知正实数a,b,c满足a+b+c=3,求证:++≥3. 【考点】: 不等式的基本性质. 【专题】: 不等式的解法及应用. 【分析】: 利用基本不等式的性质即可得出. 【解析】: 证明:∵正实数a,b,c满足a+b+c=3, ∴, ∴abc≤1, ∴. 【点评】: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 四、解答题(共2小题,满分20分) 25.(10分)(2015•泰州一模)如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′与B′D′相交于点O′,点P在线段BD上(点P与点B不重合). (1)若异面直线O′P与BC′所成角的余弦值为,求DP的长度; (2)若DP=,求平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值. 【考点】: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【专题】: 空间位置关系与距离;空间角. 【分析】: (1)以为一组正交基底,建立空间直角坐标系D﹣xyz,由此利用向量法能求出DP的长度.(2)求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量,利用向量法求出设平面PA'C'与平面DC'B所成角的余弦值,由此能求出平面PA′C′与平面DC′B所成角的正弦值. 【解析】: 解:(1)以为一组正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz, 由题意,知D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).设P(t,t,0), ∴,. 设异面直线O'P与BC'所成角为θ, 则, 化简得:21t2﹣20t+4=0, 解得:或,或.…(5分) (2)∵,∴, ,,,, 设平面DC'B的一个法向量为, ∴,∴, 即,取y1=﹣1,, 设平面PA'C'的一个法向量为, ∴,∴, 即,取y2=1,, 设平面PA'C'与平面DC'B所成角为φ, ∴, ∴.…(10分) 【点评】: 本题考查线段长的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 26.(10分)(2015•泰州一模)记Cir为从i个不同的元素中取出r个元素的所有组合的个数.随机变量ξ表示满足Cir≤i2的二元数组(r,i)中的r,其中i∈{2,3,4,5,6,7,8,9,10},每一个Cir(r=0,1,2,…,i)都等可能出现.求Eξ. 【考点】: 离散型随机变量的期望与方差. 【专题】: 概率与统计. 【分析】: 由已知得当r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i时,成立,当r=3,…,i﹣3时,,由此能求出Eξ. 【解析】: 解:∵, 当i≥2时,, ,,, ∴当2≤i≤5,i∈N*时,的解为r=0,1,…,i.…(3分) 当6≤i≤10,i∈N*,, 由⇔i=3,4,5可知: 当r=0,1,2,i﹣2,i﹣1,i时,成立, 当r=3,…,i﹣3时,(等号不同时成立),即.…(6分) ∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P(ξ) …(8分) ∴.…(10分) 【点评】: 本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.查看更多