2014年版高考数学理二轮分类练习题目9

2014年版高考数学理二轮分类练习题目9

备战2014数学分类突破赢高考9‎ ‎1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足A＋C＝2B，且cos(B＋C)＝－.‎ ‎(1)求cos C的值；‎ ‎(2)若a＝5，求△ABC的面积．‎ 解：(1)∵A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，‎ ‎∴B＝.‎ ‎∵cos(B＋C)＝－，‎ ‎∴sin(B＋C)＝＝，‎ ‎∴cos C＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cos B＋sin(B＋C)sin B＝－×＋×＝.‎ ‎(2)由(1)可得sin C＝＝，sin A＝sin (B＋C)＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理＝＝，得 c＝＝8.‎ S△ABC＝acsin B＝×5×8×＝10.‎ ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.‎ ‎(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝(n∈N*)，求证cn＋1＜cn≤.‎ 解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，　①‎ 得an＝2Sn－1＋1，　②‎ ‎①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，‎ ‎∴an＋1＝3an，‎ ‎∴an＝3n－1.‎ ‎∵b5－b3＝2d＝6，‎ ‎∴d＝3，‎ ‎∴bn＝3n－6.‎ ‎(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，‎ ‎∴cn＝＝，‎ ‎∴cn＋1－cn＝＜0，‎ cn＋1＜cn＜…＜c1＝，‎ ‎∴cn＋1＜cn≤.‎ ‎3．某社区为丰富居民的业余文化生活，准备举行一次趣味运动会．在“射击气球”这项比赛中，制定的比赛规则如下：每人只能参加一场比赛，每场比赛中选手依次射击编号为①②③④⑤的5个气球；在这5次射击中，若④⑤号气球都被击中，且①②③号气球至少有1个被击中，则此人获奖；否则不获奖．已知甲每次射击击中气球的概率都为，且各次射击结果互不影响．‎ ‎(1)求甲在比赛中获奖的概率；‎ ‎(2)设甲在5次射击中击中气球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．‎ 解：(1)记甲在5次射击中，击中k次获奖的事件为Ak，k＝3,4,5.‎ ‎∵A3，A4，A5互斥，‎ ‎∴甲获奖的概率P＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)．‎ ‎∵P(A3)＝C××2×＝，P(A4)＝C×2××＝，P(A5)＝C×3×＝，‎ ‎∴甲在比赛中获奖的概率P＝＋＋＝.‎ ‎(2)随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,4,5.‎ ‎∵P(ξ＝0)＝5＝，‎ P(ξ＝1)＝C××4＝，‎ P(ξ＝2)＝C×2×3＝，‎ P(ξ＝3)＝C×3×2＝，‎ P(ξ＝4)＝C×4×＝，‎ P(ξ＝5)＝5＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.‎ ‎4.如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．‎ ‎(1)求证：AC⊥DE；‎ ‎(2)已知二面角APBD的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．‎ 解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC.‎ 又BD∩PD＝D，‎ ‎∴AC⊥平面PBD.‎ ‎∵DE⊂平面PBD，‎ ‎∴AC⊥DE.‎ ‎(2)连接EO，在△PDB中，EO∥PD，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD.‎ 分别以OA，OB，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t(t>0)，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)．‎ 由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的一个法向量为n2＝(x，y，z)，且＝(－1, ，0)，＝(－1，－，t)，则根据得 令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n2＝.‎ ‎∵二面角APBD的余弦值为，‎ ‎∴|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，‎ 解得t＝2或t＝－2(舍去)，∴P(0，－，2)．‎ 设EC与平面PAB所成的角为θ，‎ ‎∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，‎ ‎∴sin θ＝|cos〈，n2〉|＝＝，‎ ‎∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.‎