- 2021-05-13 发布 |
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文档介绍
2014年版高考数学理二轮分类练习题目9
备战2014数学分类突破赢高考9 1.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足A+C=2B,且cos(B+C)=-. (1)求cos C的值; (2)若a=5,求△ABC的面积. 解:(1)∵A+C=2B,且A+B+C=π, ∴B=. ∵cos(B+C)=-, ∴sin(B+C)==, ∴cos C=cos[(B+C)-B]=cos(B+C)cos B+sin(B+C)sin B=-×+×=. (2)由(1)可得sin C==,sin A=sin (B+C)=. 在△ABC中,由正弦定理==,得 c==8. S△ABC=acsin B=×5×8×=10. 2.数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足b3=3,b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设cn=(n∈N*),求证cn+1<cn≤. 解:(1)由an+1=2Sn+1, ① 得an=2Sn-1+1, ② ①-②得an+1-an=2(Sn-Sn-1), ∴an+1=3an, ∴an=3n-1. ∵b5-b3=2d=6, ∴d=3, ∴bn=3n-6. (2)证明:∵an+2=3n+1,bn+2=3n, ∴cn==, ∴cn+1-cn=<0, cn+1<cn<…<c1=, ∴cn+1<cn≤. 3.某社区为丰富居民的业余文化生活,准备举行一次趣味运动会.在“射击气球”这项比赛中,制定的比赛规则如下:每人只能参加一场比赛,每场比赛中选手依次射击编号为①②③④⑤的5个气球;在这5次射击中,若④⑤号气球都被击中,且①②③号气球至少有1个被击中,则此人获奖;否则不获奖.已知甲每次射击击中气球的概率都为,且各次射击结果互不影响. (1)求甲在比赛中获奖的概率; (2)设甲在5次射击中击中气球的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望. 解:(1)记甲在5次射击中,击中k次获奖的事件为Ak,k=3,4,5. ∵A3,A4,A5互斥, ∴甲获奖的概率P=P(A3)+P(A4)+P(A5). ∵P(A3)=C××2×=,P(A4)=C×2××=,P(A5)=C×3×=, ∴甲在比赛中获奖的概率P=++=. (2)随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3,4,5. ∵P(ξ=0)=5=, P(ξ=1)=C××4=, P(ξ=2)=C×2×3=, P(ξ=3)=C×3×2=, P(ξ=4)=C×4×=, P(ξ=5)=5=. ∴ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 5 P E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=. 4.如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点. (1)求证:AC⊥DE; (2)已知二面角APBD的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值. 解:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, ∴PD⊥AC. ∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC. 又BD∩PD=D, ∴AC⊥平面PBD. ∵DE⊂平面PBD, ∴AC⊥DE. (2)连接EO,在△PDB中,EO∥PD, ∴EO⊥平面ABCD. 分别以OA,OB,OE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设PD=t(t>0),则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),E,P(0,-,t). 由(1)知,平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PAB的一个法向量为n2=(x,y,z),且=(-1, ,0),=(-1,-,t),则根据得 令y=1,得平面PAB的一个法向量为n2=. ∵二面角APBD的余弦值为, ∴|cos〈n1,n2〉|=,即=, 解得t=2或t=-2(舍去),∴P(0,-,2). 设EC与平面PAB所成的角为θ, ∵=(-1,0,-),n2=(,1,1), ∴sin θ=|cos〈,n2〉|==, ∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.查看更多