山东泰安市中考数学试题含答案解析

山东泰安市中考数学试题含答案解析

WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 2018 年山东泰安市中考数学试卷 　 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过 一个，均记零分） 1．（3 分）（2018•泰安）计算：﹣（﹣2）+（﹣2）0 的结果是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．3 2．（3 分）（2018•泰安）下列运算正确的是（　　） A．2y3+y3=3y6 B．y2•y3=y6 C．（3y2）3=9y6 D．y3÷y﹣2=y5 3．（3 分）（2018•泰安）如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（　　） A． B． C． D． 4．（3 分）（2018•泰安）如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放 在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1 的大小为（　　） A．14° B．16° C．90°﹣α D．α﹣44° 5．（3 分）（2018•泰安）某中学九年级二班六组的 8 名同学在一次排球垫球测 试中的成绩如下（单位：个） 35 38 42 44 40 47 45 45 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 则这组数据的中位数、平均数分别是（　　） A．42、42 B．43、42 C．43、43 D．44、43 6．（3 分）（2018•泰安）夏季来临，某超市试销 A、B 两种型号的风扇，两周内 共销售 30 台，销售收入 5300 元，A 型风扇每台 200 元，B 型风扇每台 150 元， 问 A、B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 A 型风扇销售了 x 台，B 型风 扇销售了 y 台，则根据题意列出方程组为（　　） A．{ x + y = 5300 200x + 150y = 30 B．{ x + y = 5300 150x + 200y = 30 C．{ x + y = 30 200x + 150y = 5300 D．{ x + y = 30 150x + 200y = 5300 7．（3 分）（2018•泰安）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y= a x与一次函数 y=ax+b 在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C ． D． 8．（3 分）（2018•泰安）不等式组{ x - 1 3 - 1 2x＜ - 1 4(x - 1) ≤ 2(x - a) 有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（　　） A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5 9．（3 分）（2018•泰安）如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA=140°，则∠ACB WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 10．（3 分）（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于 3 D．有两个正根，且有一根大于 3 11．（3 分）（2018•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中 每个小正方形的边长均为 1，△ABC 经过平移后得到△A 1B1C1，若 AC 上一点 P （1.2，1.4）平移后对应点为 P 1，点 P1 绕原点顺时针旋转 180°，对应点为 P2， 则点 P2 的坐标为（　　） A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D ．（﹣3.8 ， ﹣2.6） 12．（3 分）（2018•泰安）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、 点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（　　） WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 A．3 B．4 C．6 D．8 　 二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对 得 3 分) 13 ． （ 3 分 ） （ 2018• 泰 安 ） 一 个 铁 原 子 的 质 量 是 0.000000000000000000000000093kg，将这个数据用科学记数法表示为　 　kg． 14．（3 分）（2018•泰安）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙ O 的直径为　 　． 15．（3 分）（2018•泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A'处，若 EA'的延长线恰好过点 C，则 sin∠ABE 的值 为　 　． 16．（3 分）（2018•泰安）观察“田”字中各数之间的关系： 则 c 的值为　 　． 17．（3 分）（2018•泰安）如图，在△ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= 3 4，点 D 是 AC 边上的动点（不与点 C 重合），过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 接 EF，设 CD=x，△DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为　 　． 18．（3 分）（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾 股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木， 问：出南门几步面见木？” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长 度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直 线 AC 上）？请你计算 KC 的长为　 　步． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明 过程或推演步骤) 19．（6 分）（2018•泰安）先化简，再求值 m2 - 4m + 4 m - 1 ÷（ 3 m - 1﹣m﹣1），其中 m= 2﹣2 20．（9 分）（2018•泰安）文美书店决定用不多于 20000 元购进甲乙两种图书共 1200 本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本 20 元、14 元，甲种图书每 本的售价是乙种图书每本售价的 1.4 倍，若用 1680 元在文美书店可购买甲种图 书的本数比用 1400 元购买乙种图书的本数少 10 本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3 元，乙种图书售价每本 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 降低 2 元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售 完．） 21．（8 分）（2018•泰安）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级 1000 名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取一个班学生的成绩进行整理， 分为 A，B，C，D 四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部 分），请依据如图提供的信息，完成下列问题： （1）请估计本校初三年级等级为 A 的学生人数； （2）学校决定从得满分的 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人参加市级比赛， 请求出恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的概率． 22．（9 分）（2018•泰安）如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y= m x的图象经过点 E，与 AB 交于点 F． （1）若点 B 坐标为（﹣6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表 达式； （2）若 AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式． 23．（11 分）（2018•泰安）如图，△ABC 中，D 是 AB 上一点，DE⊥AC 于点 E，F 是 AD 的中点，FG⊥BC 于点 G，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分∠CAB，连接 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 GE，CD． （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由． 24．（11 分）（2018•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E （0，﹣2），连接 AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写 出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由． 25．（12 分）（2018•泰安）如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是 BD 上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点 B 作 DA 的垂线，交 DA 的延长线于点 G． （1）∠DEF 和∠AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）找出图中与△AGB 相似的三角形，并证明； （3）BF 的延长线交 CD 的延长线于点 H，交 AC 于点 M．求证：BM2=MF•MH． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 　 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 2018 年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过 一个，均记零分） 1．（3 分）（2018•泰安）计算：﹣（﹣2）+（﹣2）0 的结果是（　　） A．﹣3 B．0 C．﹣1 D．3 【考点】6E：零指数幂． 【专题】11 ：计算题． 【分析】根据相反数的概念、零指数幂的运算法则计算． 【解答】解：﹣（﹣2）+（﹣2）0 =2+1 =3， 故选：D． 【点评】本题考查的是零指数幂的运算，掌握任何非零数的零次幂等于 1 是解题 的关键． 　 2．（3 分）（2018•泰安）下列运算正确的是（　　） A．2y3+y3=3y6 B．y2•y3=y6 C．（3y2）3=9y6 D．y3÷y﹣2=y5 【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂 的乘方与积的乘方；6F：负整数指数幂． 【专题】11 ：计算题． 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘、除法法则、积的乘方法则计算， 判断即可． 【解答】解：2y3+y3=3y3，A 错误； y2•y3=y5，B 错误； （3y2）3=27y6，C 错误； y3÷y﹣2=y3﹣（﹣2）=y5， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 故选：D． 【点评】本题考查的是合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除 法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 　 3．（3 分）（2018•泰安）如图是下列哪个几何体的主视图与俯视图（　　） A． B． C． D． 【考点】U3：由三视图判断几何体． 【专题】1 ：常规题型． 【分析】直接利用主视图以及俯视图的观察角度结合结合几何体的形状得出答案． 【解答】解：由已知主视图和俯视图可得到该几何体是圆柱体的一半，只有选项 C 符合题意． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确掌握常见几何体的形状是解 题关键． 　 4．（3 分）（2018•泰安）如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放 在矩形的两条对边上，若∠2=44°，则∠1 的大小为（　　） WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 A．14° B．16° C．90°﹣α D．α﹣44° 【考点】JA：平行线的性质． 【专题】551：线段、角、相交线与平行线． 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质， 可得∠3=∠1+30°，进而得出∠1=44°﹣30°=14°． 【解答】解：如图，∵矩形的对边平行， ∴∠2=∠3=44°， 根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°， ∴∠1=44°﹣30°=14°， 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意： 两直线平行，同位角相等． 　 5．（3 分）（2018•泰安）某中学九年级二班六组的 8 名同学在一次排球垫球测 试中的成绩如下（单位：个） 35 38 42 44 40 47 45 45 则这组数据的中位数、平均数分别是（　　） A．42、42 B．43、42 C．43、43 D．44、43 【考点】W4：中位数；W1：算术平均数． 【专题】11 ：计算题． 【分析】根据中位线的概念求出中位数，利用算术平均数的计算公式求出平均 数． 【解答】解：把这组数据排列顺序得：35 38 40 42 44 45 45 47， 则这组数据的中位数为： 42 + 44 2 =43， x= 1 8（35+38+42+44+40+47+45+45）=42， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 故选：B． 【点评】本题考查的是中位数的确定、算术平均数的计算，掌握中位数的概念、 算术平均数的计算公式是解题的关键． 　 6．（3 分）（2018•泰安）夏季来临，某超市试销 A、B 两种型号的风扇，两周内 共销售 30 台，销售收入 5300 元，A 型风扇每台 200 元，B 型风扇每台 150 元， 问 A、B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 A 型风扇销售了 x 台，B 型风 扇销售了 y 台，则根据题意列出方程组为（　　） A．{ x + y = 5300 200x + 150y = 30 B．{ x + y = 5300 150x + 200y = 30 C．{ x + y = 30 200x + 150y = 5300 D．{ x + y = 30 150x + 200y = 5300 【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组． 【专题】1 ：常规题型． 【分析】直接利用两周内共销售 30 台，销售收入 5300 元，分别得出等式进而得 出答案． 【解答】解：设 A 型风扇销售了 x 台，B 型风扇销售了 y 台， 则根据题意列出方程组为：{ x + y = 30 200x + 150y = 5300． 故选：C． 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系 是解题关键． 　 7．（3 分）（2018•泰安）二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则反比例函数 y= a x与一次函数 y=ax+b 在同一坐标系内的大致图象是（　　） WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 A． B． C ． D． 【考点】G2：反比例函数的图象；F3：一次函数的图象；H2：二次函数的图 象． 【专题】1 ：常规题型． 【分析】首先利用二次函数图象得出 a，b 的值，进而结合反比例函数以及一次 函数的性质得出答案． 【解答】解：由二次函数开口向上可得：a＞0，对称轴在 y 轴左侧，故 a，b 同 号，则 b＞0， 故反比例函数 y= a x图象分布在第一、三象限，一次函数 y=ax+b 经过第一、二、 三象限． 故选：C． 【点评】此题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象，正确得出 a，b 的值是解题关键． 　 8．（3 分）（2018•泰安）不等式组{ x - 1 3 - 1 2x＜ - 1 4(x - 1) ≤ 2(x - a) 有 3 个整数解，则 a 的取值范围是（　　） A．﹣6≤a＜﹣5 B．﹣6＜a≤﹣5 C．﹣6＜a＜﹣5 D．﹣6≤a≤﹣5 【考点】CC：一元一次不等式组的整数解． 【专题】52：方程与不等式． 【分析】根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解有 3 个整数解， 可得答案． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【解答】解：不等式组{ x - 1 3 - 1 2x＜ - 1 4(x - 1) ≤ 2(x - a) ， 由 x - 1 3 ﹣ 1 2x＜﹣1，解得：x＞4， 由 4（x﹣1）≤2（x﹣a），解得：x≤2﹣a， 故不等式组的解为：4＜x≤2﹣a， 由关于 x 的不等式组{ x - 1 3 - 1 2x＜ - 1 4(x - 1) ≤ 2(x - a) 有 3 个整数解， 解得：7≤2﹣a＜8， 解得：﹣6＜a≤﹣5． 故选：B． 【点评】本题考查了一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于 a 的不等式是 解题关键． 　 9．（3 分）（2018•泰安）如图，BM 与⊙O 相切于点 B，若∠MBA=140°，则∠ACB 的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【考点】MC：切线的性质． 【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系． 【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°， 由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案． 【解答】解：如图，连接 OA、OB， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 ∵BM 是⊙O 的切线， ∴∠OBM=90°， ∵∠MBA=140°， ∴∠ABO=50°， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO=50°， ∴∠AOB=80°， ∴∠ACB= 1 2∠AOB=40°， 故选：A． 【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切 线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经 过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 　 10．（3 分）（2018•泰安）一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（　　） A．无实数根 B．有一个正根，一个负根 C．有两个正根，且都小于 3 D．有两个正根，且有一根大于 3 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点． 【专题】1 ：常规题型． 【分析】直接整理原方程，进而解方程得出 x 的值． 【解答】解：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5 整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5， 则 x2﹣4x+2=0， （x﹣2）2=2， 解得：x1=2+ 2＞3，x2=2﹣ 2， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 故有两个正根，且有一根大于 3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 　 11．（3 分）（2018•泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中 每个小正方形的边长均为 1，△ABC 经过平移后得到△A 1B1C1，若 AC 上一点 P （1.2，1.4）平移后对应点为 P 1，点 P1 绕原点顺时针旋转 180°，对应点为 P2， 则点 P2 的坐标为（　　） A．（2.8，3.6） B．（﹣2.8，﹣3.6） C．（3.8，2.6） D ．（﹣3.8 ， ﹣2.6） 【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；Q3：坐标与图形变化﹣平移． 【专题】531：平面直角坐标系． 【分析】由题意将点 P 向下平移 5 个单位，再向左平移 4 个单位得到 P1，再根据 P1 与 P2 关于原点对称，即可解决问题； 【解答】解：由题意将点 P 向下平移 5 个单位，再向左平移 4 个单位得到 P1， ∵P（1.2，1.4）， ∴P1（﹣2.8，﹣3.6）， ∵P1 与 P2 关于原点对称， ∴P2（2.8，3.6）， 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是 理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 　 12．（3 分）（2018•泰安）如图，⊙M 的半径为 2，圆心 M 的坐标为（3，4），点 P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、 点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】M8：点与圆的位置关系；KQ：勾股定理；R6：关于原点对称的点的坐 标． 【专题】1 ：常规题型；55A：与圆有关的位置关系． 【分析】由 Rt△APB 中 AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连 接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可 得． 【解答】解：∵PA⊥PB， ∴∠APB=90°， ∵AO=BO， ∴AB=2PO， 若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值， 连接 OM，交⊙M 于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值， 过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q， 则 OQ=3、MQ=4， ∴OM=5， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 又∵MP′=2， ∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6， 故选：C． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半得出 AB 取得最小值时点 P 的位置． 　 二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分。只要求填写最后结果，每小题填对 得 3 分) 13 ． （ 3 分 ） （ 2018• 泰 安 ） 一 个 铁 原 子 的 质 量 是 0.000000000000000000000000093kg，将这个数据用科学记数法表示为　9.3× 10﹣26　kg． 【考点】1J：科学记数法—表示较小的数． 【专题】1 ：常规题型． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＜1 时，n 是负数；n 的绝对值等于第一个非零 数前零的个数． 【解答】解：0.000000000000000000000000093=9.3×10﹣26， 故答案为：9.3×10﹣26． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形 式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 14．（3 分）（2018•泰安）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A=45°，BC=4，则⊙ O 的直径为　4 2　． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【考点】MA：三角形的外接圆与外心． 【专题】559：圆的有关概念及性质． 【 分 析 】 连 接 OB ， OC ， 依 据 △ BOC 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 可 得 到 BO=CO=BC•cos45°=2 2，进而得出⊙O 的直径为 4 2． 【解答】解：如图，连接 OB，OC， ∵∠A=45°， ∴∠BOC=90°， ∴△BOC 是等腰直角三角形， 又∵BC=4， ∴BO=CO=BC•cos45°=2 2， ∴⊙O 的直径为 4 2， 故答案为：4 2． 【点评】本题主要考查了三角形的外接圆以及圆周角定理的运用，三角形外接圆 的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 　 15．（3 分）（2018•泰安）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=10，将矩形 ABCD 沿 BE 折叠，点 A 落在 A'处，若 EA'的延长线恰好过点 C，则 sin∠ABE 的值为　 10 10 　． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质；T7：解直角三角形． 【专题】11 ：计算题． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【分析】先利用勾股定理求出 A'C，进而利用勾股定理建立方程求出 AE，即可求 出 BE，最后用三角函数即可得出结论． 【解答】解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90°， ∴∠BA'C=90°， 在 Rt△A'CB 中，A'C= BC2 - A'B2=8， 设 AE=x，则 A'E=x， ∴DE=10﹣x，CE=A'C+A'E=8+x， 在 Rt△CDE 中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36=（8+x）2， ∴x=2， ∴AE=2， 在 Rt△ABE 中，根据勾股定理得，BE= AB2 + AE2=2 10， ∴sin∠ABE= AE BE= 10 10 ， 故答案为： 10 10 ． 【点评】此题主要考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股 定理求出线段 AE 是解本题的关键． 　 16．（3 分）（2018•泰安）观察“田”字中各数之间的关系： 则 c 的值为　270 或 28+14　． 【考点】37：规律型：数字的变化类． 【专题】2A ：规律型；512：整式． 【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观 察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可． 【解答】解：经过观察每个“田”左上角数字依此是 1，3，5，7 等奇数，此位 置数为 15 时，恰好是第 8 个奇数，即此“田”字为第 8 个．观察每个“田”字 左下角数据，可以发现，规律是 2，22，23，24 等，则第 8 数为 28．观察左下 和右上角，每个“田”字的右上角数字依次比左下角大 0，2，4，6 等，到第 8 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 个图多 14．则 c=28+14=270 故应填：270 或 28+14 【点评】本题以探究数字规律为背景，考查学生的数感．解题时注意同等位置的 数字变化规律，用代数式表示出来． 　 17．（3 分）（2018•泰安）如图，在△ABC 中，AC=6，BC=10，tanC= 3 4，点 D 是 AC 边上的动点（不与点 C 重合），过 D 作 DE⊥BC，垂足为 E，点 F 是 BD 的中点，连 接 EF，设 CD=x，△DEF 的面积为 S，则 S 与 x 之间的函数关系式为　S= - 3 25x2 + 3 2x　． 【考点】T7：解直角三角形；E3：函数关系式． 【专题】552：三角形． 【分析】可在直角三角形 CED 中，根据 DE、CE 的长，求出△BED 的面积即可解 决问题． 【解答】解：（1）在 Rt△CDE 中，tanC= 3 4，CD=x ∴DE= 3 5x，CE= 4 5x， ∴BE=10﹣ 4 5x， ∴S△BED= 1 2×（10﹣ 4 5x）• 3 5x=﹣ 6 25x2+3x． ∵DF=BF， ∴S= 1 2S△BED= - 3 25x2 + 3 2x， 故答案为 S= - 3 25x2 + 3 2x． 【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 　 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 18．（3 分）（2018•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾 股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木， 问：出南门几步面见木？” 用今天的话说，大意是：如图，DEFG 是一座边长为 200 步（“步”是古代的长 度单位）的正方形小城，东门 H 位于 GD 的中点，南门 K 位于 ED 的中点，出东门 15 步的 A 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 A 处的树木（即点 D 在直 线 AC 上）？请你计算 KC 的长为　 2000 3 　步． 【考点】SA：相似三角形的应用． 【专题】12 ：应用题． 【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得 CK 100= 100 15 ，然后利用比例 性质可求出 CK 的长． 【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15， ∵AH∥DK， ∴∠CDK=∠A， 而∠CKD=∠AHD， ∴△CDK∽△DAH， ∴ CK DH= DK AH，即 CK 100= 100 15 ， ∴CK= 2000 3 ． 答：KC 的长为 2000 3 步． 故答案为 2000 3 ． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形， 用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 　 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 66 分。解答应写出必要的文字说明、证明 过程或推演步骤) 19．（6 分）（2018•泰安）先化简，再求值 m2 - 4m + 4 m - 1 ÷（ 3 m - 1﹣m﹣1），其中 m= 2﹣2 【考点】6D：分式的化简求值． 【专题】11 ：计算题；513：分式． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 m 的值代入计算 可得． 【解答】解：原式= (m - 2)2 m - 1 ÷（ 3 m - 1﹣ m2 - 1 m - 1 ） = (m - 2)2 m - 1 ÷ 4 - m2 m - 1 = (m - 2)2 m - 1 • m - 1 -(m + 2)(m - 2) =﹣ m - 2 m + 2， 当 m= 2﹣2 时， 原式=﹣ 2 - 2 - 2 2 - 2 + 2 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 =﹣ 2 - 4 2 =﹣1+2 2． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序 和运算法则． 　 20．（9 分）（2018•泰安）文美书店决定用不多于 20000 元购进甲乙两种图书共 1200 本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本 20 元、14 元，甲种图书每 本的售价是乙种图书每本售价的 1.4 倍，若用 1680 元在文美书店可购买甲种图 书的本数比用 1400 元购买乙种图书的本数少 10 本． （1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？ （2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3 元，乙种图书售价每本 降低 2 元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售 完．） 【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用． 【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式(组)及应用． 【分析】（1）根据题意，列出分式方程即可； （2）先用进货量表示获得的利润，求函数最大值即可． 【解答】解：（1）设乙种图书售价每本 x 元，则甲种图书售价为每本 1.4x 元 由题意得： 1400 x - 1680 1.4x = 10 解得：x=20 经检验，x=20 是原方程的解 ∴甲种图书售价为每本 1.4×20=28 元 答：甲种图书售价每本 28 元，乙种图书售价每本 20 元 （2）设甲种图书进货 a 本，总利润元，则 =（28﹣20﹣3）a+（20﹣14﹣2）（1200﹣a）=a+4800 ∵20a+14×（1200﹣a）≤20000 解得 a≤ 1600 3 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 ∵w 随 a 的增大而增大 ∴当 a 最大时 w 最大 ∴当 a=533 本时，w 最大 此时，乙种图书进货本数为 1200﹣533=667（本） 答：甲种图书进货 533 本，乙种图书进货 667 本时利润最大． 【点评】本题分别考查了分式方程和一次函数最值问题，注意研究利润最大分成 两个部分，先表示利润再根据函数性质求出函数最大值． 　 21．（8 分）（2018•泰安）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级 1000 名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取一个班学生的成绩进行整理， 分为 A，B，C，D 四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部 分），请依据如图提供的信息，完成下列问题： （1）请估计本校初三年级等级为 A 的学生人数； （2）学校决定从得满分的 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人参加市级比赛， 请求出恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的概率． 【考点】X6：列表法与树状图法；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC： 条形统计图． 【专题】1 ：常规题型；54：统计与概率． 【分析】（1）先根据 C 等级人数及其所占百分比求得总人数，用总人数减去 B、 C、D 的人数求得 A 等级人数，再用总人数乘以样本中 A 等级人数所占比例； （2）列出从 3 名女生和 2 名男生中随机抽取 3 人的所有等可能结果，再从中找 到恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的结果数，根据概率公式计算可得． 【解答】解：（1）∵所抽取学生的总数为 8÷20%=40 人， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 ∴该班级等级为 A 的学生人数为 40﹣（25+8+2）=5 人， 则估计本校初三年级等级为 A 的学生人数为 1000× 5 40=125 人； （2）设两位满分的男生记为 A1、A2、三位满分的女生记为 B1、B2、B3， 从这 5 名同学中选 3 人的所有等可能结果为： （B1，B2，B3）、（A2，B2，B3）、（A2，B1，B3）、（A2，B1，B2）、（A1，B2，B3）、 （A1，B1，B3）、（A1，B1，B2）、（A1，A2，B3）、（A1，A2，B2）、（A1，A2，B1）， 其中恰好有 2 名女生、1 名男生的结果有 6 种， 所以恰好抽到 2 名女生和 1 名男生的概率为 6 10= 3 5． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用 到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 　 22．（9 分）（2018•泰安）如图，矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8，E 是 DC 的中点，反比例函数 y= m x的图象经过点 E，与 AB 交于点 F． （1）若点 B 坐标为（﹣6，0），求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表 达式； （2）若 AF﹣AE=2，求反比例函数的表达式． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】534：反比例函数及其应用． 【分析】（1）根据矩形的性质，可得 A，E 点坐标，根据待定系数法，可得答案； （2）根据勾股定理，可得 AE 的长，根据线段的和差，可得 FB，可得 F 点坐标， 根据待定系数法，可得 m 的值，可得答案． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【解答】解：（1）点 B 坐标为（﹣6，0），AD=3，AB=8，E 为 CD 的中点， ∴点 A（﹣6，8），E（﹣3，4）， 函数图象经过 E 点， ∴m=﹣3×4=﹣12， 设 AE 的解析式为 y=kx+b， { -6k + b = 8 -3k + b = 4， 解得{k = - 4 3 b = 0 ， 一次函数的解析是为 y=﹣ 4 3x； （2）AD=3，DE=4， ∴AE= AD2 + DE2=5， ∵AF﹣AE=2， ∴AF=7， BF=1， 设 E 点坐标为（a，4），则 F 点坐标为（a﹣3，1）， ∵E，F 两点在函数 y= m x图象上， ∴4a=a﹣3，解得 a=﹣1， ∴E（﹣1，4）， ∴m=﹣1×4=﹣4， ∴y=﹣ 4 x． 【点评】本题考查了反比例函数，解（1）的关键是利用待定系数法，又利用了 矩形的性质；解（2）的关键利用 E，F 两点在函数 y= m x图象上得出关于 a 的方 程． 　 23．（11 分）（2018•泰安）如图，△ABC 中，D 是 AB 上一点，DE⊥AC 于点 E，F 是 AD 的中点，FG⊥BC 于点 G，与 DE 交于点 H，若 FG=AF，AG 平分∠CAB，连接 GE，CD． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 （1）求证：△ECG≌△GHD； （2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形 AEGF 是否为菱形，并说明理由． 【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质． 【专题】152：几何综合题． 【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据 F 是 AD 的中点， FG∥AE，即可得到 FG 是线段 ED 的垂直平分线，进而得到 GE=GD，∠CGE=∠GDE， 利用 AAS 即可判定△ECG≌△GHD； （2）过点 G 作 GP⊥AB 于 P，判定△CAG≌△PAG，可得 AC=AP，由（1）可得 EG=DG，即可得到 Rt△ECG≌Rt△GPD，依据 EC=PD，即可得出 AD=AP+PD=AC+EC； （3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到 AE= 1 2AD，故 AE=AF=FG，再根据四 边形 AECF 是平行四边形，即可得到四边形 AEGF 是菱形． 【解答】解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA， ∵AG 平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA， ∴∠CAG=∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC， ∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 ∵F 是 AD 的中点，FG∥AE， ∴H 是 ED 的中点， ∴FG 是线段 ED 的垂直平分线， ∴GE=GD，∠GDE=∠GED， ∴∠CGE=∠GDE， ∴△ECG≌△GHD； （2）证明：过点 G 作 GP⊥AB 于 P， ∴GC=GP，而 AG=AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC=AP， 由（1）可得 EG=DG， ∴Rt△ECG≌Rt△GPD， ∴EC=PD， ∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形 AEGF 是菱形， 证明：∵∠B=30°， ∴∠ADE=30°， ∴AE= 1 2AD， ∴AE=AF=FG， 由（1）得 AE∥FG， ∴四边形 AECF 是平行四边形， ∴四边形 AEGF 是菱形． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和 性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含 30°角的直角三角形的性质的综合运 WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． 　 24．（11 分）（2018•泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣4，0）、B（2，0），交 y 轴于点 C（0，6），在 y 轴上有一点 E （0，﹣2），连接 AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点 D 为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使△AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写 出所有 P 点的坐标，若不存在请说明理由． 【考点】HF：二次函数综合题． 【专题】16 ：压轴题． 【分析】（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点 D 坐标，过点 D 作 DG⊥x 轴，交 AE 于点 F，表示△ ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点 P 坐标，分 PA=PE，PA=AE，PE=AE 三种情况讨论分析即可． 【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2+bx+c 经过点 A（﹣4，0）、B（2，0），C （0，6）， ∴{16a - 4b + c = 0 4a + 2b + c = 0 c = 6 ， 解得，{a = - 3 4 b = - 3 2 c = 6 ， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 所以二次函数的解析式为：y= - 3 4x2 - 3 2x + 6， （2）由 A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求 AE 所在直线解析式为 y= - 1 2x - 2， 过点 D 作 DN⊥x 轴，交 AE 于点 F，交 x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H， 如图 设 D（m， - 3 4m2 - 3 2m + 6），则点 F（m， - 1 2m - 2）， ∴DF= - 3 4m2 - 3 2m + 6﹣（ - 1 2m - 2）= - 3 4m2 -m + 8， ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF= 1 2×DF×AG+ 1 2DF×EH = 1 2×DF×AG+ 1 2×DF×EH = 1 2×4×DF =2×（ - 3 4m2 -m + 8） = - 3 2(m + 2 3)2 + 50 3 ， ∴当 m= - 2 3时，△ADE 的面积取得最大值为 50 3 ． （3）y= - 3 4x2 - 3 2x + 6的对称轴为 x=﹣1， 设 P（﹣1，n），又 E（0，﹣2），A（﹣4，0）， 可求 PA= 9 + n2，PE= 1 + (n + 2)2，AE= 16 + 4 = 2 5， 当 PA=PE 时， 9 + n2= 1 + (n + 2)2， 解得，n=1，此时 P（﹣1，1）； 当 PA=AE 时， 9 + n2= 16 + 4 = 2 5， WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 解得，n= ± 11，此时点 P 坐标为（﹣1， ± 11）； 当 PE=AE 时， 1 + (n + 2)2= 16 + 4 = 2 5， 解得，n=﹣2 ± 19，此时点 P 坐标为：（﹣1，﹣2 ± 19）． 综上所述， P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1， ± 11），（﹣1，﹣2 ± 19）． 【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函 数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解 决此题的关键． 　 25．（12 分）（2018•泰安）如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是 BD 上一点，EF∥AB，∠EAB=∠EBA，过点 B 作 DA 的垂线，交 DA 的延长线于点 G． （1）∠DEF 和∠AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由； （2）找出图中与△AGB 相似的三角形，并证明； （3）BF 的延长线交 CD 的延长线于点 H，交 AC 于点 M．求证：BM2=MF•MH． 【考点】SO：相似形综合题． 【专题】15 ：综合题． 【分析】（1）先判断出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出结论； （2）先判断出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，进而得出∠GAB=∠AEO，即可得出结 论； WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 （3）先判断出 BM=DM，∠ADM=∠ABM，进而得出∠ADM=∠H，判断出△MFD∽△ MDH，即可得出结论， 【解答】解：（1）∠DEF=∠AEF， 理由：∵EF∥AB， ∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB， ∵∠EAB=∠EBA， ∴∠DEF=∠AEF； （2）△EOA∽△AGB， 理由：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD，AC⊥BD， ∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE， ∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE， ∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°， ∴△EOA∽△AGB； （3）如图，连接 DM，∵四边形 ABCD 是菱形， 由对称性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM， ∵AB∥CH， ∴∠ABM=∠H， ∴∠ADM=∠H， ∵∠DMH=∠FMD， ∴△MFD∽△MDH， ∴ DM MH = MF DM， ∴DM2=MF•MH， ∴BM2=MF•MH． WORD 整理版分享 范文范例 参考指导 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，对称性，相似三角形的 判定和性质，判断出△EOA∽△AGB 是解本题的关键．