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文档介绍
2020年中考数学压轴题:分式方程考点专练
2020 中考数学压轴题:分式方程考点专练 【考点 1】解分式方程 【例 1】(2019•上海)解方程: 1 【答案】x=﹣4 【解析】去分母得:2x2﹣8=x2﹣2x,即 x2+2x﹣8=0, 分解因式得:(x﹣2)(x+4)=0, 解得:x=2 或 x=﹣4, 经检验 x=2 是增根,分式方程的解为 x=﹣4. 点睛:此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 【变式 1-1】(2019•宁夏)解方程: 1 . 【答案】x=4 【解析】 1 , 方程两边同时乘以(x+2)(x﹣1),得 2(x﹣1)+(x+2)(x﹣1)=x(x+2), ∴x=4, 经检验 x=4 是方程的解; ∴方程的解为 x=4; 点睛:本题考查分式方程的解;掌握分式方程的求解方法,验根是关键. 【变式 1-2】(2019•广安)解分式方程: 1 . 【答案】x=4 【解析】 1 , 方程两边乘(x﹣2)2 得:x(x﹣2)﹣(x﹣2)2=4, 解得:x=4, 检验:当 x=4 时,(x﹣2)2≠0. 所以原方程的解为 x=4. 点睛:此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 【考点 2】已知分式方程的解,求字母参数的值 【例 2】(2019•株洲)关于 x 的分式方程 解为 x=4,则常数 a 的值为( ) A.a=1 B.a=2 C.a=4 D.a=10 【答案】D 【解析】把 x=4 代入方程 ,得 0, 解得 a=10. 故选:D. 点睛:此题考查了分式方程的解,分式方程注意分母不能为 0. 【变式 2-1】(2019•张家界)若关于 x 的分式方程 1 的解为 x=2,则 m 的值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】∵关于 x 的分式方程 1 的解为 x=2, ∴x=m﹣2=2, 解得:m=4. 故选:B. 点睛:此题主要考查了分式方程的解,正确解方程是解题关键. 【考点 3】分式方程的特殊解问题 【例 3】(2019•鸡西)已知关于x 的分式方程 1 的解是非正数,则m 的取值范围是( ) A.m≤3 B.m<3 C.m>﹣3 D.m≥﹣3 【答案】A 【解析】 1, 方程两边同乘以 x﹣3,得 2x﹣m=x﹣3, 移项及合并同类项,得 x=m﹣3, ∵分式方程 1 的解是非正数,x﹣3≠0, ∴ , 解得,m≤3, 故选:A. 点睛:本题考查分式方程的解、解一元一次不等式,解答本题的关键是明确解分式方程的 方法. 【变式 3-1】(2019•荆州)已知关于 x 的分式方程 2 的解为正数,则 k 的取值范围 为( ) A.﹣2<k<0 B.k>﹣2 且 k≠﹣1 C.k>﹣2 D.k<2 且 k≠1 【答案】B 【解析】∵ 2, ∴ 2, ∴x=2+k, ∵该分式方程有解, ∴2+k≠1, ∴k≠﹣1, ∵x>0, ∴2+k>0, ∴k>﹣2, ∴k>﹣2 且 k≠﹣1, 故选:B. 点睛:本题考查分式方程的解法,解题的关键是熟练运用分式方程的解法,本题属于基础 题型. 【变式 3-2】(2019•齐齐哈尔)关于 x 的分式方程 3 的解为非负数,则 a 的取值 范围为 . 【答案】a≤4 且 a≠3 【解析】 3, 方程两边同乘以 x﹣1,得 2x﹣a+1=3(x﹣1), 去括号,得 2x﹣a+1=3x﹣3, 移项及合并同类项,得 x=4﹣a, ∵关于 x 的分式方程 3 的解为非负数,x﹣1≠0, ∴ , 解得,a≤4 且 a≠3, 故答案为:a≤4 且 a≠3. 点睛:本题考查分式方程的解、解一元一次不等式,解答本题的关键是明确解分式方程的 方法. 【考点 4】分式方程的无解(增根)问题 【例 4】(2019•烟台)若关于 x 的分式方程 1 有增根,则 m 的值为 . 【解析】.方程两边都乘(x﹣2), 得 3x﹣x+2=m+3 ∵原方程有增根, ∴最简公分母(x﹣2)=0, 解得 x=2, 当 x=2 时,m=3. 故答案为 3. 点睛:本题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为 0 确 定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 【变式 4-1】(2019•巴中)若关于 x 的分式方程 2m 有增根,则 m 的值为 . 【答案】1 【解析】方程两边都乘 x﹣2,得 x﹣2m=2m(x﹣2) ∵原方程有增根, ∴最简公分母 x﹣2=0, 解得 x=2, 当 x=2 时,m=1 故 m 的值是 1, 故答案为 1 点睛:本题考查了分式方程的增根.增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为 0 确 定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 【考点 5】分式方程的应用问题 【例 5】(2019•丹东)甲、乙两同学的家与某科技馆的距离均为 4000m.甲、乙两人同时从 家出发去科技馆,甲同学先步行 800m,然后乘公交车,乙同学骑自行车.已知乙骑自行 车的速度是甲步行速度的 4 倍,公交车的速度是乙骑自行车速度的 2 倍,结果甲同学比乙 同学晚到 2.5min.求乙到达科技馆时,甲离科技馆还有多远. 【答案】乙到达科技馆时,甲离科技馆还有 1600m 【解析】(1)设甲步行的速度为 x 米/分,则乙骑自行车的速度为 4x 米/分,公交车的速度 是 8x 米/分钟, 根据题意得 2.5 , 解得 x=80.经检验,x=80 是原分式方程的解. 所以 2.5×8×80=1600(m) 答:乙到达科技馆时,甲离科技馆还有 1600m. 点睛:本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键. 【变式 5-1】(2019•铁岭)某超市用 1200 元购进一批甲玩具,用 800 元购进一批乙玩具,所 购甲玩具件数是乙玩具件数的 ,已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多 1 元. (1)求:甲、乙玩具的进货单价各是多少元? (2)玩具售完后,超市决定再次购进甲、乙玩具(甲、乙玩具的进货单价不变),购进乙 玩具的件数比甲玩具件数的 2 倍多 60 件,求:该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩 具多少件? 【解析】(1)设甲种玩具的进货单价为 x 元,则乙种玩具的进价为(x﹣1)元, 根据题意得: , 解得:x=6, 经检验,x=6 是原方程的解, ∴x﹣1=5. 答:甲种玩具的进货单价 6 元,则乙种玩具的进价为 5 元. (2)设购进甲种玩具 y 件,则购进乙种玩具(2y+60)件, 根据题意得:6y+5(2y+60)≤2100, 解得:y≤112 , ∵y 为整数, ∴y 最大值=112 答:该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具 112 件. 点睛:本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准 等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量间的关系,正确列出一元一次不等式. 【变式 5-2】(2019•南通)列方程解应用题: 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为传承优秀传统文化,某校购进《西游记》 和《三国演义》若干套,其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多 40 元, 用 3200 元购买《三国演义》的套数是用 2400 元购买《西游记》套数的 2 倍,求每套《三 国演义》的价格. 【答案】每套《三国演义》的价格为 80 元 【解析】设每套《三国演义》的价格为 x 元,则每套《西游记》的价格为(x+40)元, 依题意,得: 2 , 解得:x=80, 经检验,x=80 是所列分式方程的解,且符合题意. 答:每套《三国演义》的价格为 80 元. 点睛:.本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 1.(2019•海南)分式方程 1 的解是( ) A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2 【答案】B 【解析】 1, 两侧同时乘以(x+2),可得 x+2=1, 解得 x=﹣1; 经检验 x=﹣1 是原方程的根; 故选:B. 点睛:本题考查分式方程的解法;熟练掌握分式方程的方法是解题的关键. 2.(2019•益阳)解分式方程 3 时,去分母化为一元一次方程,正确的是( ) A.x+2=3 B.x﹣2=3 C.x﹣2=3(2x﹣1) D.x+2=3(2x﹣1) 【答案】C 【解析】方程两边都乘以(2x﹣1),得 x﹣2=3(2x﹣1), 故选:C. 点睛:此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为 整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 3.(2019•遂宁)关于 x 的方程 1 的解为正数,则 k 的取值范围是( ) A.k>﹣4 B.k<4 C.k>﹣4 且 k≠4 D.k<4 且 k≠﹣4 【答案】C 【解析】分式方程去分母得:k﹣(2x﹣4)=2x, 解得:x , 根据题意得: 0,且 2, 解得:k>﹣4,且 k≠4. 故选:C. 点睛:此题考查了分式方程的解,本题需注意在任何时候都要考虑分母不为 0. 4.(2019•重庆)若关于 x 的一元一次不等式组 的解集是 x≤a,且关于 y 的 分式方程 1 有非负整数解,则符合条件的所有整数 a 的和为( ) A.0 B.1 C.4 D.6 【答案】B 【解析】由不等式组 得: ∵解集是 x≤a, ∴a<5; 由关于 y 的分式方程 1 得 2y﹣a+y﹣4=y﹣1 ∴y , ∵有非负整数解, ∴ 0, ∴5>a≥﹣3, 且 a=﹣3,a=﹣1(舍,此时分式方程为增根),a=1,a=3 它们的和为 1. 故选:B. 点睛:本题综合考查了含参一元一次不等式,含参分式方程得问题,需要考虑的因素较多, 属于易错题. 5.(2018•阿坝州)若 x=4 是分式方程 的根,则 a 的值为( ) A.6 B.﹣6 C.4 D.﹣4 【答案】A 【解析】将 x=4 代入分式方程可得: , 化简得 1, 解得 a=6. 故选:A. 点睛:本题主要考查分式方程及其解法.注意:在解方程的过程中因为在把分式方程化为 整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根,增根是令分母等于 0 的值, 不是原分式方程的解. 6.(2018•巴中)若分式方程 有增根,则实数 a 的取值是( ) A.0 或 2 B.4 C.8 D.4 或 8 【答案】D 【解析】方程两边同乘 x(x﹣2),得 3x﹣a+x=2(x﹣2), 由题意得,分式方程的增根为 0 或 2, 当 x=0 时,﹣a=﹣4, 解得,a=4, 当 x=2 时,6﹣a+2=0, 解得,a=8, 故选:D. 点睛:本题考查的是分式方程的增根,增根的定义:在分式方程变形时,有可能产生不适 合原方程的根,即代入分式方程后分母的值为 0 或是转化后的整式方程的根恰好是原方程 未知数的允许值之外的值的根,叫做原方程的增根. 7.(2019•鞍山)为了美化校园环境,某中学今年春季购买了 A,B 两种树苗在校园四周栽种, 已知 A 种树苗的单价比 B 种树苗的单价多 10 元,用 600 元购买 A 种树苗的棵数恰好与用 450 元购买 B 种树苗的棵数相同.若设 A 种树苗的单价为 x 元,则可列出关于 x 的方程为 . 【答案】 . 【解析】设 A 种树苗的单价为 x 元,则 B 种树苗的单价为(x﹣10)元,所以用 600 元购 买 A 种树苗的棵数是 ,用 450 元购买 B 种树苗的棵数是 . 由题意,得 . 故答案是: . 点睛:考查了由实际问题抽象出分式方程,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决 问题的关键. 8.(2019•永州)方程 的解为 x= . 【答案】﹣1 【解析】去分母得:2x=x﹣1, 解得:x=﹣1, 经检验 x=﹣1 是分式方程的解, 故答案为:﹣1 点睛:此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 9.(2019•锦州)甲、乙两地相距 1000km,如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 3h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍,设特快列车的平均速度为 xkm/h,根 据题意可列方程为 . 【答案】 【解析】由题意可得, , 故答案为: . 点睛:本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分 式方程. 10.(2019•铜仁市)分式方程 的解为 y= . 【答案】-3 【解析】去分母得:5y=3y﹣6, 解得:y=﹣3, 经检验 y=﹣3 是分式方程的解, 则分式方程的解为 y=﹣3. 故答案为:﹣3 点睛:此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 11.(2019•襄阳)定义:a*b ,则方程 2*(x+3)=1*(2x)的解为 . 【答案】x=1 【解析】2*(x+3)=1*(2x), , 4x=x+3, x=1, 经检验:x=1 是原方程的解, 故答案为:x=1. 点睛:本题考查了解分式方程和新定义的理解,熟练掌握解分式方程的步骤是关键. 12.(2019•宿迁)关于 x 的分式方程 1 的解为正数,则 a 的取值范围是 . 【答案】a<5 且 a≠3 【解析】去分母得:1﹣a+2=x﹣2, 解得:x=5﹣a, 5﹣a>0, 解得:a<5, 当 x=5﹣a=2 时,a=3 不合题意, 故 a<5 且 a≠3. 故答案为:a<5 且 a≠3. 点睛:此题主要考查了分式方程的解,注意分式的解是否有意义是解题关键. 13.(2018•齐齐哈尔)若关于 x 的方程 无解,则 m 的值为 . 【答案】﹣1 或 5 或 .【解析】去分母得:x+4+m(x﹣4)=m+3, 可得:(m+1)x=5m﹣1, 当 m+1=0 时,一元一次方程无解, 此时 m=﹣1, 当 m+1≠0 时, 则 x ±4, 解得:m=5 或 , 综上所述:m=﹣1 或 5 或 , 故答案为:﹣1 或 5 或 . 点睛:此题主要考查了分式方程的解,正确分类讨论是解题关键. 14.(2019•随州)解关于 x 的分式方程: . 【答案】x 是分式方程的解 【解析】去分母得:27﹣9x=18+6x, 移项合并得:15x=9, 解得:x , 经检验 x 是分式方程的解. 点睛:此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 15.(2019•朝阳)佳佳文具店购进 A,B 两种款式的笔袋,其中 A 种笔袋的单价比 B 种袋的 单价低 10%.已知店主购进 A 种笔袋用了 810 元,购进 B 种笔袋用了 600 元,且所购进的 A 种笔袋的数量比 B 种笔袋多 20 个.请问:文具店购进 A,B 两种款式的笔袋各多少个? 【答案】文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个,B 种款式的笔袋 40 个 【解析】设文具店购进 B 种款式的笔袋 x 个,则购进 A 种款式的笔袋(x+20)个, 依题意,得: (1﹣10%), 解得:x=40, 经检验,x=40 是所列分式方程的解,且符合题意, ∴x+20=60. 答:文具店购进 A 种款式的笔袋 60 个,B 种款式的笔袋 40 个. 点睛:本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 16.(2019•西藏)列方程(组)解应用题 绿水青山就是金山银山,为了创造良好的生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种 树 600 棵,由于青年志愿者支援,实际每天种树的棵树是原计划的 2 倍,结果提前 4 天完 成任务,则原计划每天种树多少棵? 【答案】原计划每天种树 75 棵 【解析】设原计划每天种树 x 棵. 由题意,得 4 解得,x=75 经检验,x=75 是原方程的解. 答:原计划每天种树 75 棵. 点睛:此题主要考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键.工 程类问题主要用到公式:工作总量=工作效率×工作时间. 17.(2019•沈阳)2019 年 3 月 12 日是第 41 个植树节,某单位积极开展植树活动,决定购 买甲、乙两种树苗,用 800 元购买甲种树苗的棵数与用 680 元购买乙种树苗的棵数相同, 乙种树苗每棵比甲种树苗每棵少 6 元. (1)求甲种树苗每棵多少元? (2)若准备用 3800 元购买甲、乙两种树苗共 100 棵,则至少要购买乙种树苗多少棵? 【解析】(1)设甲种树苗每棵 x 元,根据题意得: , 解得:x=40, 经检验:x=40 是原方程的解, 答:甲种树苗每棵 40 元; (2)设购买乙中树苗 y 棵,根据题意得: 40(100﹣y)+34y≤3800, 解得:y≥33 , ∵y 是正整数, ∴y 最小取 34, 答:至少要购买乙种树苗 34 棵. 点睛:本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用,解题的关键是根据题意找到 等量关系,难度不大. 18.(2019•云南)为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、 乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地 240 千米和 270 千米的两地 同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平 均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的 1.5 倍,甲校师生比乙校师生晚 1 小时到达目 的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度. 【解析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为 x 千米/小时,则乙学校师生所乘大巴车的 平均速度为 1.5x 千米/小时, 由题意得: , 解得:x=60, 经检验,x=60 是所列方程的解, 则 1.5x=90, 答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为 60 千米/小时、90 千米/小时. 点睛:本题主要考查分式方程的应用,解题的关键是理解题意,找到题目中蕴含的相等关 系,并依据相等关系列出方程. 19.(2019•柳州)小张去文具店购买作业本,作业本有大、小两种规格,大本作业本的单价 比小本作业本贵 0.3 元,已知用 8 元购买大本作业本的数量与用 5 元购买小本作业本的数 量相同. (1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元? (2)因作业需要,小张要再购买一些作业本,购买小本作业本的数量是大本作业本数量的 2 倍,总费用不超过 15 元.则大本作业本最多能购买多少本? 【解析】(1)设小本作业本每本 x 元,则大本作业本每本(x+0.3)元, 依题意,得: , 解得:x=0.5, 经检验,x=0.5 是原方程的解,且符合题意, ∴x+0.3=0.8. 答:大本作业本每本 0.8 元,小本作业本每本 0.5 元. (2)设大本作业本购买 m 本,则小本作业本购买 2m 本, 依题意,得:0.8m+0.5×2m≤15, 解得:m . ∵m 为正整数, ∴m 的最大值为 8. 答:大本作业本最多能购买 8 本. 点睛:本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准 等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式. 20.(2019•郴州)某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批 A,B 两种型号的机器.已 知一台 A 型机器比一台 B 型机器每小时多加工 2 个零件,且一台 A 型机器加工 80 个零件 与一台 B 型机器加工 60 个零件所用时间相等. (1)每台 A,B 两种型号的机器每小时分别加工多少个零件? (2)如果该企业计划安排 A,B 两种型号的机器共 10 台一起加工一批该零件,为了如期完 成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于 72 件,同时为了保障机器的正常运转,两 种机器每小时加工的零件不能超过 76 件,那么 A,B 两种型号的机器可以各安排多少台? 【解析】(1)设每台 B 型机器每小时加工 x 个零件,则每台 A 型机器每小时加工(x+2)个 零件, 依题意,得: , 解得:x=6, 经检验,x=6 是原方程的解,且符合题意, ∴x+2=8. 答:每台 A 型机器每小时加工 8 个零件,每台 B 型机器每小时加工 6 个零件. (2)设 A 型机器安排 m 台,则 B 型机器安排(10﹣m)台, 依题意,得: , 解得:6≤m≤8. ∵m 为正整数, ∴m=6,7,8. 答:共有三种安排方案,方案一:A 型机器安排 6 台,B 型机器安排 4 台;方案二:A 型机 器安排 7 台,B 型机器安排 3 台;方案三:A 型机器安排 8 台,B 型机器安排 2 台. 点睛:本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找 准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式 组.查看更多