中考数学复习专题四函数与图像一

中考数学复习专题四函数与图像一

专题四 函数与图像(一)‎ 知识归纳 基本定义：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终保持不变的量称为常量．‎ ‎　　变量：变化的量　常量：不变的量 ‎　一、一次函数 基本概念：一般地，在一个变化过程中，有两个变量X和Y，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说X是自变量，y是x的函数。表示为y＝Kx＋b（其中b为任意常数,k不等于0），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx ‎ 即，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。‎ 定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。 ‎ ‎ 函数性质 ‎　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)‎ ‎　2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).‎ ‎　3.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.‎ ‎　4.函数图像性质：当k相同，且b不相等，图像平行；当k不同，且b相等，图像相交 ‎　 图像性质 ‎1．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。‎ ‎2．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。‎ ‎3．k，b与函数图像所在象限：y=kx时（即b等于0，y与x成正比)‎ ‎　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；‎ ‎　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。‎ ‎　　y=kx+b时：‎ ‎　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。‎ ‎　　当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。‎ ‎　　当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。‎ ‎　　当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。‎ ‎　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。‎ ‎　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。‎ ‎　　4、特殊位置关系 ‎　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 ‎　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1） ‎ 二：反比例函数 反比例函数概念： 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-1.‎ ① k ≠ 0; ②一般情况下，自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的一切实数③函数 y 的取值范围也是一切非零实数 .‎ 反比例函数图象 反比例函数的图象是一组双曲线, 曲线越来越接近X和Y轴但不会相交（K≠0）。‎ 反比例函数性质 ‎  1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限。   2.当k>0时.在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大。k>0时，‎ 函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。‎ ‎  3、 定义域为x≠0；值域为y≠0。   4、.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。    5、 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|  6、. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。  7、若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。   8、.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。‎ ‎9、.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.‎ 三：二次函数 ‎1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)‎ ‎2. 二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.‎ ‎3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);‎ 这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）； ‎ ‎4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.‎ ‎5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k.‎ ‎6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.‎ ‎7. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：‎ k值增大 <=> 图象向上平移； k值减小 <=> 图象向下平移；‎ ‎（x-h）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.‎ ‎8. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式： ‎ ‎9. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：‎ ‎(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；‎ ‎(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；‎ ‎(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y轴；‎ ‎(4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点； b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；‎ b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.‎ ‎10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.‎ 函数与图像专题练习 一、选择题（每小题4分，共52分）‎ ‎1．一次函数y=3x-1的图象不经过（ ）。‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．某闭合电路中，电源电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）。‎ ‎ A．I＝ B．I＝－ C．I＝ D．I＝ ‎3．函数和函数y=x的图象在同一平面直角坐标系内的交点个数是（ ）。‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 ‎4．设A（x1,y1）、B（x2,y2）是反比例函数y=图象上的两点，若x1y1>0 D. y1>y2>0‎ ‎5．已知方程组 的解为，则函数y=2x+3与y= x+的交点坐标为（ ）。‎ ‎ A．（l，5） B．（－1，1） C．（l，2）D．（4，l）‎ ‎6．反比例函数的图象在二、四象限，则k的取值范围是（ ）。‎ A．K≤3 B．K≥‎-3 C．K＞3 D．K＜-3.‎ ‎7．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝kx＋2的图象大致是图中的（ ）。‎ ‎8．如图，正比例函数y=x和y=mx的图象与反比例函数y＝ 的图象分别交于第一象限内的A、C两点，过A、C分别向x轴作垂线，垂足分别为B、D.若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为S1、S2，则S1与S2的关系为（ ）。‎ A．S1>S2 B. S1=S2 C. S10）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；‎ ‎ （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论；‎ ‎（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠APD=∠ACP时，求抛物线的解析式．‎ ‎4．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．‎ ‎（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；‎ ‎（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；‎ x ‎…‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎…‎ ‎（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．‎ ‎5．（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y＝(m为常数)的图象经过点A（－1，6）．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）如图9，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝2BC，‎ 求点C的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1、【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，），其中0>0，m>0．‎ ‎ 在Rt△ABO中，AB=，OB=x0．‎ ‎ 则S△ABO =·x0·=3，即m=6．‎ ‎ 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=．‎ ‎ （2）由得x2+6x－6=0，‎ ‎ 解得x1=－3+，x2=－3－．‎ ‎ ∴A（－3+，3+），D（－3－，3－）．‎ ‎ 由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有 ‎ y=．即xy=6． ∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO．‎ ‎ （3）由A（－3+，3+）和D（－3－，3－）可得AO=4，DO=4，即AO=DO．‎ ‎ 由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．‎ ‎ 3、【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 解 得x1=5，x2=1． ‎ ‎ 由m

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