浅谈中考数学模型图在解题中的运用

浅谈中考数学模型图在解题中的运用

浅谈中考数学模型图在解题中的运用 内容提要：‎ 中考总复习时间紧，任务重，如何有效的利用时间让学生掌握解题方法，以及对几何图形的分析证明，就是要站的“高”，才能看的“远”。挖掘题目的本质和联系，总结几何模型图形，以不变应万变，化复杂为简单，灵活运用模型图，拓宽解题思路，适应新课改的要求。‎ 关键词：模型图形 举一反三 挖掘 迁移联系 在九年级数学中考几何专题复习中，怎样科学、合理地设计教学内容、精心地组织课堂教学，怎样采取得力的措施和高效的方法，大幅度、快节奏地提高学生的数学素养，让后进生吃的消，中等生吃的饱，优等生吃得好，使复习获得令人满意的效果？这是所有处在一线数学教师普遍关注和思考的问题。而平时如果大量毫无章法，不从根本揭示规律和方法的题海战役，即便时间加汗水，甚至以伤害学生的身心健康为代价也并不一定能够取得满意的结果。‎ 在毕业班任教十几年，数学的思想和方法让我颇感它们的重要性，它们如同是数学的灵魂贯穿于题的始终。在教学与做题的过程中我也收获了一些经验和方法，在这里，浅谈一下几何模型图在中考解题中的运用。‎ 一.认识感悟模型图在中考复习中的作用 纵观陕西省近几年的中考题，我们将会不难发现，有些题目虽然“外表”变了，但考察数学的知识点和方法却没有变，只要我们抓住根本，必将会迎来解题的“柳暗花明的春天”。‎ 例如：2007年陕西中考数学真题 ‎24．（本题满分10分）‎ 如图，在直角梯形中，．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）若线段上存在点，使，求过 D C B P O y x ‎（第24题）图）‎ 三点的抛物线的表达式．‎ ‎2009年陕西中考数学真题 纵观这两道中考题都是考察二次函数的知识，条件虽然不同，但在求点的坐标问题上却蕴含着相同的几何模型图———三垂直模型。‎ ‎ （三垂直模型）‎ 利用相似的知识找出对应边成比例便可将问题得以解决。‎ 由此可发现它们就是基本图形的变形和深化，要想达到“见到图形，想到性质；想到性质，想全性质”就必须把基本图形拿出来认真分析，研究和积累，形成基本图形储备。在头脑中形成系统完备的待用基本图形库，最终将基本图形当作利刃，用到解题中去。‎ ‎“问渠那得清如许，为有源头活水来。”只有平时多积累总结，联想类比，我们在做题时才能游刃有余。像这种相似的基本图形还很多，如相似中常用基本图形： ‎ A字型 8字型 公共边角型 双垂直型（射影定理）‎ 而三垂直可由双垂直平移得到，从表面来看没有什么关系，但实质却相互之间可以进行转换。‎ 举例练习1.如图四边形ABCD，EFGH ，NHMC都是正方形 ，A、B、N、E、F五点在同一直线上，若四边形ABCE,EFGH的边长分别为3，4，求四边形NHMC的边长。 ‎ 这就是可直接利用三垂直模型解题的一道题，很容易求出边长等于5。‎ ‎2.如图,已知ΔABC中∠ABC=90° AB=BC，三角形ABC三个顶点在相互平行的三条直线上，且 与 之间的距离为2， ‎ 与 之间的距离为3，则AC的长是多少？ ‎ 这道题就要构建模型，在原来一个直角的基础上再做两条垂线段，便可化为三垂直模型来解决，左右两个直角三角形全等，再利用勾股定理求出答案为。像这种以三垂直模型为载体的中考题还有很多，但结论却固定不变，那就是左右两个直角三角形一定相似。若在添加任意一组对应边相等的条件则有全等的结论；若中间直角三角形的直角顶点位于两侧直角三角形的直角顶点之间的线段中点位置时，则它们三个直角三角形都相似。从这里可以看出，对于模型的把控，不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，要培养学生有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。平时只有“深挖洞，广积粮”，战时方可有备无患，胸有成竹。这要求学生对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题。‎ 在中考复习中，像这种基本模型的图形还有很多，如：‎ ‎（1.）由平行线中夹着角平分线模型图———— 构建等腰三角形；‎ ‎（2.）由等腰三角形的三线合一模型图———— 推出三线与等腰四者“知二推二”的关系；‎ ‎（3.）由垂径定理及勾股定理模型图 ———— 探寻半径r,弦心距d,弦长a,弓形的高h四个量之间的关系；‎ ‎（4.）由“船会碰到暗礁”问题的模型图 ————建立直角三角形的边角三角函数关系；‎ ‎（5.）由过点做已知直线的对称点模型图————解决在已知直线上找一点到直线一侧两点距离之和最短的问题；‎ ‎（6.）由掷骰子，转转盘列表出来的概率模型图————解决一些求概率的实际问题等等。‎ 二．如何有效的掌握总结或构建模型图，使其在中考做题中发挥作用 高斯曾经说过“给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。”在我们原有的知识基础上，只要我们善于思考，大胆尝试，不断探索，一定会使我们的学习变得更加轻松快乐。‎ 著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。”‎ 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的教学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构，数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式 、定理及 理论体系等等，都是一些具体的数学模型。举个简单的例子，二次函数就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为二次函数来解决。而通过对问题数学化，模型构建，求解检验使问题获得解决的方法称之为数学模型方法。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。‎ 而在众多数学模型的王国里，我认为几何图形尤能彰显出它的魅力。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型。得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。九年级后期，对于专题复习，建立几何模型是非常有效果的，对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这是第二种层次。最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的,达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。‎ ‎　　 我们对于模型的把控决 不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。这就要求同学们对于每一种基本图形的理解要十分深刻，不仅仅要认识模型，还要会补全模型，甚至构造模型来解决问题，这对于同学们动手添加辅助线的能力要求就很高了。‎ 那么如何有效的掌握总结或构建模型图，使其在中考做题中发挥作用，我认为一定要注意以下几点：‎ ‎　　1、多做题，在起步初期，多见一些题，丰富自己的视野，对一些模型有初步认识，并能记住它的形状。‎ ‎　　2、多总结，尽量在老师的帮助下能够总结出一些模型的主要辅助线做法和解题方法。‎ ‎　　3、多应用，多用模型解决问题，不要没有方法的撞大运，要根据图形特点思考解法，特别是做选择或填空题可直接利用模型结论得出答案。‎ ‎　　4、多完善，不断做题总会有新的知识添加到已有的模型体系中来，不断壮大自己的知识树，让其不断生根发芽，汲取营养，使其模型之树枝繁叶茂。‎ ‎　　5、多思考，对于任何一道题都有可能存在不止一种方法，每种方法涉及到的模型不尽相同，要能够通过一题多解发现模型之间的相互关系，增强自己对模型的理解深度和广度。‎ ‎6、多积累，并能对一些几何模型进行归类，熟悉掌控那些是用来证明题的，那些是用来做计算用的，做到心中有数，运用自如。‎ 近几年的中考几何压轴题的考察趋势越来越倾向于综合探究的趋势，对于三角形，四边形的面积问题，存在性问题等考察较多，而考察重点则是以三大变化为主题的综合题目，夹杂着分类讨论，函数，方程等思想。几何图形中的三大变换思想不断的渗透进来，平移、旋转、轴对称这些技巧逐渐被我们所熟识。然而仅仅熟悉并不够，我们还要结合模型把他们灵活掌握并能够精确运用到实际的题目中去，这样才能使我们做几何题目的能力有所提高。‎ 数学家华罗庚先生曾说：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。这是对数学应用性的精彩描述。我们只有平时多积累，勤思考，以数学模型图为载体，以数学思想为指引，举一反三，迁移联想，一定会有意想不到的收获。‎ 总之，“倒给学生一碗水，教师必须拥有一条永不干涸的河流。”在几何专题复习中，教师事先要通过大量的收集、整理、归纳各类问题，并形成体系，凸显规律和方法。这要求我们教师不断的自我提高，具有较高的专业素养-------由拥有知识到拥有智慧，教师的教育智慧常常表现在对教材有真知灼见，能够于平凡中见新奇，发人之所未发，见人之所未见。教学的艺术在于激励、唤醒和鼓舞，教师的魅力在于用自己的智慧点燃学生的智慧。‎ 有智慧的教师对教材、教参决不人云亦云、鹦鹉学舌，而是力求有自己的见解。或许有时教师的一条辅助线，一句点拨之语，一个几何模型图的分析与拓展，都会给自己的学生留下深刻难忘的印象，进一步引发他们的思考与灵感的迸发。‎ 以上是我在多年中考复习中对于数学图形的再认识，思考总结和解题的感受，想用它作为“抛砖引玉”，引起大家对数学模型图的认识和重视，以便在今后的教学和做题中灵活简便的应用，让学生从题海中“跳”出来，让老师从琳琅满目的资料书中“走”出来，真正做到授之以渔，激发培养学生的发散思维，感受数学思想与几何图形的“美”，进一步适应新课改的要求，使他们的数学素养得到提高，也为以后的进一步学习奠定坚实的基础。‎ ‎ ‎ 参考文献： ‎ ‎ 1. 《陕西教育科研》 2010年第3期 ‎ 2.《陕西中考面对面数学》 2011年新版 ‎ 3.《发现高效课堂密码》 作者: 于春祥 ‎ 出版日期2011年04月 ‎ 4.《给教师的一百条新建议》 郑杰著 2012年9月出版