2011珠海市初中毕业生学业考试数学试题与答案

2011珠海市初中毕业生学业考试数学试题与答案

‎2011年珠海市初中毕业生学业考试 数 学 一、选择题（本小题5分，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡对应题目所选的选项涂黑．‎ ‎1．（11·珠海）－的相反数是 A．－ B．－ C．－ D． ‎【答案】D ‎2．（11·珠海）化简(a3)2的结果是 A．a6 B．a5 C．a9 D．2a3‎ ‎【答案】A ‎3．（11·珠海）圆心角为60°，且半径为3的扇形的弧长为 A． B．π C． D．3 π ‎【答案】B ‎4．（11·珠海）已知一组数据：4，－1，5，9，7，6，7，则这组数据的极差是 A．10 B．9 C．8 D．7‎ ‎【答案】A ‎5．（11·珠海）若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变 ‎【答案】D 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上 ‎6．（11·珠海）分解因式ax2－4a＝_ ▲ ． ‎ ‎【答案】a(x＋2)(x－2)‎ ‎7．（11·珠海）方程组的解为_ ▲ ．‎ ‎【答案】 ‎8．（11·珠海）写出一个图象位于第二、第四象限的反比例函数的解析式_ ▲ ．‎ ‎【答案】y＝－ （答案不唯一）‎ ‎9．（11·珠海）在□ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，则□ABCD的周长为_ ▲ cm．‎ ‎【答案】28‎ ‎10．（11·珠海）不等式组的解集为_ ▲ ．‎ ‎【答案】2＜x＜5‎ 三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）‎ ‎11．（11·珠海）（本题满分6分）计算：｜－2｜＋()－1－(π－5)0－．‎ ‎【答案】原式＝2＋3－1－4……………………4分 ‎＝0 ……………………6分 ‎12．（11·珠海）（本题满分6分）某校为了调查学生视力变化情况，从该校2008年入校的学生中抽取了部分学生进行连续三年的视力跟踪调查，将所得数据处理，制成拆线统计图和扇形统计图，如图所示：‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ 时间(年)‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎80‎ 人数(人)‎ ‎0‎ 被抽取学生视力在5.0以下人数 变化情况统计图 ‎40%‎ ‎10%‎ A ‎20%‎ ‎30%‎ B C D 被抽取学生视力在2010的视力 分布情况统计图 视力分组说明：‎ A：5.0以下 B：5.0~5.1‎ C：5.2~5.2‎ D：5.2以上 每组数据只含最低值，不含最高值.‎ ‎（1）该校被抽查的学生共有多少名？‎ ‎（2）现规定视力5.1及以上为合格，若被抽查年级共有600名学生，估计该年级在2010年有多少名学生视力合格．‎ ‎【答案】（1）被抽查的学生共有：80÷40%＝200（人） ……………………3分 ‎（2）视力合格人数约有：600×（10%＋20%）＝180（人）……………………6分 ‎13．（11·珠海）（本题满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．‎ ‎（1）求作：△ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点．（保留作图痕迹，不写作法）‎ C B A ‎（2）若AC＝6，AB＝10，连结CD，则DE＝_ ▲ ，CD＝_ ▲ ．‎ ‎【答案】（1）作出BC的垂直平分线 ……………………3分 ‎ 答：线段DE即为所求 ……………………4分 ‎（2）3，5 ……………………6分 ‎14．（11·珠海）（本题满分6分）八年级学生到距离学校15千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达．若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍，求骑自行车同学的速度．‎ ‎【答案】解：设骑自行车同学的速度为x千米/小时，由题意得 ……………………1分 － ＝ ……………………3分 解之得：x＝15 ……………………4分 经验，x＝15是原方程的解 ……………………5分 答：骑自行车同学的速度为15千米/小时． ……………………6分 ‎15．（11·珠海）（本题满分6分）如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1．连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2；连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．‎ ‎（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形的边长AC2C3D3；‎ ‎（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．‎ A C1‎ C2‎ C3‎ D3‎ D2‎ D1‎ B ‎【答案】（1）解：∵四边形ABC1D1是正方形，∠ABC＝120°‎ ‎∴∠B＝90°，BC1＝AB＝1；∴AC1＝＝ 即第二个正方形AC1C2D2的边长为． ……………………2分 ‎∵四边形AC1C2D2是正方形，‎ ‎∴∠AC1C2＝90°，C1C2＝AC1＝；∴AC2＝＝2;‎ 即第二个正方形AC2C3D3的边长为2． ……………………4分 ‎（2）解：∵第7个正方形的边长8． ……………………6分 四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）‎ ‎16．（11·珠海）（本题满分7分）如图，在鱼塘两侧有两棵树A、B ‎，小华要测量此两树之间的距离．他在距A树30 m的C处测得∠ACB＝30°，又在B处测得∠ABC＝120°．求A、B两树之间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）‎ C B A C B A ‎【答案】解：作BD⊥AC，垂足为点D ……………………1分 ‎∵∠C＝30°，∠ABC＝120°，∴∠A＝30°；‎ ‎∴AB＝BC ……………………2分 ‎∴AD＝CD＝AC＝×30＝15 ……………………3分 在Rt△ABD中，∵cosA＝， ……………………4分 ‎∴AB＝＝＝10≈17.3 ……………………6分 答：A、B两树之间的距离约为17.3m． ……………………7分 ‎17．（11·珠海）（本题满分7分）某校为庆祝国庆节举办游园活动，小军来到摸球兑奖活动场地，李老师对小军说：“这里有A、B两个盒子，里面都装有一些乒乓球，你只能选择在其中一只盒子中摸球．”获将规则如下：在A盒中有白色乒乓球4个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出一个球，若为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖；在B盒中有白色乒乓球2个，红色乒乓球2个，一人只能摸一次且一次摸出两个球，若两球均为红球则可获得玩具熊一个，否则不得奖．请问小军在哪只盒子内摸球获得玩具熊的机会更大？说明你的理由．‎ ‎【答案】解：小军在A盒中摸球获得玩具熊的机会更大 ……………………1分 把小军从A盒中抽出红球的概率记为PA，‎ 那么：PA＝＝ ……………………3分 把B盒中的两个白球记为白1，白2，两个红球记为红1，红2，小军从B盒中摸出两球的所有可能出现的结果为：白1白2；白1红1；白1红2；白2红1；白2红2；红1红2；且六种结果出现的可能性相等，把小军从B盒中抽出两个红球的概率记为PB，‎ 那么PB＝； ……………………6分 因为PA＞PB，所以小军在A盒内摸球获得玩具熊的机会更大 ………………7分 ‎18．（11·珠海）（本题满分7分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x 轴上，OA＝AB＝1个单位长度．把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B．‎ ‎（1）求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；‎ C B1‎ A1‎ A O D B x y ‎（2）若（1）中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）由题意，得A (1，0)，A1 (2，0)，B1 (2，1)． ……………………1分 ‎ 设以A为顶点的抛物线的解析式为y＝a(x－1)2‎ ‎ ∵此抛物线过点B1 (2，1)，∴1＝a (2－1)2．‎ ‎ ∴a＝1．‎ ‎ ∴抛物线的解析式为y＝(x－1)2． ……………………3分 ‎（2）∵当x＝0时，y＝(0－1)2＝1．‎ ‎ ∴D点坐标为 (0，1)． ……………………4分 ‎ 由题意，得OB在第一象限的角平分线上，故可设C (m，m)，‎ ‎ 代入y＝(x－1)2，得m＝(m－1)2， ……………………5分 ‎ 解得m1＝＜1，m1＝＞1（舍去）． ……………………6分 C1‎ A1‎ A B C ‎19．（11·珠海）（本题满分7分）如图，将一个钝角△ABC（其中∠ABC＝120°）绕点B顺时针旋转得△A1BC1，使得C点落在AB的延长线上的点C1处，连结AA1．‎ ‎（1）写出旋转角的度数；‎ ‎（2）求证：∠A1AC＝∠C1．‎ ‎【答案】（1）解：旋转角的度数为60°． ……………………2分 ‎ （2）证明：由题意可知：△ABC≌△A1BC1，‎ ‎ ∴A1B＝AB，∠C＝∠C1，‎ ‎ 由（1）知：∠ABA1＝60°，‎ ‎ ∴△A1BA为等边三角形．‎ ‎ ∠BAA1＝60° ……………………4分 ‎ 而∠CBC1＝60°，‎ ‎∴∠BAA1＝∠CBC1， ……………………5分 ‎∴AA1∥BC ‎∴∠A1AC＝∠C．‎ 又∵∠C＝∠C1，‎ ‎∴∠A1AC＝∠C1 ……………………7分 五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）‎ ‎20．（11·珠海）（本题满分9分）阅读材料：‎ ‎ 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：‎ ‎ 设a＋b＝(m＋n)2（其中a、b、m、n均为整数），则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn．‎ ‎ ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方式的方法．‎ 请我仿照小明的方法探索并解决下列问题：‎ ‎（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝_ ▲ ，b＝_ ▲ ；‎ ‎（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：_ ▲ ＋_ ▲ ＝(_ ▲ ＋_ ▲ )2；‎ ‎（3）若a＋4＝(m＋n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．‎ ‎【答案】（1）a＝m2＋3n2，b＝2mn ……………………2分 ‎（2）4，2，1，1（答案不唯一） ……………………4分 ‎（3）解：由题意，得 ……………………5分 ‎ ∵4＝2mn，且m、n为正整数，‎ ‎∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2． ……………………7分 ‎∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13． ……………………9分 A B D C E O F ‎21．（11·珠海）（本题满分9分）已知：如图，锐角△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°；点D是上一点，过点D的切线DE交AC的延长线于点E，且DE∥BC；连结AD、BD、BE，AD的垂线AF与DC的延长线交于点F．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△ADE； ‎ ‎（2）记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE，求证：S△DAF＞S△BAE．‎ ‎【答案】证明：（1）连结OD． ……………………1分 ‎ ∵DE是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DE．‎ 又∵DE∥BC，‎ ‎∴OD⊥BC．‎ ‎∴＝． ……………………2分 ‎∴∠BAD＝∠EAD．‎ ‎∵∠BDA＝∠BCA，DE∥BC，‎ ‎∴∠BDA＝∠DEA．‎ ‎∴∠BAD＝∠EAD，‎ ‎∴△ABD∽△ADE． ……………………5分 A B D C E O F h ‎（2）由（1）得＝，即AD2＝AB·AE ……………………6分 设在△ABE中，AE边上的高为h，则：‎ ‎∴S△ABE＝ h·AE，且h＜AB．‎ 由∠ABC＝45°，AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形 ‎∴S△DAF＝ AD2． ……………………8分 ‎∴S△DAF＝S△BAE ‎ ‎∴△DAF＞△BAE． ……………………9分 O A B C D P E F M N ‎22．（11·珠海）（本题满分9分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．‎ ‎（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；‎ ‎（2）记∠EPM＝a，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．‎ ‎① 求证：＝ PA2．‎ ‎② 设AN＝x，y＝，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．‎ ‎【答案】（1）四边形AMPE为菱形 ……………………2分 ‎（2）证明：∵四边形AMPE为平行四边形， EPM＝a ‎∴∠MAP＝a S1＝OA·OM． ……………………4分 ‎∵在Rt△OM中，tan＝，∴OM＝OA·tan．‎ ＝＝OA·OM×＝OA2＝×(PA)2＝PA2．……………………5分 ‎（3）过D作DH垂直于BC于H，交NP于点K，‎ 则：DK⊥PN，BH＝AB＝AD＝DH＝1，DK＝AN＝x．‎ O A B C D P E F M N K H ‎∵CH＝BC－BH＝2－1＝1，‎ ‎∴CH＝DH．‎ ‎∴∠NPD＝∠BCD＝45°．‎ ‎∴PK＝DK＝x．‎ ‎∴PN＝1＋x．‎ 在Rt△ANP中，‎ AP2＝AN 2＋PN 2＝x2＋(1＋x)2＝2x2＋2x＋1． ……………………6分 过E作PM的垂线EG（垂足为G），令△EGM的面积为S．‎ ‎∵△EGM∽△AOM，‎ ‎∴＝()2＝＝．‎ 则S＝ S1．‎ ‎∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，‎ ‎∴2S1＝S2＋S．‎ ‎∴S1－S2＝S－S1＝ S1－S1＝(－1)S1．‎ ‎∴y＝＝(－1)× ‎＝(－1)× PA2＝ (4x2－AP2)．‎ ‎∴y＝x2－x－． ‎