北京中考数学题新定义综合练习

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北京中考数学题新定义综合练习

寒假作业之新定义 ‎1.在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y)(x≥0)的每一个整数点,给出如下定义:‎ 如果也是整数点,则称点为点P的“整根点”.‎ 例如:点(25,36)的“整根点”为点(5,6).‎ ‎(1)点A(4,8),B(0,16),C(25,-9)的整根点是否存在,若存在请写出整根点的坐标;‎ ‎(2) 如果点M对应的整根点的坐标为(2,3),则点M的坐标;‎ ‎(3)在坐标系内有一开口朝下的二次函数,如果在第一象限内的二次函数图像内部(不在图像上),若存在整根点的点只有三个 请求出实数a的取值范围.‎ 备用图 ‎2..如图,对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB,给出如下定义:如果线段AB上存在两个点M,N,使得∠MPN=30°,那么称点P为线段AB的伴随点.‎ ‎(1)已知点A(-1,0),B(1,0)及D(1,-1),E,F(0,),‎ ‎①在点D,E,F中,线段AB的伴随点是_________;‎ ‎②作直线AF,若直线AF上的点P(m,n)是线段AB的伴随点,求m的取值范围;‎ ‎(2)平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形,若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点,请直接写出这条线段a的长度的范围.‎ ‎3. 若抛物线L:与直线都经过y轴上的同一点,且抛物线L的顶点在直线l上,则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系,并且将直线l叫做抛物线L的“路线”,抛物线L叫做直线l的“带线”.‎ ‎(1) 若“路线”l的表达式为,它的“带线”L的顶点在反比例函数(x<0)的图象上,求“带线”L的表达式;‎ ‎(2)如果抛物线与直线具有“一带一路”关系,求m,n的值;‎ ‎(3)设(2) 中的“带线”L与它的“路线”l在 y轴上的交点为A. 已知点P为“带线”L上的点,当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时,求出点P的坐标.‎ ‎ 备用图 ‎4.在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P′(x+y, x-y).‎ (1) 如图1,如果⊙O的半径为,‎ ①请你判断 M (2,0),N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系;‎ ②若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P′在⊙O的内,求点P横坐标的取值范围.‎ (2) 如图2,如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上,求点P与⊙O上任意一点距离的最小值.‎ ‎5.在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,且,,若为某个菱形的两个相对顶点,且该菱形的一边与轴平行,则称该菱形为点的“相关菱形”,下图为点的“相关菱形”的示意图.‎ ‎(1)已知点的坐标为,点的坐标为,且点的“相关菱形”为正方形,则此“相关菱形”的周长为__________;‎ ‎(2)若点的坐标为,点在直线上,且的“相关菱形”有一个内角为,求点的坐标;‎ ‎(3)⊙的半径为,点的坐标为(其中),若在⊙上存在一点,使得点的“相关菱形”有一个内角为,直接写出的取值范围.‎ ‎6.阅读材料:‎ ‎①直线外一点P到直线的垂线段的长度,叫做点P到直线的距离,记作d(P,)‎ ‎②两条平行线,,直线上任意一点到直线的距离,叫做这两条平行线,之间的距离,记住d(,);‎ ‎③若直线,相交,则定义d(,)=0‎ ‎④对于同一条直线,我们定义d(,)=0。‎ 对于两点,和两条直线,,定义两点,的“,—相关距离”如下:d(,,)=d(,)+d(,)+d(,)设(4,0),(0,3),,,,,解决以下问题:(1)d(,,)=____________,d(,,)=_______________‎ ‎(2)①若k>0,则当d(,,)最大时,k=_________;‎ ‎②若k<0,试确定k的值使得d(,,)最大。‎ ‎(3)若,且,,的夹角是30°,直接写出d(,,)的最大值________。‎ ‎7.平面上有两条直线AB、CD相交于点O,且∠BOD=150°(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:‎ ‎①点O的“距离坐标”为(0,0);‎ ‎②在直线CD上,且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p,0);在直线AB上,且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0,q);‎ ‎③到直线AB、CD的距离分别为p,q(p>0,q>0)的点的“距离坐标”为(p,q).‎ 设M为此平面上的点,其“距离坐标”为(m,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:‎ ‎(1)画出图形(保留画图痕迹):‎ ‎①满足m=1,且n=0的点M的集合;‎ ‎②满足m=n的点M的集合;‎ ‎(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式.(说明:图中OI长为一个单位长)‎ ‎8.阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=﹣x+4.‎ ‎ ‎ 问题与探究:如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B、C两点,顶点D在正方形内部.‎ ‎(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线;‎ ‎(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式;‎ ‎(3)点P是AB边上除点A外的任意一点,连接OP,将△OAP沿着OP折叠,点A落在点A′的位置,当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时,满足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在OP上?‎ ‎9.定义:点Z为直线XY外一点,如果存在线段XY上一点W,使得ΔXWZ与ΔWYZ相似,则称Z为XY的相似点,称W为Z在XY上的对应点。 ‎ 例如,如图1,点E为正方形ABCD对角线交点,则D为直线AC外一点,且存在线段AC上一E,使得ΔAED与ΔECD相似,故D为线段AC的一个相似点,E为D在AC上的对应点。 ‎ 如图2,平面直角坐标系xOy中,已知A(0,a)、B(0,10)‎ ‎(1)a=2,P为线段OB的一个相似点,    ‎ ① 若A是P在OB上的对应点,以下选项中,点P所有可取的坐标为     ‎ ② 若A不是P在OB上的对应点,以下选项中,点P所有可取的坐标_________。‎ ‎    甲:(2,0)乙:(4,2)丙:(-4,2),        ‎ 丁:(-2,4),戊:(-5,4),己:(-4,5) ‎ ‎(2)一次函数y=x-b(b>0),若该函数图像上恰有两点为线段OB的相似点,求b.‎ ‎(3)是否存在a,满足0
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