北京中考数学题新定义综合练习

北京中考数学题新定义综合练习

寒假作业之新定义 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）（x≥0）的每一个整数点，给出如下定义：‎ 如果也是整数点，则称点为点P的“整根点”．‎ 例如：点（25，36）的“整根点”为点（5，6）.‎ ‎（1）点A（4，8），B（0，16），C（25，－9）的整根点是否存在，若存在请写出整根点的坐标；‎ ‎（2） 如果点M对应的整根点的坐标为（2，3），则点M的坐标；‎ ‎（3）在坐标系内有一开口朝下的二次函数，如果在第一象限内的二次函数图像内部（不在图像上），若存在整根点的点只有三个 请求出实数a的取值范围.‎ 备用图 ‎2..如图，对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：如果线段AB上存在两个点M，N，使得∠MPN=30°，那么称点P为线段AB的伴随点．‎ ‎（1）已知点A（-1，0），B（1，0）及D（1，-1），E，F（0，），‎ ‎①在点D，E，F中，线段AB的伴随点是_________；‎ ‎②作直线AF，若直线AF上的点P（m，n）是线段AB的伴随点，求m的取值范围；‎ ‎（2）平面内有一个腰长为1的等腰直角三角形，若该三角形边上的任意一点都是某条线段a的伴随点，请直接写出这条线段a的长度的范围．‎ ‎3. 若抛物线L：与直线都经过y轴上的同一点，且抛物线L的顶点在直线l上，则称此抛物线L与直线l具有“一带一路”关系，并且将直线l叫做抛物线L的“路线”，抛物线L叫做直线l的“带线”.‎ ‎(1) 若“路线”l的表达式为，它的“带线”L的顶点在反比例函数(x＜0)的图象上，求“带线”L的表达式；‎ ‎(2)如果抛物线与直线具有“一带一路”关系，求m,n的值；‎ ‎(3)设(2) 中的“带线”L与它的“路线”l在 y轴上的交点为A. 已知点P为“带线”L上的点，当以点P为圆心的圆与“路线”l相切于点A时，求出点P的坐标.‎ ‎ 备用图 ‎4．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x,y）的变换点为P′(x+y, x-y)．‎ (1) 如图1，如果⊙O的半径为，‎ ①请你判断 M (2,0)，N (-2,-1)两个点的变换点与⊙O的位置关系；‎ ②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围.‎ (2) 如图2，如果⊙O的半径为1,且P的变换点P’在直线y=-2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．‎ ‎5.在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与轴平行，则称该菱形为点的“相关菱形”，下图为点的“相关菱形”的示意图．‎ ‎（1）已知点的坐标为，点的坐标为，且点的“相关菱形”为正方形，则此“相关菱形”的周长为__________；‎ ‎（2）若点的坐标为，点在直线上，且的“相关菱形”有一个内角为，求点的坐标；‎ ‎（3）⊙的半径为，点的坐标为（其中），若在⊙上存在一点，使得点的“相关菱形”有一个内角为，直接写出的取值范围．‎ ‎6.阅读材料：‎ ‎①直线外一点P到直线的垂线段的长度，叫做点P到直线的距离，记作d（P，）‎ ‎②两条平行线，，直线上任意一点到直线的距离，叫做这两条平行线，之间的距离，记住d（，）；‎ ‎③若直线，相交，则定义d（，）=0‎ ‎④对于同一条直线，我们定义d（，）=0。‎ 对于两点，和两条直线，，定义两点，的“，—相关距离”如下：d（，，）=d（，）+d（，）+d（，）设（4，0），（0，3），，，，，解决以下问题：（1）d（，，）=____________，d（，，）=_______________‎ ‎（2）①若k>0，则当d（，，）最大时，k=_________；‎ ‎②若k<0，试确定k的值使得d（，，）最大。‎ ‎（3）若，且，，的夹角是30°，直接写出d（，，）的最大值________。‎ ‎7.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：‎ ‎①点O的“距离坐标”为（0，0）；‎ ‎②在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；‎ ‎③到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．‎ 设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：‎ ‎（1）画出图形（保留画图痕迹）：‎ ‎①满足m=1，且n=0的点M的集合；‎ ‎②满足m=n的点M的集合；‎ ‎（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）‎ ‎8．阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．‎ ‎ ‎ 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．‎ ‎（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；‎ ‎（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；‎ ‎（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？‎ ‎9.定义：点Z为直线XY外一点，如果存在线段XY上一点W，使得ΔXWZ与ΔWYZ相似，则称Z为XY的相似点，称W为Z在XY上的对应点。 ‎ 例如，如图1，点E为正方形ABCD对角线交点，则D为直线AC外一点，且存在线段AC上一E，使得ΔAED与ΔECD相似，故D为线段AC的一个相似点，E为D在AC上的对应点。 ‎ 如图2，平面直角坐标系xOy中，已知A(0,a)、B（0,10）‎ ‎（1）a=2，P为线段OB的一个相似点，    ‎ ① 若A是P在OB上的对应点,以下选项中，点P所有可取的坐标为     ‎ ② 若A不是P在OB上的对应点，以下选项中，点P所有可取的坐标_________。‎ ‎    甲：(2,0)乙：(4,2)丙：（-4,2），        ‎ 丁：（-2,4），戊：（-5,4），己：（-4,5） ‎ ‎（2）一次函数y=x-b（b>0），若该函数图像上恰有两点为线段OB的相似点，求b.‎ ‎（3）是否存在a，满足0

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