第40讲 不定方程

第40讲 不定方程

第40讲 不定方程 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x－3y＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x－3y＝9的解有：‎ x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6‎ y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3‎ 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。‎ 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。‎ 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。‎ 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。‎ 二、精讲精练 ‎【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。‎ 先将原方程变形，y＝。可列表试验求解：‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ Y ‎5‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎×‎ 所以方程3x+4y＝23的自然数解为 ‎ X=1 x=5‎ ‎ Y=5 y=2‎ 练习1‎ ‎1、求3x+2y＝25的自然数解。‎ 6‎ ‎2、求4x+5y＝37的自然数解。‎ ‎3、求5x－3y＝16的最小自然数解。‎ ‎【例题2】求下列方程组的正整数解。‎ ‎5x+7y+3z＝25‎ ‎3x－y－6z＝2‎ 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。‎ ‎5x+7y+3z＝25 ①‎ ‎3x－y－6z＝2 ②‎ 由①×2+②，得13x+13y＝52‎ ‎ X+y＝4 ③‎ 把③式变形，得y＝4－x。‎ 因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.‎ 当x＝1时，y＝3‎ 当x＝2时，y＝2‎ 当x＝3时，y＝1‎ 把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。‎ ‎ x＝2，y＝2时，z也无正整数解。‎ ‎ x＝3时，y＝1时，z＝1.‎ 所以，原方程组的正整数解为 x＝1‎ ‎ y＝1‎ ‎ z＝1‎ 6‎ 练习2‎ 求下面方程组的自然数解。‎ ‎1、4x+3y－2z＝7 2、 7x+9y+11z＝68‎ ‎3x+2y+4z＝21 5x+7y+9z＝52‎ ‎3、5x+7y+4z＝26‎ ‎3x－y－6z＝2‎ ‎【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？‎ 两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。‎ 设大盒子有x个，小盒子有y个，则 ‎ 12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）‎ ‎ y＝（99－12y）÷5‎ 经检验，符合条件的解有： x＝2 x＝7‎ y＝15 y＝3‎ 所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。‎ 6‎ 练习3.‎ ‎1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）‎ ‎2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？‎ ‎3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？‎ ‎【例题4】买三种水果‎30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？‎ 设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根据题意得：‎ ‎ 4x+3y+2×（30－x－y）＝82‎ ‎ x＝10－ 由式子可知：y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：‎ 苹果 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 橘子 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎18‎ 梨 ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎11‎ 6‎ 练习4‎ ‎1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？‎ ‎2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）‎ ‎3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？‎ ‎【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？‎ 设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则 ‎ 6x+3y+2z＝22 ①‎ ‎ 9x+4y+z＝22 ②‎ 由②×2－①，得12x+5y＝22‎ ‎ y ＝ x＝1‎ x只能取1。Y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2‎ z＝5‎ 所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。‎ 6‎ 练习5‎ ‎1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？‎ ‎2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？‎ ‎3、一头猪卖3个银币，一头山羊卖1个银币，一头绵羊买个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？‎ ‎ ‎ 6‎