六年级下册数学讲义---小升初专题--应用--工程问题（一）（含答案）全国通用

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工程问题1.概念工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。但工程问题不仅包括工程方面的，还包括水管注水、行路等许多方面，是分数应用题的特例。2.工程问题三要素工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间三个要素，具有如下关系式：工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成，工程的三分之一表示成。工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。工作时间指工作完成需要的时间，一般有小时、天、月等，一般用工作时间分之一表示工作效率，例如，完成一项工程需要10天，那么工作效率就是。3.计算关系工作量=工作效率×工作时间工作时间=工作量÷工作效率工作效率=工作量÷工作时间设工作总量为“1”，工作效率=1÷工作时间4.解题关键在解答工程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此人（队）单独做的工作时间的倒数表示。15 解答工程问题，常常找工作效率是关键，有些工作效率可以通过工作时间得到；而有些则要根据“工程”进程变化规律得到，我们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。1.常考类型（1）分工合作型；（2）休假请假型；（3）牛吃草型（4）工资分配型；（5）交替周期型；（6）工效变化型；（7）最优配置型。2.基本方法算术方法、比例方法、方程方法。一、基础类型例1.师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个，这批零件共有多少个？例2.制造一个零件，甲需要12分钟，乙需要10分钟，丙需要9分钟，现在有1060个零件的制造任务分配给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每个人应该分配到多少个零件？二、分工合作型例3.搬运一个仓库的货物，甲单独完成需要10小时，乙单独完成需要12小时，丙单独完成需要15小时。现有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始时帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完，问：丙帮助甲、乙各多少时间？15 一、休假请假型例1.一项工程，甲队独做20天完成，乙队独做30天完成，现在他们两队一起做，期间甲队休息了3天，乙队休息了若干天，从开始到完成共用了16天，问乙队休息了多少天？例2.一件工作，甲5小时先完成了，乙6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由甲、乙二人合作，请问：还需要多少时间才能完成？例3.一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？1.甲、乙两人共做一批零件，6天可以完成，若甲一人独做所需要的天数为乙一人独做所需要的天数的2/3，问两人独做各需要多少天才能完成？15 1.一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙，如果同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；如果同时开放乙、丙两管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满。请问：如果同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需要几小时？2.一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天。请问：乙队休息了多少天？（休假）3.师傅和徒弟二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做5天后，因事外出，由徒弟接着做3天。共完成任务的。如果每人单独做这批零件各需几天？4.一项工程，甲、乙合作5天完成了全工程的，因为乙队要接手新的工程任务，原工程余下的部分由甲队单独完成。已知各队单独做，甲完成与乙完成所需要的时间相等，问甲队还需要做多少天才能完成？15 1.一件工作，甲单独工做9天可以完成，乙单独工做6天可以完成。现在甲先单独做了3天，余下的工作由乙继续完成。请问：乙需要单独做几天可以完成剩余的工作？2.一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。若甲先做若干天后乙接着做，共用10天完成，请问：甲单独工做了几天？3.一份稿件，甲单独打印需要10天完成，乙单独打印5天只能完成这份稿件的，现在两人合作，几天可以打印这份稿件的50%？（合作）4.一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数？5.15 一项工程，甲单独做完需要10小时，乙单独做完需要15小时，丙单独做完需要20小时。现在三人合作，中途甲因有事停工几小时，结果6小时才将工作完成。问甲停工几小时？1.一批零件共460个，由甲、乙、丙三个工人单独加工分别需要8天、9天和12天时间．如果合理分配工作量，三个工人会用同样的天数完成所分配的任务．请问：如果合理分配工作量，乙工人应分配多少个零件？2.放满一个水池的水，若同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；若同时打开2，3，4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；若同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成。问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？3.一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三个合作完成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？（休息）4.一件工作，甲做了5小时以后由乙来做，3小时可以完成。乙做9小时后由甲来做，也是3小时可以完成，那么甲做1小时后由乙来做，多少小时可以完成？15 1.一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要6分钟流尽。某次池中无水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管。又过了同样时间，水池的注了水。如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？15 参考答案例1.解析：师傅每小时比徒弟每小时多加工9-5=4个，完成任务一共多了120个，可以知道工作的时间为120÷4=30小时，那工作总量（9+5）×30=420个。答案：420个。例2.解析：甲乙丙的工作效率分别为、和，因为时间相同，那么工作总量比等于工作效率比，即∶∶=15∶18∶20，总共15+18+20=53份，按照比例分配，甲：×1060=300个，乙：×1060=360个，丙：×1060=400个。答案：甲，×1060=300个；乙，×1060=360个；丙，×1060=400个。例3.解析：仓库货物可以看为单位“1”，甲功效为，乙为，丙为，三人工作时间一样，完成2个仓库的搬运，那么用的时间为1×2÷（++）=8小时，甲8小时搬运8×=，剩余1−=是丙帮忙的，丙帮甲的时间为÷=3小时，那么帮助乙的时间8-3=5小时。答案：丙帮助甲3小时，帮助乙5小时。例4.解析：甲队休息了3天，说明甲干了13天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数。[×(16−3)+×16−1]÷==5.5(天)。15 答案：5.5天。例1.解析：这道题是工程问题与分数应用题的复合题。解题时先要分别求出甲、乙工作效率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？甲工作效率：÷5=乙工作效率：(1-)×÷6=余下部分甲、乙合作需要几小时：(1-)×(1-)÷(+)=(小时)答案：小时。例2.解析：设一件工作为单位“1”。甲做6小时，乙再做12小时完成或者甲先做8小时，乙再做6小时都可完成，用图表示它们的关系如下：由图不难看出甲2小时工作量＝乙6小时工作量，所以甲1小时工作量＝乙3小时工作量。用“代换”解答这个问题。①若由乙单独做共需几小时：6×3＋12＝30（小时）；②若由甲单独做需几小时：8＋6÷3＝10（小时）；③甲先做3小时后乙接着做还需几小时：（10－3）×3＝21（小时）。答案：需21小时。15 1.解析：本题可以用和倍的思想来解决，甲乙工效和为，如果乙的工作效率是单位“1”，那么甲是乙的倍，那么乙的工作效率是÷(1+)=，乙需15天才能完成，甲需15×=10天。答案：乙15天，甲10天。2.解析：由于题中告诉我们三个条件①同时开启排水管甲和进水管丙，用20小时可将满池水排空，由此可知，甲水管工作20小时与丙水管工作20小时的工作量之差恰好是满池水。②已知同时开启排水管乙和进水管丙，用30小时可将满池水排空，由此可知乙、丙两水管同时工作30小时的工作量之差也恰好是满池水。③已知丙水管工作60小时，可将空池注满水，故其工作效率为。利用上述三个条件我们可以求得甲、乙两水管的工作效率，进而计算出同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空所用的时间。由条件①和条件②计算甲的工作效率为：由条件②和条件③计算乙的工作效率为：同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空所用的时间为：（小时）答案：需10小时。3.解析：解法一，①如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是16×（+）=②由于两队休息期间未做的工作量是−1=15 ③乙队休息期间未做的工作量是−×3=④乙队休息的天数是÷=天答：乙队休息了5天半。解法二：设全部工作量为60份。甲每天完成3份，乙每天完成2份。两队休息期间未做的工量是（3+2）×16-60=20（份）。因此乙休息天数是（20-3×3）÷2=5.5（天）。解法三：甲队做2天，相当于乙队做3天。甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天。如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是。16-6-4.5=5.5（天）答案：5.5天。1.解析：设一批零件为单位“1”，其中6天完成任务，用表示师徒的工效和，要求每人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做5天，接着徒弟做3天转化为师徒二人合作3天，师傅再做2天。师傅工效：(−×3)÷2=，徒弟工效：−=师傅单独做需几天：1÷=10（天），徒弟单独做需几天：1÷=15（天）答案：师傅需10天，徒弟需15天。2.解析：要求剩下的由甲队单独修，还要多少天才能完成，应先求出剩下的工作量．根据题意，把这项工程的工作量看做单位“1”，甲、乙两队合修6天，完成了全工程的，还剩全工程的（1-）=，甲完成与乙完成所需要的时间相等，可知工作效率比为2：3；进一步求出甲的工作效率，再进一步列式计算即可．15 甲完成与乙完成所需要的时间相等，所以甲乙工作效率比为2:3；(1−)÷(÷6×)=÷=3(天)答案：3天。1.解析：解法一：甲做了3天，完成的工作量是=，乙还需要完成的工作量是1-=。乙每天能完成的工作量（工作效率）是，完成余下工作量所需时间是÷=4（天）答：乙需要单独做4天可完成剩余工作.解法二：9与6的最小公倍数是18。假设全部工作量是18份。甲每天完成2份，乙每天完成3份。乙完成余下工作所需时间是（18-2×3）÷3=4（天）解法三：甲与乙的工作效率之比是6∶9=2∶3甲做了3天，相当于乙做了2天，乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）2.解析：解答工程问题时，除了用一般的算术方法解答外，还可以根据题目的条件，找到等量关系，列方程解题。设甲做了x天。那么，甲完成工作量，乙做的天数10-x。乙完成工作量（10-x）×，因此+（10-x）×=1，+=1等式的两边同乘36，得到：3x＋40－4x＝36，解得x＝4答：甲单独做了4天。15 1.解析：把这份稿件的总量看成单位“1”，甲的工作效率是；用乙5天的工作量除以工作时间求出乙的工作效率，甲乙的工作效率和就是合作的工作效率，用50%这个工作量除以合作的工作效率就是合作需要的时间。÷5=；50%÷(+)=50%÷=3(天)；答案：3天2.解析：方法一，甲完成=40×=,乙完成=1-=,乙休息=40-÷=25天。方法二，设总量为150，甲做了效率为3，乙为2那么甲完成了3天剩下150-3×40=30，乙完成了30÷2=15天乙休息了40-15=25天答案:25天。3.解析：因为乙丙始终都在工作没有休息，所以可以求出乙丙的工作总量：（+）×6=，那么甲的工作总量是1−=，所以甲的工作时间是：÷=3（小时），则甲停工了：6-3=3小时。答案：3小时。1.解析：甲乙丙的效率分别为、和，因为三个人工作时间相等．工作量之比就是效率之比，460个按照比例分配即可。甲乙丙的效率比是∶∶化成最简整数比为9:8:6，460个零件按照9∶8∶6的比例就会同时完成，乙的工作零件个数为：460÷(9+8+6)×8=160(个)。答案：乙工人应该分配160个零件。2.解析：把水池看做是115 同时打开l，2，3号阀门,每分钟填满同时打开2，3，4号阀门,每分钟填满同时打开l，3，4号阀门,每分钟填满同时打开1，2，4号阀门,每分钟填满(+++)÷3=所以18分钟可以完成答案：18分钟1.解析：本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致的问题。我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，即丙的工作时间，从而求出这个数。　把这项工程看作“1”，指甲休息2天，乙休息3天的工作量加在总工作量上，看成三人的工作时间与丙相同。　答案：17天。2.解析：我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题：甲5小时的工作量+乙3小时的工作量=“1”（1）甲3小时的工作量+乙9小时的工作量=“1”（2）比较（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的3倍。因此，甲做了5小时工作后，由乙接做3小时可以完成。可以看作甲单独做6小时完成全部工作，所以甲的工作效率为，那么乙的工作效率为÷3=。解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是。所以，乙要完成全部工作还需解放二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是15 。所以，乙要完成全部工作还需。答案：15小时。1.解析：一方面，可以根据：第一段注入的水+第二阶段注入的水=，列出方程来求解。另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作效率和，进而求解。解法一，设打甲管未发现排水管关上这段时间为x分钟，列出方程得：　　　那么注满水池共需解法二：由题目知：甲管的工作效率为，排水管的工作效率为，那么在单开甲管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：的水；又关上排水管，同时打开乙管后每分钟注入：的水。我们又知道这段时间相等。所以，可以认为用的工作效率之和注水若干分钟后，水池注入，以后继续注水时间为。因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)。答案：4分钟。15