九年级数学上册第二章一元二次方程3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题教学课件新版北师大版

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2.3 用公式法求解一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 利用一元二次方程解决面积问题 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题 . （重点、难点） 2. 能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 . （难点） 学习目标 问题 1 ： 解一元二次方程我们学过哪几种方法？ 直接开平方法  , 配方法 , 公式法 . 问题 2 ： 请某小区规划在一个长 30 m 、宽 20 m 的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外两条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m 2 ，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m ，则由题意列的方程为 _____________________. 导入新课 C B D A (30 - 2 x )(20 - x ) =6×78 利用一元二次方程解决面积问题 一 问题： 在一块长 16m , 宽 12m 的矩形荒地上 , 要建造上个花园 , 并使 花园所占面积为荒地面积的一半 . 16m 12m 想一想，你会怎么设计这片荒地？ 看一看： 下面几位同学的设计方法是否合理？ 讲授新课 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 14 x + 24 = 0 . 解方程得 x 1 = 2 , x 2 = 12 . 将 x =12 代入方程中不符合题意舍去 . 答：小路的宽为 2m . 小明设计： 如右 图所示 . 其中花园四周小路的宽都相等 . 通过解方程 , 得到小路的宽为 2m 或 12m . 16m 12m 问题： 你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？ x x 解：设扇形半径为 x m , 根据题意得： 即 πx 2 = 96 . 解方程得 x 1 = , x 2 = ( 舍去 ) , 答：扇形半径约为 5.5m . 小亮设计： 如右图所示 . 其中花园每个角上的扇形都相同 . 问题： 你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？ 16m 12m 小颖设计： 如右图所示 . 其中花园是两条互相垂直的小路 , 且它的宽都相等 . 问题： 你能帮小颖计算一下图中 x 吗？ 16m 12m x m x m 解：设小路的宽为 x m , 根据题意得： 即 x 2 - 28 x + 96 = 0 . 解方程得 x 1 = 4 , x 2 = 24 , 将 x =24 代入方程中不符合题意舍去 答：小路的宽为 4m . 例 1 要设计一本书的封面 , 封面长 27㎝ , 宽 21cm 正中央 是一个与整个封面长宽比例相同的矩形 , 如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一 , 上、下边衬等宽 , 左、右边衬等宽 , 应如何设计四周边衬的宽度 ？（精确到 0.1cm ） 27cm 21cm 典例精析 分析 : 这本书的长宽之比 ： 正中央的矩形长宽之比 ： ，上下边衬与左右边衬之比 ： . 9 7 9 7 27cm 21cm 解：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a 由 此得到上下边衬宽度之比为： 9 7 27cm 21cm 解 : 设上下边衬的 9 x cm ，左右边衬宽为 7 x cm 依题意得 解方程得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : 方程的哪个根合乎实际意义 ? 为什么 ? 答：上下边衬的宽度为 : 1.8cm , 左右边衬的宽度为 : 1.4cm. 试一试 如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？ 解 : 设正中央的矩形两边别为 9xcm ， 7xcm 。 依题意得 27cm 21cm 解得 故上下边衬的宽度为 : 故左右边衬的宽度为 : （ 1 ） 主要集中在几何图形的 面积 问题 , 这类问题的 面积公式 是等量关系 . 如果图形不规则应 割 或 补 成规则图形 , 找出各部分面积之间的关系 , 再运用规则图形的面积公式列出方程 ; （ 2 ） 与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是这类问题的等量关系，即用勾股定理列方程 . 方法点拨 例 2 ： 如图 , 在一块长为 92 m , 宽为 60 m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等 , 水渠把耕地分成面积均为 885 m 2 的 6 个矩形小块 , 水渠应挖多宽？ 分析： 设水渠宽为 x m ，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92 – 2 x )m , 宽 (60 - x )m. 解： 设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2 x ) （ 60 - x ） = 6×885. 解得 x 1 =105( 舍去）， x 2 =1. 注意：结果应符合实际意义 我们利用“ 图形经过移动，它的面积大小不会改变 ”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） . 方法点拨 1. 在一幅长 90cm, 宽 40cm 的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边 , 制成一幅挂图 . 如果要求风景画的面积是整个挂图面积的 72%. 那么金边的宽应是多少？ 解： 设金边的宽为 x cm, 根据题意得 : (90 + 2 x )(40 + 2 x ) × 72% = 90 × 40 . 即 x 2 + 65 x - 350 = 0 . 解方程 , 得 x 1 = 5 , x 2 = - 70 ( 舍去 ) . 答 : 金边的宽应是 5 cm . 当堂练习 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场 , 养 鸡场的一边靠墙 ( 墙长 25m), 另 外三边用木栏围成 , 木栏长 40m. (1) 养 鸡场的面积能达到 180m 2 吗 ? 如果能 , 请给出设计方案 ; 如果不能 , 请 说明理由 . 25m 180m 2 解 : 设养鸡场的长为 x m , 根据题意得 : 即 x 2 - 40 x + 360=0 . 解方程 , 得 x 1 = x 2 = ( 舍去 ), 答：鸡场的为（ ） m 满足条件 . x 3. 如图 1 ，在宽为 20 米，长为 32 米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为 540 平方米，求道路的宽 . 解：设道路宽为 x 米，由平移得到图 2 ，则宽为 (20- x ) 米，长为（ 32- x ) 米，列方程得 （ 20- x )(32- x )=540 ， 整理得 x 2 -52 x +100=0 ， 解得 x 1 =50( 舍去）， x 2 =2. 答：道路宽为 2 米 . 图 1 图 2 课堂小结 利用一元二次方程解决面积问题 几何图形 常见几何图形面积是等量关系 . 类 型 花坛面积问题 相框宽度问题 常采用图形平移能聚零为整方便列方程