北师大版九上第2章一元二次方程测试卷（共3套含解析）

北师大版九上第2章一元二次方程测试卷（共3套含解析）

第二章 一元二次方程测试卷（1）‎ 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（　　）‎ A．﹣3 B．2 C．0 D．3‎ ‎2．（3分）方程x2=2x的解是（　　）‎ A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=‎ ‎3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（　　）‎ A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4‎ ‎4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（　　）‎ A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9‎ ‎6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）‎ A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0‎ C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0‎ ‎7．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎8．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 ‎9．（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（　　）‎ A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2‎ ‎10．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生．‎ A．12 B．12或66 C．15 D．33‎ 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．‎ ‎11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：　　．‎ ‎12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=　　，另一个根是　　．‎ ‎13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　　．‎ ‎14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=　　．‎ ‎15．（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是　　．‎ ‎　‎ 三、按要求解一元二次方程：（20分）‎ ‎16．（20分）按要求解一元二次方程 ‎（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）‎ ‎（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）‎ ‎（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）‎ ‎（4）x2﹣2x﹣8=0．‎ ‎　‎ 四、细心做一做：‎ ‎17．（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？‎ ‎18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？‎ ‎19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：‎ ‎（1）该企业2007年盈利多少万元？‎ ‎（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？‎ ‎20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？‎ ‎21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．‎ ‎（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？‎ ‎（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？‎ ‎（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（　　）‎ A．﹣3 B．2 C．0 D．3‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式．‎ ‎【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C．‎ ‎【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）方程x2=2x的解是（　　）‎ A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法．‎ ‎【专题】因式分解．‎ ‎【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根．‎ ‎【解答】解：x2﹣2x=0‎ x（x﹣2）=0‎ ‎∴x1=0，x2=2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（　　）‎ A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4‎ ‎【考点】解一元二次方程-直接开平方法．‎ ‎【分析】先移项，然后利用数的开方解答．‎ ‎【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2，‎ ‎∴x1=2，x2=﹣2．‎ 故选C．‎ ‎【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；‎ ‎（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；‎ ‎（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，要方程无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k．‎ ‎【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，‎ 当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，‎ 解得k＞，则满足条件的最小整数k为2．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0‎ ‎，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（　　）‎ A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：移项得：x2﹣4x=5，‎ 配方得：x2﹣4x+22=5+22，‎ ‎（x﹣2）2=9，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）‎ A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0‎ C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．‎ ‎【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，‎ 即4000+260x+4x2=5400，‎ 化简为：4x2+260x﹣1400=0，‎ 即x2+65x﹣350=0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（　　）‎ A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎【考点】勾股定理．‎ ‎【分析】设三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可．‎ ‎【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2，‎ 根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2‎ 解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3，‎ ‎∴x+1=4，x+2=5，‎ 则三边长是3，4，5，‎ ‎∴三角形的面积=××4=6；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）‎ A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 ‎【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．‎ ‎【专题】分类讨论．‎ ‎【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．‎ ‎【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3‎ ‎∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系 ‎∴等腰三角形的腰为6，底为3‎ ‎∴周长为6+6+3=15‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（　　）‎ A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0，‎ 解得k=﹣1．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（　　）名学生．‎ A．12 B．12或66 C．15 D．33‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1‎ ‎）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得 x（x﹣1）=132‎ 解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12，‎ 答：全组共有12名学生．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）．‎ ‎11．（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：　﹣3x2+2x﹣3=0　．‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式．‎ ‎【专题】开放型．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0，‎ 故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=‎ ‎　﹣4　，另一个根是　5　．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根，‎ ‎∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0，‎ 解得b=﹣4，‎ 即方程为x2﹣4x﹣5=0，‎ ‎（x+1）（x﹣5）=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=5，‎ 即b的值是﹣4，另一个实数根式5．‎ 故答案为：﹣4，5；‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　y1=﹣，y2=　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【专题】因式分解．‎ ‎【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得．‎ ‎【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0，‎ ‎∴2y+1=0或2y﹣3=0，‎ 解得y1=，y2=．‎ ‎【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=　3　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0‎ ‎）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是　y2﹣3y﹣1=0　．‎ ‎【考点】换元法解分式方程．‎ ‎【专题】换元法．‎ ‎【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看作一个整体．‎ ‎【解答】解：原方程可化为：‎ ‎﹣（x2﹣2x）+3=0‎ 设y=x2﹣2x ‎﹣y+3=0‎ ‎∴1﹣y2+3y=0‎ ‎∴y2﹣3y﹣1=0．‎ ‎【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体．‎ ‎　‎ 三、按要求解一元二次方程：（20分）‎ ‎16．（20分）按要求解一元二次方程 ‎（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）‎ ‎（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）‎ ‎（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）‎ ‎（4）x2﹣2x﹣8=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．‎ ‎【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．‎ ‎（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解．‎ ‎（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解．‎ ‎（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）‎ 移项得，x2﹣2x=﹣，‎ 配方得，x2﹣2x+1=﹣+1，‎ ‎（x﹣1）2=，‎ ‎∴x﹣1=±‎ ‎∴x1=1+，x2=1﹣．‎ ‎（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）‎ ‎7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0，‎ ‎（5x+2）（7x﹣6）=0，‎ ‎∴5x+2=0，7x﹣6=0，‎ ‎∴x1=﹣，x2=；‎ ‎（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）‎ 整理得，3x2+10x+5=0‎ ‎∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40，‎ ‎∴x===，‎ ‎∴x1=，x2=；‎ ‎（4）x2﹣2x﹣8=0．‎ ‎（x+4）（x﹣2）=0，‎ ‎∴x+4=0，x﹣2=0，‎ ‎∴x1=﹣4，x2=2．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．‎ ‎　‎ 四、细心做一做：‎ ‎17．（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解．‎ ‎【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150‎ 解这个方程；x2=10‎ 当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去，‎ 当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m．‎ 答：鸡场的长与宽各为15m，10m．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解．‎ ‎【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米，‎ 由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣）‎ 即x2﹣31x+30=0‎ 解得x1=30 x2=1‎ ‎∵路宽不超过15米 ‎∴x=30不合题意舍去 答：小路的宽应是1米．‎ ‎【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：‎ ‎（1）该企业2007年盈利多少万元？‎ ‎（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）．‎ ‎（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况．‎ ‎（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了．‎ ‎【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，‎ 根据题意，得1500（1+x）2=2160．‎ 解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．‎ ‎∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．‎ 答：2007年该企业盈利1800万元．‎ ‎（2）2160（1+0.2）=2592．‎ 答：预计2009年该企业盈利2592万元．‎ ‎【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】销售问题．‎ ‎【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），‎ 由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000，‎ 整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000，‎ 解得：x1=，x2=，‎ 当x1=时，则涨价10元，销量为：400件；‎ 当x2=时，则涨价30元，销量为：200件．‎ 答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．‎ ‎（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？‎ ‎（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？‎ ‎（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定．‎ ‎【专题】几何动点问题．‎ ‎【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解；‎ ‎（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有=或=，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值；‎ ‎（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性 质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么=，依此列出比例式=，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的，‎ 由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，‎ 则×2x（6﹣x）=××8×6，‎ 解得：x=2或x=4．‎ 故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的；‎ ‎（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．‎ 当△PCQ与△ACB相似时，则有=或=，‎ 所以=，或=，‎ 解得t=，或t=．‎ 因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似；‎ ‎（ 3）有可能． ‎ 由勾股定理得AB=10．‎ ‎∵CD为△ACB的中线，‎ ‎∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，‎ 又PQ⊥CD，‎ ‎∴∠CPQ=∠B，‎ ‎∴△PCQ∽△BCA，‎ ‎∴=，=，‎ 解得y=．‎ 因此，经过秒，PQ⊥CD．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ 第二章 一元二次方程测试卷（2）‎ 一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）‎ ‎1．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）‎ A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2‎ ‎2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）‎ A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4‎ ‎3．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）‎ A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0‎ ‎4．（3分）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（　　）‎ A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0‎ ‎5．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定 ‎6．（3分）若分式的值为零，则x的值为（　　）‎ A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3‎ ‎7．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎8．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）‎ A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10‎ ‎9．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）‎ A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182‎ C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182‎ ‎10．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则ba的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．4 D．﹣1‎ ‎11．（3分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．与m有关 ‎12．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（　　）‎ A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）方程x2﹣3=0的根是　　．‎ ‎14．（3分）当k=　　时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．‎ ‎15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　　．‎ ‎16．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本题有7小题，共52分）‎ ‎17．（10分）解方程 ‎（1）x2﹣4x﹣5=0‎ ‎（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．‎ ‎18．（5分）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．‎ ‎19．（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？‎ ‎20．（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种商品每次降价的百分率；‎ ‎（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？‎ ‎21．（6分）阅读下面的例题，‎ 范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，‎ 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．‎ ‎（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．‎ ‎∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2‎ 请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．‎ ‎22．（8分）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？‎ ‎23．（9分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．‎ ‎（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？‎ ‎（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？‎ ‎（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）‎ ‎1．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（　　）‎ A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2‎ ‎【考点】一元二次方程的一般形式．‎ ‎【专题】压轴题；推理填空题．‎ ‎【分析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．‎ ‎【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得 x2﹣3x+10=0，‎ ‎∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　）‎ A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4‎ ‎【考点】解一元二次方程-配方法．‎ ‎【分析】先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上32，这样方程左边就为完全平方式．‎ ‎【解答】解：x2﹣6x﹣5=0，‎ x2﹣6x=5，‎ x2﹣6x+9=5+9，‎ ‎（x﹣3）2=14，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）‎ A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0‎ ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，‎ 所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．‎ 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，‎ ‎∴k＞且k≠0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ 注意方程若为一元二次方程，则k≠0．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（　　）‎ A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0‎ ‎【考点】换元法解分式方程．‎ ‎【分析】把y=代入原方程，移项即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设=y，‎ 则原方程可化为：y﹣=3，即y﹣﹣3=0，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定 ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．‎ ‎【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，‎ 解得：x1=3，x2=4，‎ 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；‎ 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）若分式的值为零，则x的值为（　　）‎ A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3‎ ‎【考点】分式的值为零的条件；解一元二次方程-直接开平方法；解一元一次不等式．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由题意，可得x2﹣9=0且2x﹣6≠0，‎ 解得x=﹣3．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题主要考查分式的值为0的条件．由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】先求出△的值，再判断出其符号即可．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）‎ A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】其他问题；压轴题．‎ ‎【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．‎ ‎【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；‎ 依题意，可列方程为：=10；‎ 故选B．‎ ‎【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）‎ A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182‎ C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】增长率问题；压轴题．‎ ‎【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程．‎ ‎【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，‎ ‎∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182．‎ 故选B．‎ ‎【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，‎ x1•x2=1，则ba的值是（　　）‎ A． B．﹣ C．4 D．﹣1‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系和已知x1+x2和x1•x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，‎ ‎∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，‎ 解得a=2，b=﹣，‎ ‎∴ba=（﹣）2=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）定义运算：a⋆b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，则b⋆b﹣a⋆a的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．与m有关 ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】（方法一）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．‎ ‎（方法二）由根与系数的关系可找出a+b=1，根据新运算找出b⋆b﹣a⋆a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，‎ ‎∴a+b=1，‎ ‎∴b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0．‎ ‎（方法二）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的两根，‎ ‎∴a+b=1．‎ ‎∵b⋆b﹣a⋆a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1，‎ ‎∴b⋆b﹣a⋆a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）使用墙的一边，再用13m的铁丝网围成三边，围成一个面积为20m2的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为xm，可得方程（　　）‎ A．x（13﹣x）=20 B．x•=20 C．x（13﹣x）=20 D．x•=20‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】根据铁丝网的总长度为13m，长方形的面积为20m2，来列出关于x的方程，由题意可知，墙的对边为xm，则长方形的另一对边为m，则可利用面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：设墙的对边长为x m，可得方程：x×=20．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）方程x2﹣3=0的根是　x=±　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-直接开平方法．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值．‎ ‎【解答】解：方程整理得：x2=3，‎ 开方得：x=±，‎ 故答案为：x=±‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）当k=　0　时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】将x=0代入已知的方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到满足题意k的值．‎ ‎【解答】解：将x=0代入方程x2+（k+1）x+k=0得：k=0，‎ 则k=0时，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0．‎ 故答案为：0‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=　2016　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．‎ ‎【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，‎ ‎∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，‎ ‎∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，‎ ‎∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，‎ ‎∴m+n=﹣2，‎ ‎∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定义．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是　x2+x﹣20=0　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先简单4与﹣5的和与积，然后根据根与系数的关系写出满足条件的方程．‎ ‎【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20，‎ ‎∴以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程为x2+x﹣20=0．‎ 故答案为x2+x﹣20=0．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎　‎ 三．解答题（本题有7小题，共52分）‎ ‎17．（10分）解方程 ‎（1）x2﹣4x﹣5=0‎ ‎（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】（1）根据因式分解法可以解答本题；‎ ‎（2）先移项，然后提公因式可以解答此方程．‎ ‎【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5=0‎ ‎（x﹣5）（x+1）=0‎ ‎∴x﹣5=0或x+1=0，‎ 解得，x1=5，x2=﹣1；‎ ‎（2）3x（x﹣1）=2﹣2x ‎3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0‎ ‎（3x+2）（x﹣1）=0‎ ‎∴3x+2=0或x﹣1=0，‎ 解得，．‎ ‎【点评】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是根据方程的特点，选取合适的因式分解法解答方程．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．‎ ‎【考点】一元二次方程的定义．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义，只需证明此方程的二次项系数a2﹣8a+20不等于0即可．‎ ‎【解答】证明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4，‎ ‎∴无论a取何值，a2﹣8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，‎ ‎∴关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．‎ ‎【点评】一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）含未知数的项的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）将方程化为一般形式ax2+bx+c=0时，应满足a≠0．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】本题有多种解法．设的对象不同则列的一元二次方程不同．设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解．‎ ‎【解答】解：解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，‎ 根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288，‎ ‎∴2（x﹣2）2=288，‎ ‎∴（x﹣2）2=144，‎ ‎∴x﹣2=±12，‎ 解得：x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14，‎ 所以x=14，2x=2×14=28．‎ 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．‎ 解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为xm．根据题意，得（x﹣2）•‎ ‎（x﹣4）=288．‎ 解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．‎ 所以x=28，x=×28=14．‎ 答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．‎ ‎【点评】解答此题，要运用含x的代数式表示蔬菜种植矩形长与宽，再由面积关系列方程．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．‎ ‎（1）求该种商品每次降价的百分率；‎ ‎（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ ‎【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）的平方”，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；‎ ‎（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”，即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，‎ 依题意得：400×（1﹣x%）2=324，‎ 解得：x=10，或x=190（舍去）．‎ 答：该种商品每次降价的百分率为10%．‎ ‎（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，‎ 第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；‎ 第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．‎ 依题意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210，‎ 解得：m≥22.5．‎ ‎∴m≥23．‎ 答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于x的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）阅读下面的例题，‎ 范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，‎ 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．‎ ‎（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．‎ ‎∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2‎ 请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】分为两种情况：（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0，‎ ‎（1）当x≥1时，原方程化为x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合题意，舍去）．‎ ‎（2）当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1‎ ‎（不合题意，舍去）．‎ 故原方程的根是x1=1，x2=﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）龙华天虹商场以120元/件的价格购进一批上衣，以200元/件的价格出售，每周可售出100件．为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存．经调查发现，这种上衣每降价5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．该商场要想每周盈利8000元，应将每件上衣的售价降低多少元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【分析】设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元，本题的等量关系为：每件上衣的利润×每天售出数量﹣固定成本=8000．‎ ‎【解答】解：设每件上衣应降价x元，则每件利润为（80﹣x）元，‎ 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000=8000，‎ 解得：x1=30，x2=25‎ 因为为了促销，该商场决定降价销售，尽快减少库存，‎ 所以x=30．‎ 答：应将每件上衣的售价降低30元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿A边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从C点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．‎ ‎（1）如果P、Q分别从A、C两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？‎ ‎（2）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB 移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？‎ ‎（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，由，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值；‎ ‎（2）在Rt△PQB中，根据勾股定理列方程即可；‎ ‎（3）分两种情况：①当PQ平分△ABC面积时，计算出这时的t=5﹣，同时计算这时PQ所截△ABC的周长是否平分；②当PQ平分△ABC周长时，计算出这时的t=，此时△PBQ的面积是否为，计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）设经过t秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，‎ 由题意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，‎ ‎×2t×（6﹣t）=××6×8，‎ 解得：t=2或4，‎ ‎∵0≤t≤4，‎ ‎∴t=2或4符合题意，‎ 答：经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一；‎ ‎（2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2，‎ ‎∴62=（2t）2+（6﹣t）2，‎ 解得：t1=0（舍），t2=，‎ 答：秒钟后，P、Q相距6厘米；‎ ‎（3）由题意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t，‎ 分两种情况：‎ ‎①当PQ平分△ABC面积时，‎ S△PBQ=S△ABC，‎ ‎（6﹣t）（8﹣2t）=××8×6，‎ 解得：t1=5+，t2=5﹣，‎ ‎∵Q从C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4，‎ ‎∴t1=5+不符合题意，舍去，‎ 当t2=5﹣时，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2，‎ PQ将△ABC的周长分为两部分：‎ 一部分为：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3，‎ 另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1，‎ ‎25﹣3≠3﹣1，‎ ‎②当PQ平分△ABC周长时，‎ AP+AC+CQ=PB+BQ，‎ ‎10+2t+t=6﹣t+8﹣2t，‎ t=，‎ 当t=时，PB=6﹣=，‎ BQ=8﹣2×=，‎ ‎∴S△PBQ=××=≠12，‎ 综上所述，不存在这样一个时刻，PQ同时平分△ABC的周长与面积．‎ ‎【点评】本题是动点运动问题，在三角形中的动点问题，首先要确定两个动点的：路线、路程、速度、时间，表示出时间为t时的路程是哪一条线段的长，根据已知条件列等式或方程，解出即可．‎ 第二章 一元二次方程测试卷（3）‎ 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A． B．ax2+bx+c=0‎ C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0‎ ‎2．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1‎ ‎3．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（　　）‎ A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与k的取值有关 ‎4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定 ‎5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（　　）‎ A．20% B．27% C．28% D．32%‎ ‎6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（　　）‎ A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2‎ C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100‎ ‎7．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（　　）‎ A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000‎ C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000‎ ‎8．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）‎ A．12 B．18 C．20 D．12或20‎ ‎9．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎10．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（　　）‎ A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定 ‎11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定 ‎12．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）‎ A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m　　时为一元二次方程．‎ ‎14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是　　．‎ ‎15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2=　　，x1x2=　　，x12+x22=　　．‎ ‎16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（18分）解方程：‎ ‎（1）2x2﹣6x+3=0‎ ‎（2）（x+3）（x﹣1）=5‎ ‎（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．‎ ‎18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？‎ ‎19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．‎ ‎（1）求一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？‎ ‎（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．‎ ‎20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．‎ ‎（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？‎ ‎（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？‎ ‎　‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（每题3分，共36分）‎ ‎1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）‎ A． B．ax2+bx+c=0‎ C．（x﹣1）（x+2）=1 D．3x2﹣2xy﹣5y2=0‎ ‎【考点】一元二次方程的定义．‎ ‎【专题】方程思想．‎ ‎【分析】一元二次方程必须满足四个条件：‎ ‎（1）未知数的最高次数是2；‎ ‎（2）二次项系数不为0；‎ ‎（3）是整式方程；‎ ‎（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．‎ ‎【解答】解：A、原方程为分式方程；故A选项错误；‎ B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故B选项错误；‎ C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求；故C选项正确；‎ D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有两个未知数；故D选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）‎ A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1‎ ‎【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，所以k≠0且△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴k≠0，且△=b2﹣4ac=36﹣36k＞0，‎ 解得k＜1且k≠0．‎ 故答案为k＜1且k≠0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）方程x2﹣kx﹣1=0根的情况是（　　）‎ A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程的根的情况与k的取值有关 ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】求出方程的判别式后，根据判别式与0的大小关系来判断根的情况．‎ ‎【解答】解：∵方程的△=k2+4＞0，‎ 故方程有两个不相等的实数根．‎ 故选A ‎【点评】总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0‎ 的两个根，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定 ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，确定出底与腰，即可求出周长．‎ ‎【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，‎ 解得：x1=3，x2=4，‎ 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为3+4+4=11；‎ 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为3+3+4=10．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（　　）‎ A．20% B．27% C．28% D．32%‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】如果价格每次降价的百分率为x，降一次后就是降到价格的（1﹣x）倍，连降两次就是降到原来的（1﹣x）2倍．则两次降价后的价格是150×（1﹣x）2，即可列方程求解．‎ ‎【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，‎ 则可以得到关系式：150×（1﹣x）2=96‎ x=0.2或1.8‎ x=1.8不符合题意，舍去，‎ 故x=0.2‎ 答：平均每次降价的百分率是20%．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（　　）‎ A．（160+x）（100+x）=160×100×2 B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2‎ C．（160+x）（100+x）=160×100 D．2（160x+100x）=160×100‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【分析】本题可先求出桌布的面积，再根据题意用x表示桌面的长与宽，令两者的积为桌布的面积即可．‎ ‎【解答】解：依题意得：桌布面积为：160×100×2，‎ 桌面的长为：160+2x，宽为：100+2x，‎ 则面积为=（160+2x）（100+2x）=2×160×100．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，要灵活地运用面积公式来求解．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（　　）‎ A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000‎ C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=1000‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】增长率问题．‎ ‎【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额=1000，把相关数值代入即可求解．‎ ‎【解答】解：二月份的月营业额为200×（1+x ‎），三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，‎ 为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2=1000，故选C．‎ ‎【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（　　）‎ A．12 B．18 C．20 D．12或20‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】设草坪BC的长为x米，则宽为，根据面积为120平方米，列方程求解．‎ ‎【解答】解：设草坪BC的长为x米，则宽为，‎ 由题意得，x•=120，‎ 解得：x1=12，x2=20，‎ ‎∵墙为16米，‎ ‎∴x=20不合题意．‎ 故x=12．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2‎ ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】把x=n代入方程得出n2+mn+2n=0，方程两边都除以n得出m+n+2=0，求出即可．‎ ‎【解答】解：∵n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，‎ 代入得：n2+mn+2n=0，‎ ‎∵n≠0，‎ ‎∴方程两边都除以n得：n+m+2=0，‎ ‎∴m+n=﹣2．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能运用巧妙的方法求出m+n的值是解此题的关键，题型较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（　　）‎ A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定 ‎【考点】换元法解一元二次方程．‎ ‎【分析】设y=m2+n2，原式化成关于y的一元二次方程，解方程即可求得．‎ ‎【解答】解：设y=m2+n2，‎ 则原式化为：y2﹣2y﹣3=0，‎ ‎（y﹣3）（y+1）=0，‎ ‎∴y=3或y=﹣1，‎ ‎∵m2+n2≥0，‎ ‎∴m2+n2=3．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数式m2+n2，再用字母y代替解方程．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定 ‎【考点】一元二次方程的解．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=0代入原方程即可求得m的值．‎ ‎【解答】解：把x=0代入原方程得m2﹣9=0；‎ 解得：m=±3；‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的是方程的根即方程的解的定义；注意该题没有说明该方程是一元二次方程，所以也能是一元一次方程，所以m的值是±3．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）‎ A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x2‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．‎ ‎【解答】解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，任意画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：‎ 答案是：x1＜a＜b＜x2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m　≠1　时为一元二次方程．‎ ‎【考点】一元二次方程的定义．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．‎ ‎【解答】解：由关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，得 m﹣1≠0，‎ 解得m≠1．‎ 故答案为：m≠1．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是　x1=0，x2=2　．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，‎ 提公因式得，x（x﹣2）=0，‎ x=0或x﹣2=0，‎ ‎∴x1=0，x2=2．‎ 故答案为：x1=0，x2=2．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+1=0的两个根，则x1+x2=　3　，x1x2=　1　，x12+x22=　7　．‎ ‎【考点】根与系数的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=1，再利用完全平方公式变形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．‎ ‎【解答】解：根据题意得x1+x2=3，x1x2=1，‎ x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=32﹣2×1=7．‎ 故答案为3，1，7．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是xm，根据题意可列方程为　（30﹣x）（20﹣x）=×30×20　．‎ ‎【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．‎ ‎【专题】几何图形问题．‎ ‎【分析】‎ 把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有 ‎（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．‎ 故答案为：（30﹣x）（20﹣x）=×30×20．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．（18分）解方程：‎ ‎（1）2x2﹣6x+3=0‎ ‎（2）（x+3）（x﹣1）=5‎ ‎（3）4（2x+1）2=9（2x﹣1）2．‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．‎ ‎【专题】计算题；一次方程（组）及应用．‎ ‎【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；‎ ‎（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；‎ ‎（3）方程利用平方根定义开方即可求出解．‎ ‎【解答】解：（1）这里a=2，b=﹣6，c=3，‎ ‎∵△=36﹣24=12，‎ ‎∴x==，‎ 解得：x1=，x2=；‎ ‎（2）方程整理得：x2+2x﹣8=0，即（x﹣2）（x+4）=0，‎ 解得：x1=2，x2=﹣4；‎ ‎（3）开方得：2（2x+1）=3（2x﹣1）或2（2x+1）=﹣3（2x﹣1），‎ 解得：x1=2.5，x2=0.1．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】设每件童装应降价x元，那么就多卖出2x件，根据每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，可列方程求解．‎ ‎【解答】解：设每件童装应降价x元，‎ 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200，‎ 解得：x=10或x=20．‎ 因为减少库存，所以应该降价20元．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键找到降价和卖的件数的关系，根据利润列方程求解．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．‎ ‎（1）求一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？‎ ‎（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．‎ ‎【考点】二次函数的应用．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】（1）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．‎ ‎（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．‎ ‎（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得 解得k=﹣1，b=120．‎ 所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．‎ ‎（2）W=（x﹣60）•（﹣x+120）‎ ‎=﹣x2+180x﹣7200‎ ‎=﹣（x﹣90）2+900，‎ ‎∵抛物线的开口向下，‎ ‎∴当x＜90时，W随x的增大而增大，‎ 而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，‎ 即60≤x≤60×（1+45%），‎ ‎∴60≤x≤87，‎ ‎∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．‎ ‎∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．‎ ‎（3）由W≥500，得500≤﹣x2+180x﹣7200，‎ 整理得，x2﹣180x+7700≤0，‎ 而方程x2﹣180x+7700=0的解为 x1=70，x2=110．‎ 即x1=70，x2=110时利润为500元，而函数y=﹣x2+180x﹣7200的开口向下，所以要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，‎ 而60元/件≤x≤87元/件，所以，销售单价x的范围是70元/件≤x≤87元/件．‎ ‎【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．‎ ‎（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？‎ ‎（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？‎ ‎【考点】一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】几何动点问题．‎ ‎【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，分别表示出线段PB和线段BQ的长，然后根据面积之间的关系列出方程求得时间即可；‎ ‎（2）根据勾股定理列出方程求解即可；‎ ‎【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：‎ ‎×2t（6﹣t）=××6×8，‎ 解得：t=2或4．‎ 答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．‎ ‎（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：‎ ‎（6﹣x）2+（2x）2=36，‎ 解得：x=0（舍去）或x=．‎ 答：秒时，P、Q相距6厘米．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握三角形的面积计算方法，勾股定理，能够表示出线段PB和QB的长是解答本题的关键．‎