九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程教学课件新版北师大版

九年级数学上册第二章一元二次方程6应用一元二次方程第2课时营销问题及平均变化率问题与一元二次方程教学课件新版北师大版

2.6 应用一元二次方程 第二章 一元二次方程 第 2 课时 营销问题及平均变化率问题 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 会用一元二次方程的方法解决营销问题及平均变化率 问题 . （重点、难点） 2. 进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问 题解决问题的能力． 学习目标 导入新课 问题引入 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 80 分，第二次月考增长了 10%， 第三次月考又增长了 10%， 问他第三次数学成绩是多少？ 利用一元二次方程解决营销问题 一 例 1 ： 新华商场销售某种冰箱 , 每台进价为 2500 元 . 市场调研表明 : 当销售价为 2900 元时 , 平均每天能售出 8 台 ; 而当销价每降低 50 元时 , 平均每天能多售 4 台 . 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元 , 每台冰箱的定价应为多少元 ? 分析：本题的主要等量关系是： 每台冰箱的销售利润 × 平均每天销售冰箱的数量 = 5000 元 . 如果设每台冰箱降价 x 元，那么每台冰箱的定价就是（ 2900 - x ）元，每 台冰箱的销售利润为 （ 2900- x -2500 ） 元，平均每天销售冰箱的数量为 台，这样就可以列出一个方程，从而使问题得到解决 . 讲授新课 解： 设每台冰箱降价 x 元 , 根据题意 , 得 整理 , 得： x 2 - 300 x + 22500 = 0 . 解方程 , 得： x 1 = x 2 = 150 . ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750 . 答：每台冰箱的定价应为 2750 元 . 例 2 ： 某超市将进价为 30 元的商品按定价 40 元出售时，能卖 600 件已知该商品每涨价 1 元，销售量就会减少 10 件，为获得 10000 元的利润，且尽量减少库存，售价应为多少？ 解析：销售利润 = （每件售价 - 每件进价） × 销售件数，若设每件涨价 x 元，则售价为 （ 40+ x ） 元，销售量为 （ 600-10 x ） 件，根据等量关系列方程即可 . 解：设每件商品涨价 x 元，根据题意，得 （ 40+ x - 30 ）（ 600 - 10 x ） = 10000 . 即 x 2 - 50 x +400 = 0. 解得 x 1 = 10 ， x 2 = 40. 经检验 , x 1 =10 ， x 2 =40 都是原方程的解 . 当 x = 10 时 , 售价为 : 40+10=50 （元） , 销售量为 : 600 - 10 × 10=500 （件） . 当 x = 40 时 , 售价为 : 40+40=80 （元） , 销售量为 : 600 - 10 × 40=200 （件） . ∵ 要尽量减少库存， ∴ 售价应为 80 元 . 某花圃用花盆培育某种花苗 , 经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系 . 每盆植入 3 株时 , 平均单株盈利 3 元 ; 以同样的栽培条件 , 若每盆增加 1 株 , 平均单株盈利就减少 0.5 元 . 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应该植多少株 ? 解 : 设每盆花苗增加的株数为 x 株 , 则每盆花苗有 ( x +3) 株 , 平均单株盈利为 (3 - 0.5 x ) 元 . 根据题意 , 得 . ( x + 3)(3 - 0.5 x ) = 10 . 思考 : 这个问题设什么为 x ? 有几种设法 ? 如果直接设每盆植 x 株 , 怎样表示问题中相关的量 ? 如果设每盆花苗增加的株数为 x 株呢？ 针对练习 整理，得 x 2 - 3 x + 2 = 0 . 解这个方程 , 得 x 1 =1, x 2 =2 . 经检验， x 1 =1 , x 2 = 2 都符合题意 . 答 : 要使每盆的盈利达到 10 元 , 每盆应植入 4 株或 5 株 . 总结归纳 利润问题常见关系式 基本关系： (1) 利润＝售价－ ________ ； (3) 总利润＝ ____________× 销量 进价 单个利润 平均变化率问题与一元二次方程 二 填空： 1. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，去年生产 1 吨甲种药品的成本是 4650 元，则下降率是 . 如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 探究归纳 7% 4324.5 下降率 = 下降前的量 - 下降后的量 下降前的量 2. 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，设下降率是 x , 则去年生产 1 吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产 1 吨甲种药品的成本是 元 . 下降率 x 第一次降低前的量 5000(1- x ) 第一次降低后的量 5000 下降率 x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1- x ) 2 5000(1- x ) 5000(1- x ) 2 例 3 前年生产 1 吨甲种药品的成本是 5000 元，随着生产技术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 典例精析 解：设甲种药品的年平均下降率为 x . 根据题意，列方程，得 5 000 ( 1 － x ) 2 = 3000 ， 解方程，得 x 1 ≈0.225 ， x 2 ≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 下降率不能超过 1 . 注意 练一练 前年生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元 . 随着生产技术的进步，现在生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为 y . 根据题意，列方程，得 6 000 ( 1 － y ) 2 = 3 600. 解方程，得 y 1 ≈0.225 ， y 2 ≈ － 1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5 ％ . 解后反思 答：不能 . 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为 （ 5000-3000 ）÷ 2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额为 （ 6000-3000 ）÷ 2=1200 元 ，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题 1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能 . 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等 . 因此我们发现 虽然绝对量相差很多，但其相对量 （年平均下降率） 也可能相等． 问题 2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢 ? 也就说 能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢 ? 问题 3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式 . 若平均增长(或降低)百分率为 x ,增长(或降低)前的是 a ,增长(或降低) n 次后的量是 b ,则它们的数量关系可表示为 a (1± x ) n = b (其中增长取“ + ”,降低取“ － ”) . 例 4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 分析： 设这个增长率为 x， 则 二月份营业额为： __________________ . 三月份营业额为： _______________ . 根据： . 作为等量关系列方程为： 200(1+ x ) 一月、二月、三月的营业额共 950 万元 . 200(1+ x ) 2 200+ 200(1+ x ) + 200(1+ x ) 2 =950 例 4 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950 万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为 x . 根据题意，得 答：这个增长率为 50% . 200+ 200(1+ x ) + 200(1+ x ) 2 =950 整理方程，得 4 x 2 +12 x -7=0 ， 解这个方程得 x 1 =-3.5 （ 舍去 ）， x 2 =0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过 1 . 平均变化率问题中常见概念 1. 增长率问题 a (1+ x ) 2 = b , 其中 a 为增长前的量， x 为增长率， 2 为增长次数， b 为增长后的量 . 2. 降低率问题 a (1- x ) 2 = b , 其中 a 为降低前的量， x 为降低率， 2 为降低次数， b 为降低后的量 . 注意 1 与 x 位置不可调换 . 总结归纳 1. 某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个，调查表明，这种台灯的售价每上涨 1 元，某销售量就将减少 10 个，为了实现平均每月 10000 元销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 分析 : 设台灯的售价因定位 x 元 , 则应进台灯为 600 - 10 （ x - 40 ） 个 , 单个台灯的利润为 （ x - 30 ） 元 , 则每月总利润为 （ x - 30 ） (600 - 10 ( x - 40) ) . 解 : 设台灯的售价因定位 x 元 . 根据题意，得 （ x - 30 ） (600 - 10 ( x - 40) ) =10000 . 整理 , 得： x 2 - 130 x + 4000 = 0 . 解得 : x 1 = 50 , x 2 = 80 . 当 x = 50 时 , 应进台灯数： 600- 10 （ 50 - 40 ） =500 （个） . 当 x = 80 时 , 应进台灯数： 600- 10 （ 80 - 40 ） =200 （个） . 当堂练习 2. 青山村种的水稻去年平均每公顷产 7200 千克，今年平均每公顷产 8712 千克，求水稻每公顷产量的年平均增长率 . 解：设水稻每公顷产量的平均增长率为 x , 根据题意，得 系数化为 1 得， 直接开平方得， 则 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为 10% . 7200 （ 1+ x ) 2 =8712 （ 1+ x ) 2 =1.21 1+ x =1.1, 1+ x =-1.1 x 1 =0.1, x 2 =-1.1, 能力提升 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克 3.2 元的价格对外批发销售. （1） 求平均每次下调的百分率； （2） 小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金 200 元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解： （ 1 ） 设平均每次下调的百分率为 x ，由题意，得 5(1 － x ) 2 =3.2 ， 解得 x 1 =20% ， x 2 =1.8 （舍去） ∴平均每次下调的百分率为 20%; (2) 小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为： 3.2×0.9×5000=14400 （元）； 方案二所需费用为： 3.2×5000 － 200×5=15000 （元）， ∵ 14400 ＜ 15000 ， ∴小华选择方案一购买更优惠 . 利用一元二次方程 解决营销问题 及平均变化率问题 营销问题 平均变化率问题 课堂小结 a (1+ x ) 2 = b , 其中 a 为增长前的量， x 为增长率， 2 为增长次数， b 为增长后的量 . a (1- x ) 2 = b , 其中 a 为降低前的量， x 为降低率， 2 为降低次数， b 为降低后的量 . 注意 1 与 x 位置不可调换 .