2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题13 二次函数

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题13 二次函数

二次函数 一选择题 ‎ ‎1. （2020•四川省遂宁市•4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）‎ A．b2＞4ac ‎ B．abc＞0 ‎ C．a﹣c＜0 ‎ D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）‎ ‎【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，‎ ‎∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，‎ ‎∴abc＞0，故B选项不合题意，‎ 当x＝﹣1时，y＜0，‎ ‎∴a﹣b+c＜0，‎ ‎∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，‎ 当x＝m时，y＝am2+bm+c，‎ 当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，‎ ‎∴am2+bm+c≥a﹣b+c，‎ ‎∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．‎ ‎2. （2020•四川省自贡市•4分）函数与的图象如图所示，则的大致图象为 （）‎ ‎【解析】∵反比函数过一三象限，∴，由二次函数图象可得，所以一次函数应该经过第一、二、三象限，故答案为D.‎ ‎3. （2020·天津市·3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x＝．有下列结论：‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；‎ ‎③a＜﹣．‎ 其中，正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴﹣＝，b＝﹣a，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；‎ 根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；‎ 根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝，‎ 而点（2，0）关于直线x＝的对称点的坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵c＞1，‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵抛物线对称轴为直线x＝，‎ ‎∴﹣＝，‎ ‎∴b＝﹣a＞0，‎ ‎∴abc＜0，故①错误；‎ ‎∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，‎ ‎∴顶点在x轴的上方，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴抛物线与直线y＝a有两个交点，‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；‎ ‎∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），‎ ‎∴4a+2b+c＝0，‎ ‎∵b＝﹣a，‎ ‎∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，‎ ‎∴﹣2a＝c，‎ ‎∵c＞1，‎ ‎∴﹣2a＞1，‎ ‎∴a＜﹣，故③正确，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎4. （2020•新疆维吾尔自治区新疆生产建设兵团•5分）二次函数的图像如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．‎ ‎【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∵对称轴为直线＞0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵与y轴的正半轴相交，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴y=ax+b的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，‎ 反比例函数图象在第一、三象限，‎ ‎∴只有D选项的图像符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出A.B.c的情况是解题的关键．‎ ‎5.（2020•江西省•3分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 将抛物线配方可得，∴对称轴为直线，抛物线与轴的两个交点坐标分别为，∴B（3，0）与轴交点，∴OA=3，OB=4‎ 根据平移的规律可得且，∴，代入抛物线可得，直线AB的解析式为，根据∥可得直线的解析式为，再将代入可得，∴直线的解析式为，故选B ‎6.（2020•四川省达州市•3分）如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2+bx+c交于A.B两点，则y＝ax2+（b﹣k）x+c的图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意和题目中给出的函数图象，可以得到函数y＝ax2+（b﹣k）x+c的大致图象，从而可以解答本题．‎ 解：设y＝y2﹣y1，‎ ‎∵y1＝kx，y2＝ax2+bx+c，‎ ‎∴y＝ax2+（b﹣k）x+c，‎ 由图象可知，在点A和点B之间，y＞0，在点A的左侧或点B的右侧，y＜0，‎ 故选项B符合题意，选项A.C.D不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎7. （2020•陕西•3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．‎ ‎【解答】解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，‎ ‎∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），‎ ‎∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），‎ ‎∵m＞1，‎ ‎∴m﹣1＞0，‎ ‎∴＞0，‎ ‎∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，‎ ‎∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．‎ ‎8. （2020•四川省成都市•3分）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）‎ A. 图象的对称轴在轴的右侧 B. 图象与轴的交点坐标为 C. 图象与轴的交点坐标为和 D. 的最小值为－9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线：x=-1，在y轴的左侧，故选项A错误；‎ 令x=0，则y=-8，所以图象与轴的交点坐标为，故选项B错误；‎ 令y=0，则，解得x1=2，x2=-4，图象与轴交点坐标为和，故选项C错误；‎ ‎∵，a=1＞0，所以函数有最小值-9，故选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．‎ ‎9. （2020•四川省甘孜州•3分）如图，二次函数的图象与轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ）‎ A. B. 图象的对称轴为直线 C. 点B的坐标为 D. 当时，y随x的增大而增大 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可．‎ ‎【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所以a<0，故A选项正确；‎ 因为二次函数的解析式为，‎ 所以图象的对称轴为直线，故B选项正确；‎ 因为二次函数的对称轴为直线，A，B两点是抛物线与x轴的交点，‎ 所以A，B两点到对称轴的距离相等，‎ 设B点坐标为（b，0），则有b-(-1)=(-1)-(-3)，‎ 解得b=1，‎ 所以B点坐标为（-1，0）.‎ 故C选项正确；‎ 由图形可知当x-1时，y随x的增大而增大，当-1

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