2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题30 圆的有关性质

2020全国中考数学试卷分类汇编(2)专题30 圆的有关性质

圆的有关性质 ‎ 一.选择题 ‎1.（2020•辽宁省营口市•3分）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．110° B．130° C．140° D．160°‎ ‎【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．‎ ‎【解答】解：如图，连接BC，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，‎ ‎∵∠B+∠ADC＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．‎ 故选：B．‎ ‎2. (2020•山东省青岛市•3分)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为(　　)‎ A．99° B．108° C．110° D．117°‎ ‎【分析】根据圆周角定理得到∠BAD＝90°，∠DAC＝∠COD＝63°，再由＝得到∠B＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质计算∠AGB的度数．‎ ‎【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∵＝，∴∠B＝∠D＝45°，‎ ‎∵∠DAC＝∠COD＝×126°＝63°，∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝63°+45°＝108°．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎3. (2020•山东省泰安市•4分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直径，AD＝8，则AC的长为(　　)‎ A．4 B．4 C． D．2‎ ‎【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根据圆内接四边形的性质得到∠D＝180°－∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°－30°－30°＝120°，∴∠D＝180°－∠B＝60°，∴∠CAD＝30°，∵AD是直径，∴∠ACD＝90°，∵AD＝8，∴CD＝AD＝4，∴AC＝＝＝4，故选B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎4. (2020•山东省潍坊市•3分)如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为(　　)‎ A． B． C．1 D．【分析】延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线份线段成比例分别求出CD，PO的长即可．【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．‎ ‎∵CD⊥OB，∴∠DCB＝90°，又∠AOB＝90°，∴∠DCB＝∠AOB∴CD∥AO ‎∴，∵OC＝2，OB＝4，∴BC＝2，∴，解得，CD＝；∵CD∥AO，‎ ‎∴，即，解得，PO＝，故选B．‎ ‎【点评】此题主要考查了轴对称－－－最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．‎ ‎5.（2020•广东省广州市•3分）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．‎ ‎【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，‎ 由垂径定理得：，‎ ‎∵⊙O的直径为，‎ ‎∴，‎ 在中，由勾股定理得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴油的最大深度为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．‎ ‎6. （2020•四川省达州市•3分）如图，在半径为5的⊙O中，将劣弧AB沿弦AB翻折，使折叠后的恰好与OA.OB相切，则劣弧AB的长为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎【分析】作O点关于AB的对称点O′，连接O′A.O′B，如图，利用对称的性质得到OA＝OB＝O′A＝O′B，则可判断四边形OAO′B为菱形，再根据切线的性质得到O′A⊥OA，O′B⊥OB，则可判断四边形OAO′B为正方形，然后根据弧长公式求解．‎ 解：如图，作O点关于AB的对称点O′，连接O′A.O′B，‎ ‎∵OA＝OB＝O′A＝O′B，‎ ‎∴四边形OAO′B为菱形，‎ ‎∵折叠后的与OA.OB相切，‎ ‎∴O′A⊥OA，O′B⊥OB，‎ ‎∴四边形OAO′B为正方形，‎ ‎∴∠AOB＝90°，‎ ‎∴劣弧AB的长＝＝π．‎ 故选：B．‎ ‎7. （2020•陕西•3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）‎ A．55° B．65° C．60° D．75°‎ ‎【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：连接CD，‎ ‎∵∠A＝50°，‎ ‎∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，‎ ‎∵E是边BC的中点，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．‎ ‎8. （2020•山东临沂市•3分）如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为上任意一点．则∠CED的大小可能是（　　）‎ A．10° B．20° C．30° D．40°‎ ‎【分析】连接OD.OE，设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DEO和∠CEO，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：连接OD.OE，‎ ‎∵OC＝OA，‎ ‎∴△OAC是等腰三角形，‎ ‎∵点D为弦的中点，‎ ‎∴∠DOC＝40°，∠BOC＝100°，‎ 设∠BOE＝x，则∠COE＝100°﹣x，∠DOE＝100°﹣x+40°，‎ ‎∵OC＝OE，∠COE＝100°﹣x，‎ ‎∴∠OEC＝∠OCE＝40°+x，‎ ‎∵OD＜OE，∠DOE＝100°﹣x+40°＝140°﹣x，‎ ‎∴∠OED＜20°+x，‎ ‎∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＞（40°+x）﹣（20°+x）＝20°，‎ ‎∵∠CED＜∠ABC＝40°，‎ ‎∴20°＜∠CED＜40°‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识点，能求出∠OEC和∠OED的度数是解此题的关键．‎ ‎9. （2020•福建省•4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎【分析】求出＝＝，根据圆周角∠BDC的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵A为中点，‎ ‎∴═，‎ ‎∵AB＝CD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∵圆周角∠BDC＝60°，‎ ‎∴∠BDC对的的度数是2×60°＝120°，‎ ‎∴的度数是（360°﹣120°）＝80°，‎ ‎∴对的圆周角∠ADB的度数是，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出＝＝是解此题的关键．‎ ‎10. （2020•四川省凉山州•4分）下列命题是真命题的是（　　）‎ A．顶点在圆上的角叫圆周角 ‎ B．三点确定一个圆 ‎ C．圆的切线垂直于半径 ‎ D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 ‎【分析】根据圆周角定理、圆的条件、三角形内心以及切线的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：A.顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；‎ B.不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；‎ C.圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；‎ D.三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．‎ ‎11. （2020•四川省泸州市•3分）如图，⊙O中，＝，∠ABC＝70°．则∠BOC的度数为（　　）‎ A．100° B．90° C．80° D．70°‎ ‎【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，再利用三角形内角和计算出∠A＝40°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．‎ ‎【解答】解：∵＝，‎ ‎∴∠ABC＝∠ACB＝70°，‎ ‎∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，‎ ‎∴∠BOC＝2∠A＝80°．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎12. （2020•四川省内江市•3分）如图，点A.B.C.D在⊙O上，∠AOC＝120°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．60°‎ ‎【分析】连接OB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOB＝∠COB＝∠‎ AOC＝60°，然后根据圆周角定理得到∠D的度数．‎ ‎【解答】解：连接OB，如图，‎ ‎∵点B是的中点，‎ ‎∴∠AOB＝∠COB＝∠AOC＝×120°＝60°，‎ ‎∴∠D＝∠AOB＝30°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ 二.填空题 ‎1.（2020•广东省•4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如题17图，∠ABC=90°，点M、N分别在射线BA.BC上，MN长度始终不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA.BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为_________________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 点B到点E的距离不变，点E在以B为圆心的圆上，线段BD与圆的交点即为所求最短距离的E点，BD=，BE=2‎ ‎【考点】直角三角形的性质、数学建模思想、最短距离问题 ‎2.（2020•广东省•8分）如题22图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，CO平分∠BCD．‎ ‎（1）求证：直线CD与⊙O相切；‎ ‎（2）如题22﹣2图，记（1）中的切点为E，P为优弧上一点，AD=1，BC=2，求tan∠APE的值．‎ E ‎【答案】‎ （1） 证明：过点O作OE⊥CD交于点E ‎∵AD∥BC，∠DAB=90°‎ ‎∴∠OBC=90°即OB⊥BC ‎∵OE⊥CD，OB⊥BC，CO平分∠BCD ‎∴OB=OE ‎∵AB是⊙O的直径 ‎∴OE是⊙O的半径 ‎∴直线CD与⊙O相切 ‎（2）连接OD.OE ‎∵由（1）得，直线CD.AD.BC与⊙O相切 ‎∴由切线长定理可得AD=DE=1，BC=CE=3，‎ ‎∠ADO=∠EDO，∠BCO=∠ECO ‎∴∠AOD=∠EOD，CD=3‎ ‎∵= ‎∴∠APE=∠AOE=∠AOD ‎∵AD∥BC ‎∴∠ADE+∠BCE=180°‎ ‎∴∠EDO+∠ECO=90°即∠DOC=90°‎ ‎∵OE⊥DC，∠ODE=∠CDO ‎∴△ODE∽△CDO ‎∴即 ‎∴OD=‎ ‎∵在Rt△AOD中，AO=‎ ‎∴tan∠AOD==‎ ‎∴tan∠APE=‎ ‎【解析】无切点作垂直证半径，切线长定理，直角三角形的判定，相似三角形的运用、辅助线的作法 ‎【考点】切线的判定、切线长定理、圆周角定理、相似三角形、三角函数 ‎3. （2020•四川省成都市•4分）如图，，，是上的三个点，，，则的度数为_________．‎ ‎【答案】30°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的基本性质以及圆周角定理，分别求出∠OCB=55°，∠ACB=∠AOB=25°，即可求出∠OCA=30°，再求出∠A即可．‎ ‎【详解】解：∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠OCB=55°，‎ ‎∵∠AOB=50°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=25°，‎ ‎∴∠OCA=∠OCB-∠AOB=55°-25°=30°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠A=∠OCA=30°，‎ 故答案为：30°．‎ ‎【点睛】本题考查了圆的基本性质以及圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质以及圆周角定理．‎ ‎4. （2020•四川省甘孜州•4分）如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．‎ ‎【详解】连接OC，‎ Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；‎ 由勾股定理，得：OH=；‎ 即线段OH的长为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．‎ ‎5. （2020•山东济宁市•3分）如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可．‎ ‎【详解】解：连结，如图，设的半径为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 而，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 即OB=4.‎ 故答案为：4.‎ ‎【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．‎ ‎6.（2020•山东聊城市•3分）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在上，则∠ADC的度数是　60°　．‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180°，即可得出∠D+∠AOC＝180°，根据圆周角定理得出3∠D＝180°，即可求得∠ADC＝60°．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，‎ ‎∴∠B+∠D＝180°，‎ ‎∵四边形OABC为菱形，‎ ‎∴∠B＝∠AOC，‎ ‎∴∠D+∠AOC＝180°，‎ ‎∵∠AOC＝2∠D，‎ ‎∴3∠D＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝60°，‎ 故答案为60°．‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，菱形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎ ‎7. （2020•四川省南充市•4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，将△ABC绕点C旋转到△EDC，点E在⊙上，已知AE=2，tanD=3，则AB=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过C作CH⊥AE于H点，由旋转性质可得，根据三角函数可求得AC，BC长度，进而通过解直角三角形即可求得AB长度．‎ ‎【详解】解：过C作CH⊥AE于H点，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴，‎ 由旋转可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴tanD=tan∠AEC=CH∶EH=3，AE=2，‎ ‎∴HE=1，CH=3，‎ ‎∴AC=CE=，‎ ‎∵tanD=tan∠ABC=AC∶BC=3，‎ ‎∴BC=，‎ ‎∴AB=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查图形的旋转，圆的性质以及直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．‎ 三.解答题 ‎1. （2020•山东淄博市•9分）如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的半径为R，AF＝h．‎ ‎（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：AB•AC＝2R•h；‎ ‎（3）设∠BAC＝2α，求的值（用含α的代数式表示）．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得＝，由垂径定理可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；‎ ‎（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论；‎ ‎（3）由“HL”可证Rt△DQB≌Rt△DPC，Rt△DQA≌Rt△DPA，可得BQ＝CP，AQ＝AP，可得AB+AC＝2AQ，由锐角三角函数可得AD＝，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接OD，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴＝，‎ 又∵OD是半径，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴OD⊥MN，‎ ‎∴MN是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，‎ ‎∵AH是直径，‎ ‎∴∠ABH＝90°＝∠AFC，‎ 又∵∠AHB＝∠ACF，‎ ‎∴△ACF∽△AHB，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB•AC＝AF•AH＝2R•h；‎ ‎（3）如图3，过点D作DQ⊥AB于Q，DP⊥AC，交AC延长线于P，连接CD，‎ ‎∵∠BAC＝2α，AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD＝α，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∵∠BAD＝∠CAD，DQ⊥AB，DP⊥AC，‎ ‎∴DQ＝DP，‎ ‎∴Rt△DQB≌Rt△DPC（HL），‎ ‎∴BQ＝CP，‎ ‎∵DQ＝DP，AD＝AD，‎ ‎∴Rt△DQA≌Rt△DPA（HL），‎ ‎∴AQ＝AP，‎ ‎∴AB+AC＝AQ+BQ+AC＝2AQ，‎ ‎∵cos∠BAD＝，‎ ‎∴AD＝，‎ ‎∴＝＝2cosα．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．‎ ‎2. （2020•四川省成都市•10分）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．‎ ‎（1）求证：是⊙O的切线；‎ ‎（2）若，，求⊙O的半径；‎ ‎（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；‎ ‎（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；‎ ‎（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．‎ ‎【详解】解：（1）如图，连接OD，‎ ‎∵⊙O与边AB相切于点D，‎ ‎∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，‎ ‎∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，‎ ‎∴△ACO≌△ADO（SSS），‎ ‎∴∠ADO=∠ACO=90°，‎ 又∵OC是半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，tanB==，‎ ‎∴设AC=4x，BC=3x，‎ ‎∵AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴16x2+9x2=100，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴BC=6，‎ ‎∵AC=AD=8，AB=10，‎ ‎∴BD=2，‎ ‎∵OB2=OD2+BD2，‎ ‎∴（6-OC）2=OC2+4，‎ ‎∴OC=，‎ 故⊙O的半径为；‎ ‎（3）连接OD，DE，‎ 由（1）可知：△ACO≌△ADO，‎ ‎∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，‎ 又∵CO=DO，OE=OE，‎ ‎∴△COE≌△DOE（SAS），‎ ‎∴∠OCE=∠ODE，‎ ‎∵OC=OE=OD，‎ ‎∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，‎ ‎∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，‎ ‎∵点F是AB中点，∠ACB=90°，‎ ‎∴CF=BF=AF，‎ ‎∴∠FCB=∠FBC，‎ ‎∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，‎ ‎∴∠DEF=∠DFE，‎ ‎∴DE=DF=CE，‎ ‎∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．‎ ‎【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．‎ ‎3. （2020•四川省甘孜州•10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求CD的长．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OC，根据切线性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得．‎ ‎(2)连接BC，通过证明△ADC△ACB，可求出AD的长，再在Rt△ADC中，通过勾股定理可求出CD的长.‎ ‎【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，‎ ‎ ，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD．‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACO．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠CAB=∠ACO，‎ ‎∴∠DAC=∠CAB.‎ ‎(2)如图，连接BC ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°.‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠ADC=90°.‎ ‎∴∠ADC=∠ACB.‎ 由（1）知∠DAC=∠CAB，‎ ‎∴△ADC△ACB.‎ ‎∴‎ ‎∵，，则可设AD=2x，AB=3x，x>0，‎ ‎∴.‎ 解得x=2‎ ‎∴AD=4.‎ 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.‎ ‎【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．‎