2020全国中考数学试卷分类汇编专题31 点直线与圆的位置关系

2020全国中考数学试卷分类汇编专题31 点直线与圆的位置关系

点直线与圆的位置关系 ‎ 一.选择题 ‎1. (2020•山东省泰安市•4分)如图，PA是⊙O的切线，点A为切点，OP交⊙O于点B，∠P＝10°，点C在⊙O上，OC∥AB．则∠BAC等于(　　)‎ A．20° B．25° C．30° D．50°‎ ‎【分析】连接OA，根据切线的性质得到∠PAO＝90°，求出∠AOP，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出∠BOC，根据圆周角定理解答即可．‎ ‎【解答】解：连接OA，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∴∠PAO＝90°，∴∠AOP＝90°－∠P＝80°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝50°，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠OBA＝50°，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝25°，故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．‎ 二.填空题 ‎1. (2020•山东省枣庄市•4分)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C．连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝　 　．‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP＝54°，结合圆周角定理得出答案．‎ ‎【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝36°，∴∠AOP＝54°，‎ ‎∴∠B＝∠AOP＝27°．故答案为27°．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．‎ ‎2．（2020年山东省滨州市3分）在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．15‎ ‎【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：∵直径AB＝15，‎ ‎∴BO＝7.5，‎ ‎∵OC：OB＝3：5，‎ ‎∴CO＝4.5，‎ ‎∴DC＝＝6，‎ ‎∴DE＝2DC＝12．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理，正确得出CO的长是解题关键．‎ ‎3．（2020年山东省滨州市5分）如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E.F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为　　．‎ ‎【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．‎ ‎【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，‎ ‎∴AE＝AB，EG＝BC；‎ 根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．‎ ‎∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，‎ ‎∴sin∠MFG＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．‎ ‎4.（2020•甘肃省天水市•4分）如图所示，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接、，若，则的度数为(　　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．‎ ‎【详解】连接OA.OB，‎ ‎∵PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP=∠OBP=90°，‎ ‎∵∠P=70°，‎ ‎∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=×110°=55°．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．‎ ‎4.2020年内蒙古通辽市.如图，分别与相切于两点，，则(　　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接OA.OB，根据切线的性质定理，结合四边形AOBP的内角和为360°，即可推出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理，即可推出∠C的度数．‎ ‎【详解】解：连接OA.OB，‎ ‎∵直线PA.PB分别与⊙O相切于点A.B，‎ ‎∴OA⊥PA，OB⊥PB，‎ ‎∵∠P=72°，‎ ‎∴∠AOB=108°，‎ ‎∵C是⊙O上一点，‎ ‎∴∠ACB=54°．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，关键在于熟练运用切线的性质，通过作辅助线构建四边形，最后通过圆周角定理即可推出结果．‎ 二、填空题 ‎ 1. 2020年青海省已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．‎ ‎【答案】7或1．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．‎ ‎【详解】解：分两种情况考虑：‎ 当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，‎ 过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，‎ ‎∵AB∥CD，∴OE⊥AB，‎ ‎∴E.F分别为CD.AB的中点，‎ ‎∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，‎ 在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，‎ 根据勾股定理得：OF=3cm，‎ 在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，‎ 根据勾股定理得：OE═4cm，‎ 则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；‎ 当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，‎ 同理可得EF=4cm+3cm=7cm，‎ 综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．‎ 故答案为：7或1．‎ ‎【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．‎ 三、解答题 ‎1.（2020•宁夏省•8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接DE，若∠A＝30°，求．‎ ‎【分析】（1）连接OE，证明OE∥BC，得∠AEO＝∠B＝90°，即可得出结论；‎ ‎（2）连接DE，先证明△DCE∽△ECB，得出＝，易证∠ACB＝60°，由角平分线定义得∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，由此可得的值，即可得出结果．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：‎ ‎∵CE平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACE＝∠BCE，‎ 又∵OE＝OC，‎ ‎∴∠ACE＝∠OEC，‎ ‎∴∠BCE＝∠OEC，‎ ‎∴OE∥BC，‎ ‎∴∠AEO＝∠B，‎ 又∵∠B＝90°，‎ ‎∴∠AEO＝90°，‎ 即OE⊥AE，‎ ‎∵OE为⊙O的半径，‎ ‎∴AE是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接DE，如图2所示：‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DEC＝90°，‎ ‎∴∠DEC＝∠B，‎ 又∵∠DCE＝∠ECB，‎ ‎∴△DCE∽△ECB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵∠A＝30°，∠B＝90°，‎ ‎∴∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠DCE＝∠ACB＝×60°＝30°，‎ ‎∴＝cos∠DCE＝cos30°＝，‎ ‎∴＝．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识；结合题意灵活运用知识点是解题关键．‎ ‎2.（2020•内蒙古包头市•10分）如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交于点G，连接，已知的半径为3，，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值及的长．‎ ‎【答案】（1）AE=2；（2）CG=，cos∠CAG=‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，证明四边形AOHE是矩形得到EH=OA=3，求得，即可得到AE；‎ ‎(2)先证明△ADE∽△OCD求得AD=1.2，OD=1.8，根据求得BF=2，CF=，连接BG，证明△AFC∽△GFB，得到，求得，即可得到CG=CF+GF=，设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，求得NG=，即可得到cos∠CAG=cos∠CNG=.‎ ‎【详解】(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，‎ ‎∵直线l为的切线，A是切点，‎ ‎∴OA⊥AE，‎ ‎∵OC⊥AB，‎ ‎∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，‎ ‎∴四边形AOHE是矩形，‎ ‎∴EH=OA=3，AE=OH，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AE=OH=CH-OC=2；‎ ‎(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，‎ ‎∴OC∥AE，‎ ‎∴△ADE∽△OCD，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD=1.2，OD=1.8，‎ ‎∵，‎ ‎∴BF=2，‎ ‎∴OF=1，‎ ‎∴AF=4，CF=，‎ 连接BG，‎ ‎∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，‎ ‎∴△AFC∽△GFB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴CG=CF+GF=，‎ 设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，‎ 在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG=，‎ ‎∴NG=，‎ ‎∴cos∠CAG=cos∠CNG=.‎ ‎【点睛】此题考查矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，圆切线的性质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.‎ ‎3.（2020•辽宁省营口市•12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．‎ ‎【考点】KF：角平分线的性质；M2：垂径定理；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．‎ ‎【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴OC⊥BC，‎ ‎∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，‎ ‎∴OH＝OC，‎ 即OH为⊙O的半径，‎ ‎∵OH⊥AB，‎ ‎∴AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，‎ 在Rt△AOH中，∵tanA＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AH＝4x，‎ ‎∴AO＝＝＝5x，‎ ‎∵AD＝2，‎ ‎∴AO＝OD+AD＝3x+2，‎ ‎∴3x+2＝5x，‎ ‎∴x＝1，‎ ‎∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，‎ ‎∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，‎ 在Rt△ABC中，∵tanA＝，‎ ‎∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，‎ ‎∴OB＝＝＝3．‎ ‎3. （12分2020年辽宁省辽阳市）如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．‎ ‎（1）求证：DE与⊙A相切；‎ ‎（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，求得∠DAE＝∠AEB，根据全等三角形的性质得到∠DEA＝∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；‎ ‎（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE＝BE，∠EAB＝60°，得到∠CAE＝∠ACB，得到CE＝BE，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AE，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠AEB，‎ ‎∵AE＝AB，‎ ‎∴∠AEB＝∠ABC，‎ ‎∴∠DAE＝∠ABC，‎ ‎∴△AED≌△BAC（AAS），‎ ‎∴∠DEA＝∠CAB，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠DEA＝90°，‎ ‎∴DE⊥AE，‎ ‎∵AE是⊙A的半径，‎ ‎∴DE与⊙A相切；‎ ‎（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴AE＝BE，∠EAB＝60°，‎ ‎∵∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴∠CAE＝∠ACB，‎ ‎∴AE＝CE，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，‎ ‎∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，‎ ‎∵∠CAE＝30°，AE＝4，‎ ‎∴S扇形AEF＝＝＝，‎ ‎∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．‎ ‎4. 2020年内蒙古通辽市如图，的直径交弦(不是直径)于点P，且．求证：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接AC和BD，证明△PAC∽△PDB，得到，再根据得到，从而得到PC=PD，根据垂径定理得出结果.‎ ‎【详解】解：连接AC和BD，‎ 在△PAC和△PBD中，‎ ‎∠A=∠D，∠C=∠B，‎ ‎∴△PAC∽△PDB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴PC=PD，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴AB⊥CD.‎ ‎【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，解题的关键是证明△PAC∽△PDB，得到.‎ ‎5. 2020年青海省如图，已知AB是的直径，直线BC与相切于点B，过点A作AD//OC交于点D，连接CD．‎ ‎（1）求证：CD是的切线．‎ ‎（2）若，直径，求线段BC的长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，又根据平行线的性质可得，从而可得，再根据圆的切线的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；‎ ‎（2）如图（见解析），先根据圆周角定理得出，再根据勾股定理可得BD的长，然后根据相似三角形的判定与性质即可得．‎ ‎【详解】（1）如图，连接OD，则 直线BC与相切于点B 在和中，‎ 又是的半径 是的切线；‎ ‎（2）如图，连接BD 由圆周角定理得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 在和中，‎ ‎，即 解得．‎ ‎【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．‎ ‎6．（2020年山东省滨州市13分）如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，过⊙O上一点E作直线DC，分别交AM、BN于点D.C，且DA＝DE．‎ ‎（1）求证：直线CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：OA2＝DE•CE．‎ ‎【分析】（1）连接OD，OE，证明△OAD≌△OED，得∠OAD＝∠OED＝90°，进而得CD是切线；‎ ‎（2）过D作DF⊥BC于点F，得四边形ABFD为矩形，得DF＝20A，再证明CF＝CE﹣DE，进而根据勾股定理得结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OD，OE，如图1，‎ 在△OAD和△OED中，‎ ‎，‎ ‎∴△OAD≌△OED（SSS），‎ ‎∴∠OAD＝∠OED，‎ ‎∵AM是⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAD＝90°，‎ ‎∴∠OED＝90°，‎ ‎∴直线CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）过D作DF⊥BC于点F，如图2，则∠DFB＝∠RFC＝90°，‎ ‎∵AM、BN都是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABF＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴四边形ABFD是矩形，‎ ‎∴DF＝AB＝2OA，AD＝BF，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴DE＝DA，CE＝CB，‎ ‎∴CF＝CB﹣BF＝CE﹣DE，‎ ‎∵DE2＝CD2﹣CF2，‎ ‎∴4OA2＝（CE+DE）2﹣（CE﹣DE）2，‎ 即4OA2＝4DE•CE，‎ ‎∴OA2＝DE•CE．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，关键是正确作辅助线构造全等三角形与直角三角形．‎ ‎7.（2020山东省德州市12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．‎ ‎（1）求证：直线DH是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论；‎ ‎（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC＝＝8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，‎ ‎∴∠AOD＝AOB＝90°，‎ ‎∵DH∥AB，‎ ‎∴∠ODH＝90°，‎ ‎∴OD⊥DH，‎ ‎∴直线DH是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接CD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝∠ACB＝90°，‎ ‎∵点D是半圆AB的中点，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AD＝DB，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∵AB＝10，‎ ‎∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，‎ ‎∵AB＝10，BC＝6，‎ ‎∴AC＝＝8，‎ ‎∵四边形ABCD是圆内接四边形，‎ ‎∴∠CAD+∠CBD＝180°，‎ ‎∵∠DBH+∠CBD＝180°，‎ ‎∴∠CAD＝∠DBH，‎ 由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，‎ ‎∴∠ACD＝45°，‎ ‎∵DH∥AB，‎ ‎∴∠BDH＝∠OBD＝45°，‎ ‎∴∠ACD＝∠BDH，‎ ‎∴△ACD∽△BDH，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝，‎ 解得：BH＝．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎8. （2020•四川省甘孜州•10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求CD的长．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OC，根据切线性质，判断出AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得．‎ ‎(2)连接BC，通过证明△ADC△ACB，可求出AD的长，再在Rt△ADC中，通过勾股定理可求出CD的长.‎ ‎【详解】解：（1）证明：如图，连接OC，‎ ‎ ，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，‎ ‎∴OC⊥CD．‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴AD∥OC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACO．‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠CAB=∠ACO，‎ ‎∴∠DAC=∠CAB.‎ ‎(2)如图，连接BC ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB=90°.‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠ADC=90°.‎ ‎∴∠ADC=∠ACB.‎ 由（1）知∠DAC=∠CAB，‎ ‎∴△ADC△ACB.‎ ‎∴‎ ‎∵，，则可设AD=2x，AB=3x，x>0，‎ ‎∴.‎ 解得x=2‎ ‎∴AD=4.‎ 在Rt△ADC中，由勾股定理，得CD==.‎ ‎【点睛】此题主要考查了切线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．‎ ‎9. （2020•甘肃省天水市•8分）如图，在中，，平分交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交、于点、．‎ ‎（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若，，求阴影部分的面积(结果保留)．‎ ‎【答案】（1）与相切，理由见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；‎ ‎（2）根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．‎ ‎【详解】解：（1）与相切．理由如下：‎ 如图，连接．‎ ‎∵平分，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 又∵为的半径，‎ ‎∴与相切．‎ ‎（2）设的半径为，则，，‎ 由（1）知，在中，，‎ 即，解得．‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．‎ ‎10.（2020•福建省•8分）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O于点D，E是上不与B，D重合的点，sinA＝．‎ ‎（1）求∠BED的大小；‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝3，求证：DF与⊙O相切．‎ ‎【分析】（1）连接OB，由切线求出∠ABO的度数，再由三角函数求出∠A，由三角形的外角性质求得∠BOD，最后由圆周解与圆心角的关系求得结果；‎ ‎（2）连接OF，OB，证明△BOF≌△DOF，得∠ODF＝∠OBF＝90°，便可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OB，如图1，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点B，‎ ‎∴∠ABO＝90°，‎ ‎∵sinA＝，‎ ‎∴∠A＝30°，‎ ‎∴∠BOD＝∠ABO+∠A＝120°，‎ ‎∴∠BED＝∠BOD＝60°；‎ ‎（2）连接OF，OB，如图2，‎ ‎∵AB是切线，‎ ‎∴∠OBF＝90°，‎ ‎∵BF＝3，OB＝3，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠BOF＝60°，‎ ‎∵∠BOD＝120°，‎ ‎∴∠BOF＝∠DOF＝60°，‎ 在△BOF和△DOF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BOF≌△DOF（SAS），‎ ‎∴∠OBF＝∠ODF＝90°，‎ ‎∴DF与⊙O相切．‎ ‎【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键是证明三角形全等．‎ ‎11.（2020•北京市•6分）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．‎ ‎（1）求证：∠ADC＝∠AOF；‎ ‎（2）若sinC＝，BD＝8，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；‎ ‎（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接OD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴AD⊥BD，‎ ‎∵OF⊥AD，‎ ‎∴OF∥BD，‎ ‎∴∠AOF＝∠B，‎ ‎∵CD是⊙O的切线，D为切点，‎ ‎∴∠CDO＝90°，‎ ‎∴∠CDA+∠ADO＝∠ADO+∠BDO＝90°，‎ ‎∴∠CDA＝∠BDO，‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴∠ODB＝∠B，‎ ‎∴∠AOF＝∠ADC；‎ ‎（2）∵OF∥BD，AO＝OB，‎ ‎∴AE＝DE，‎ ‎∴OE＝BD＝8＝4，‎ ‎∵sinC＝＝，‎ ‎∴设OD＝x，OC＝3x，‎ ‎∴OB＝x，‎ ‎∴CB＝4x，‎ ‎∵OF∥BD，‎ ‎∴△COF∽△CBD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OF＝6，‎ ‎∴EF＝OF﹣OE＝6﹣4＝2．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎12.（2020•安徽省•10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．‎ ‎（1）求证：△CBA≌△DAB；‎ ‎（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝90°，‎ 在Rt△CBA与Rt△DAB中，，‎ ‎∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；‎ ‎（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，‎ ‎∴∠E＝∠BFE，‎ ‎∵BE是半圆O所在圆的切线，‎ ‎∴∠ABE＝90°，‎ ‎∴∠E+∠BAE＝90°，‎ 由（1）知∠D＝90°，‎ ‎∴∠DAF+∠AFD＝90°，‎ ‎∵∠AFD＝∠BFE，‎ ‎∴∠AFD＝∠E，‎ ‎∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，‎ ‎∴∠DAF＝∠BAF，‎ ‎∴AC平分∠DAB．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎13.（2020•贵州省黔西南州•12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．‎ ‎【分析】（1）连接OD.DB，由已知可知DE垂直平分OB，则DB＝DO，再由圆的半径相等，可得DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，则∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，按照切线的判定定理可得结论；‎ ‎（2）连接OP，先由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用两组边成比例，夹角相等来证明△OEP∽△OPC，按照相似三角形的性质得出比例式，则可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）连接OD.DB，‎ ‎∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，‎ ‎∴DE垂直平分OB，‎ ‎∴DB＝DO．‎ ‎∵在⊙O中，DO＝OB，‎ ‎∴DB＝DO＝OB，‎ ‎∴△ODB是等边三角形，‎ ‎∴∠BDO＝∠DBO＝60°，‎ ‎∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，‎ ‎∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．‎ ‎∵∠DBO＝60°，‎ ‎∴∠CDB＝30°．‎ ‎∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）答：这个确定的值是．‎ 连接OP，如图：‎ 由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．‎ ‎∴＝＝，‎ 又∵∠COP＝∠POE，‎ ‎∴△OEP∽△OPC，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．‎ ‎13. （2020•四川省凉山州•8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．‎ ‎（1）求证：DH是半圆的切线；‎ ‎（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．‎ ‎【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DAO＝∠ADO，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠OAD，等量代换得到∠CAD＝∠ADO，求得AH∥OD，根据平行线的性质得到OD⊥DH，于是得到结论；‎ ‎（2）连接BC交OD于E，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，推出四边形CEDH是矩形，得到CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，‎ ‎∵OA＝OD，‎ ‎∴∠DAO＝∠ADO，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠ADO，‎ ‎∴AH∥OD，‎ ‎∵DH⊥AC，‎ ‎∴OD⊥DH，‎ ‎∴DH是半圆的切线；‎ ‎（2）解：连接BC交OD于E，‎ ‎∵AB是半圆AOB的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴四边形CEDH是矩形，‎ ‎∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BC＝2CE＝4，‎ ‎∵sin∠BAC＝＝，‎ ‎∴AB＝12，‎ 即半圆的直径为12．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，角平分线的定义，矩形的判定，垂径定理，作出辅助线构建直角三角形和矩形是解题的关键．‎ ‎14. （2020•四川省泸州市•12分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．‎ ‎（1）求证：∠C＝∠AGD；‎ ‎（2）已知BC＝6．CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，得到∠C＝∠ABD，根据圆周角定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：连接BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴∠DAB+∠DBA＝90°，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠C+∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠C＝∠ABD，‎ ‎∵∠AGD＝∠ABD，‎ ‎∴∠AGD＝∠C；‎ ‎（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，‎ ‎∴△ABC∽△BDC，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC＝9，‎ ‎∴AB＝＝3，‎ ‎∵CE＝2AE，‎ ‎∴AE＝3，CE＝6，‎ ‎∵FH⊥AB，‎ ‎∴FH∥BC，‎ ‎∴△AHE∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴AH＝，EH＝2，‎ 连接AF，BF，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°，‎ ‎∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠FAH＝90°，‎ ‎∴∠FAH＝∠BFH，‎ ‎∴△AFH∽△FBH，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴FH＝，‎ ‎∴EF＝﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎15. （2020•四川省南充市•10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC得延长线于点E，延长线ED交AB得延长线于点F．‎ ‎（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．‎ ‎（2）若DF=，求tan∠EAD的值．‎ ‎【答案】（1）直线与圆相切，证明详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO ‎，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；‎ ‎（2）根据勾股定理得到，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【详解】解：（1）直线与圆相切 理由如下：连接 ‎∵平分 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由，得 ‎∵点在圆上 ‎∴是圆的切线 ‎（2）由（1）可得，在中，，，‎ 由勾股定理得 ‎∵‎ ‎∴‎ 即，得，‎ ‎∴在中，‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，圆周角定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．‎ ‎16. （2020•四川省乐山市•10分）如图1，是半圆的直径，是一条弦，是上一点，于点，交于点，连结交于点，且．‎ ‎（1）求证：点平分；‎ ‎（2）如图2所示，延长至点，使，连结． 若点是线段的中点．求证：是⊙的切线．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，由是直径得，由同角的余角相等证明，由直角三角形斜边中线性质证明，进而得出，即得出结论；‎ ‎（2）由已知可知DE是OA.HB垂直平分线，可得，，从而，，再由即可证明，由此即可得出可能．‎ ‎【详解】证明：（1）连接、，如图3所示，‎ ‎ 图3‎ ‎∵是半圆的直径，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 又∵，即点是的斜边的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即点平分 ；‎ ‎（2）如图4所示，连接、，‎ 图4‎ ‎∵点是线段中点，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴是⊙的切线．‎ ‎【点睛】本题是圆的简单综合题目，考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的性质、直角三角形的性质知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质和判定是解题的关键．‎ ‎17. （2020•四川省内江市•10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥‎ BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4，求线段EF的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD＝BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB＝EC，证明△OCE≌△OBE（SSS），得出∠OBE＝∠OCE＝90°，根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；‎ ‎（2）设⊙O的半径为x，则OD＝x﹣2，OB＝x，由勾股定理得出（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，求出OE的长，则可求出EF的长；‎ ‎（3）由扇形的面积公式可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，如图，‎ ‎∵CE为切线，‎ ‎∴OC⊥CE，‎ ‎∴∠OCE＝90°，‎ ‎∵OD⊥BC，‎ ‎∴CD＝BD，‎ 即OD垂直平分BC，‎ ‎∴EC＝EB，‎ 在△OCE和△OBE中 ‎，‎ ‎∴△OCE≌△OBE（SSS），‎ ‎∴∠OBE＝∠OCE＝90°，‎ ‎∴OB⊥BE，‎ ‎∴BE与⊙O相切；‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为x，则OD＝OF﹣DF＝x﹣2，OB＝x，‎ 在Rt△OBD中，BD＝BC＝2，‎ ‎∵OD2+BD2＝OB2，‎ ‎∴（x﹣2）2+（2）2＝x2，解得x＝4，‎ ‎∴OD＝2，OB＝4，‎ ‎∴∠OBD＝30°，‎ ‎∴∠BOD＝60°，‎ ‎∴OE＝2OB＝8，‎ ‎∴EF＝OE﹣OF＝8﹣4＝4．‎ ‎（3）∵∠BOE＝60°，∠OBE＝90°，‎ ‎∴在Rt△OBE中，BE＝OB＝4，‎ ‎∴S阴影＝S四边形OBEC﹣S扇形OBC ‎＝2××4×4﹣，‎ ‎＝16﹣．‎ ‎【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．‎ ‎18. (2020•山东省威海市•9分)如图，△ABC的外角∠BAM的平分线与它的外接圆相交于点E，连接BE，CE，过点E作EF∥BC，交CM于点D．‎ 求证：(1)BE＝CE；(2)EF为⊙O的切线．‎ ‎【分析】(1)根据圆内接四边形的想知道的∠EAM＝∠EBC，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；‎ ‎(2)如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．‎ ‎【解答】证明：(1)∵四边形ACBE是圆内接四边形，∴∠EAM＝∠EBC，‎ ‎∵AE平分∠BAM，∴∠BAE＝∠EAM，∵∠BAE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠EAM，‎ ‎∴∠BCE＝∠EBC，∴BE＝CE；‎ ‎(2)如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，‎ ‎∵OB＝OC，EB＝EC，∴直线EO垂直平分BC，∴EH⊥BC，∴EH⊥EF，‎ ‎∵OE是⊙O的半径，∴EF为⊙O的切线．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎19. (2020•山东省潍坊市•10分)如图，AB为⊙O的直径，射线AD交⊙O于点F，点C 为劣弧的中点，过点C作CE⊥AD，垂足为E，连接AC．‎ ‎(1)求证：CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．‎ ‎【分析】(1)连接BF，证明BF∥CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论；‎ ‎(2)连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积．‎ ‎【解答】解：(1)连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，‎ ‎∵CE⊥AD，∴BF∥CE，‎ 连接OC，∵点C为劣弧的中点，∴OC⊥BF，∵BF∥CE，∴OC⊥CE，‎ ‎∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)连接OF，∵OA＝OC，∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，‎ ‎∵点C为劣弧的中点，∴，∴∠FOC＝∠BOC＝60°，‎ ‎∵AB＝4，∴FO＝OC＝OB＝2，∴S扇形FOC＝，‎ 即阴影部分的面积为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．‎ ‎20. (2020•山东省枣庄市•8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC.BC于点D.E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．‎ ‎(1)求证：BF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的直径为4，CF＝6，求tan∠CBF．‎ ‎【分析】(1)连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°，于是得到结论；‎ ‎(2)过C作CH⊥BF于H，根据勾股定理得到BF＝＝＝2，根据相似三角形的性质得到CH＝，根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】(1)证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．‎ ‎∵AB＝AC，∴2∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠1＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°‎ 即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线；‎ ‎(2)解：过C作CH⊥BF于H，∵AB＝AC，⊙O的直径为4，∴AC＝4，‎ ‎∵CF＝6，∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝2，‎ ‎∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，∴△CHF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴CH＝，‎ ‎∴HF＝＝＝，∴BH＝BF－HF＝2－＝，‎ ‎∴tan∠CBF＝＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、直角所对的圆周角是直角、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识点、正确的作出辅助线是解题的关键．‎