2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题35 尺规作图(含解析)

2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题35 尺规作图(含解析)

尺规作图 ‎ 一.选择题 ‎1. （2020年内蒙古通辽市3分）6.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功地找到三角形内心的是(　　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形内心的定义，三角形内心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图和选项进行判断．‎ ‎【详解】解：三角形内心为三个角的角平分线的交点，‎ 由基本作图得到B选项作了两个角的角平分线，‎ 而三角形三条角平分线交于一点，从而可用直尺成功找到三角形内心．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形的内心．‎ ‎2. （2020•湖北襄阳•3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（　　）‎ A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C ‎【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．‎ ‎【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，‎ ‎∵AD＝AD，‎ ‎∴△ADE≌△ADB（AAS），‎ ‎∴DB＝DE，AB＝AE，‎ ‎∵∠AED+∠B＝180°‎ ‎∴∠BAC+∠BDE＝180°，‎ ‎∵∠EDC+∠BDE＝180°，‎ ‎∴∠EDC＝∠BAC，‎ 故A，B，C正确，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎3（2020•贵州省贵阳市•3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　）‎ A．无法确定 B． C．1 D．2‎ ‎【分析】如图，过点G作GH⊥AB于H．根据角平分线的性质定理证明GH＝GC＝1，利用垂线段最短即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．‎ 由作图可知，GB平分∠ABC，‎ ‎∵GH⊥BA，GC⊥BC，‎ ‎∴GH＝GC＝1，‎ 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎4（2020•河北省•3分）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．‎ 如图2，步骤如下，‎ 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；‎ 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；‎ 第三步：画射线BP．射线BP即为所求．‎ 下列正确的是（　　）‎ A．a，b均无限制 B．a＞0，b＞DE的长 ‎ C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b＜DE的长 ‎【分析】根据角平分线的画法判断即可．‎ ‎【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于DE，否则没有交点，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎6.‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ 二.填空题 ‎1. （2020•江苏省苏州市•3分）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．‎ ‎【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，‎ 由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，‎ ‎∴OH⊥AB，AH=BH，‎ ‎∵，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∵，‎ ‎∴四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴AB=DE=12，‎ ‎∴AH=6，‎ ‎∴OH=，‎ ‎∵OB∙AG=AB∙OH，‎ ‎∴AG===，‎ ‎∴=．‎ 故答案是：．‎ ‎【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．‎ ‎2.（2020•湖南省郴州•3分）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．‎ ‎【详解】如图，连接DN，‎ 在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，‎ ‎∴BD=，‎ 根据作图过程可知：‎ MN是BD的垂直平分线，‎ ‎∴DN=BN，OB=OD=2，‎ ‎∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，‎ Rt△ADN中，根据勾股定理，得 DN2=AN2+AD2，‎ ‎∴DN2=（8-DN）2+42，‎ 解得DN=5，‎ 在Rt△DON中，根据勾股定理，得 ON=，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠MDO=∠NBO，‎ ‎∠DMO=∠BNO，‎ ‎∵OD=OB，‎ ‎∴△DMO≌△BNO（AAS），‎ ‎∴OM=ON=，‎ ‎∴MN=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．‎ http://www.czsx.com.cn ‎3 (2020•江苏省扬州市•3分)如图，在△ABC中，按以下步骤作图：‎ ‎①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E．‎ ‎②分别以点D，E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．‎ ‎③作射线BF交AC于点G．‎ 如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为　27　．‎ ‎【分析】过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM＝GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．‎ ‎【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥AC于点N，‎ 根据作图过程可知：BG是∠ABC的平分线，∴GM＝GN，‎ ‎∵△ABG的面积为18，∴AB×GM＝18，∴4GM＝18，∴GM＝，‎ ‎∴△CBG的面积为：BC×GN＝12×＝27．故答案为27．‎ ‎【点评】本题考查了作图－基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．‎ ‎4（2020年辽宁省辽阳市）16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为　5　．‎ ‎【分析】设BE＝AE＝x，在Rt△BEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，‎ ‎∴AE＝EB，‎ 设AE＝EB＝x，‎ ‎∵EC＝3，AC＝2BC，‎ ‎∴BC＝（x+3），‎ 在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2+EC2，‎ ‎∴x2＝32+[（x+3）]2，‎ 解得，x＝5或﹣3（舍弃），‎ ‎∴BE＝5，‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎ ‎ ‎5.‎ ‎6.‎ ‎7.‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎ 三.解答题 ‎1.（2020•黑龙江省哈尔滨市•7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以CD为边的等腰三角形CDG，点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10+．连接EG，请直接写出线段EG的长．‎ ‎【分析】（1）画出边长为的正方形即可．‎ ‎（2）画出两腰为10，底为的等腰三角形即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图，正方形ABEF即为所求．‎ ‎（2）如图，△CDG即为所求．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎2. （2020•湖北武汉•8分）在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：‎ ‎（1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD；‎ ‎（2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）；‎ ‎（3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法．‎ ‎【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B点的对称点D即可；‎ ‎（2）作出BC为边的正方形，找到以C点为一个顶点的对角线与AB的交点E即为所求；‎ ‎（3）利用网格特点，作出E点关于直线AC的对称点F即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求；‎ ‎（2）如图所示：∠BCE即为所求；‎ ‎（3）连接（5，0），（0，5），可得与AC的交点F，点F即为所求，如图所示：‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．‎ ‎3 （2020•湖南省长沙市·6分）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：‎ 已知：∠AOB．‎ 求作：∠AOB的平分线．‎ 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．‎ ‎（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．‎ ‎（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．‎ 请你根据提供的材料完成下面问题．‎ ‎（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是　①　．（填序号）‎ ‎①SSS②SAS③AAS④ASA ‎（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．‎ ‎【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出基本依据；‎ ‎（2）直接利用全等三角形的判定与与性质得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．‎ 故答案为：①‎ ‎（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，‎ 则在△OMC和△ONC中，‎ ‎，‎ ‎∴△OMC≌△ONC（SSS），‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC，‎ 即OC为∠AOB的平分线．‎ ‎【点评】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．‎ ‎4.（2020•湖北孝感•8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．‎ ‎（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为　（2，﹣4）　；‎ ‎（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE的值为　　；‎ ‎（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为　（0，4）　．‎ ‎【分析】（1）根据点A平移到点C，即可得到平移的方向和距离，进而画出平移后所得的线段CD；‎ ‎（2）根据线段AB绕点A逆时针旋转90°，即可画出旋转后所得的线段AE；‎ ‎（3）先作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于点F，依据两点之间，线段最短，即可得到此时△ABF的周长最小，根据待定系数法即可得出直线A'B的解析式，令x＝0，进而得到点F的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，线段CD即为所求，点D的坐标为（2，﹣4）；‎ ‎（2）如图所示，线段AE即为所求，cos∠BCE＝＝＝；‎ ‎（3）如图所示，点F即为所求，点F的坐标为（0，4）．‎ 故答案为：（2，﹣4）；；（0，4）．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用平移变换和旋转变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．‎ ‎5 (2020•江苏省泰州市•10分)如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．‎ ‎(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．(保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎(2)在(1)的条件下，若a≈2，A点的坐标为(3，1)，求P点的坐标．‎ ‎【分析】(1)根据角平分线的性质即可用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a；‎ ‎(2)在(1)的条件下，根据a≈2，A点的坐标为(3，1)，利用勾股定理即可求P点的坐标．‎ ‎【解答】解：(1)如图，点P即为所求；‎ ‎(2)由(1)可得OP是角平分线，设点P(x，x)，过点P作PE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，AD⊥PE于点D，∵PA＝a≈2，A点的坐标为(3，1)，∴PD＝x－1，AD＝x－3，根据勾股定理，得PA2＝PD2+AD2，∴(2)2＝(x－1)2+(x－3)2，解得x1＝5，x2＝－1(舍去)．所以P点的坐标为(5，5)．‎ ‎【点评】本题考查了作图－复杂作图、坐标与图形的性质、角平分线的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．‎ ‎6 (2020•江苏省无锡市•8分)如图，已知△ABC是锐角三角形(AC＜AB)．‎ ‎(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B.C两点的距离相等；设直线l与AB.BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB.BC相切；(不写作法，保留作图痕迹)‎ ‎(2)在(1)的条件下，若BM＝，BC＝2，则⊙O的半径为　　．‎ ‎【分析】(1)作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可．‎ ‎(2)过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，利用面积法构建方程求解即可．‎ ‎【解答】解：(1)如图直线l，⊙O即为所求．‎ ‎(2)过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，‎ ‎∵BM＝，BC＝2，MN垂直平分线段BC，∴BN＝CN＝1，‎ ‎∴MN＝＝＝，‎ ‎∵S△BNM＝S△BNO+S△BOM，∴×1×＝×1×r+××r，解得r＝．故答案为．‎ ‎【点评】本题考查作图－复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎7 (2020•江苏省盐城市•8分)如图，点O是正方形ABCD的中心．‎ ‎(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E(异于点O)，使得EB＝EC；(保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎(2)连接EB.EC.EO，求证：∠BEO＝∠CEO．‎ ‎【分析】(1)作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上(正方形内部异于点O)的点E即为所求；‎ ‎(2)根据等腰三角形的性质和角的和差关系即可求解．‎ ‎【解答】解：(1)如图所示，点E即为所求 ‎(2)证明：连结OB，OC，‎ ‎∵点O是正方形ABCD的中心，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，‎ ‎∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∴∠BEO＝∠CEO．‎ ‎【点评】本题考查了作图－复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．‎ ‎ ‎ ‎8.‎ ‎9.‎ ‎10.‎