- 2021-11-10 发布 |
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文档介绍
北师大版数学九年级上册同步课件-4第四章-4 探索三角形相似的条件
第四章 图形的相似 4.4 探索三角形相似的条件 第1课时 利用两角判定三角形相似 1.理解相似三角形的定义,掌握定义中的两个条件. 2.掌握相似三角形的判定定理1.(重点) 3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.(难点) 学习目标 问题1:这两个三角形有什么关系? 全等三角形 观察与思考: 那这样变化一下呢? 相似三角形 问题2: 相似多边形的定义是什么?根据相似多边形的定义, 你能说说什么叫相似三角形吗? 全等是一种特 殊的相似 定义 判定方法 全等三 角形 相似三 角形 三角、三边对应相等 的两个三角形全等 三角对应相等,三边对 应成比例的两个三角 形相似 角 边 角 A S A 角 角 边 A A S 边 边 边 S S S 边 角 边 S A S 斜 边 、 直 角 边 H L 问题3: 三角形全等的性质和判定方法有哪些? 需要三个 等量条件 思考: 全等是一种特殊的相似,那你猜想一下,判定两个 三角形相似需要几个条件? 问题: 观察学生与老师的直角三角板相似吗?测量一下, 得出你的猜想. 利用角的关系判定两个三角形相似1 这两三角形是相似的. 做一做:画△ABC,使∠A=30°,∠B=45°,再画△A′B′C′, 使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形的形状相同吗? 你能证明∠C=∠C′吗?量出这两个三角形的三边,计算对 应边是否对应成比例?由此你可以得出什么结论? 两角分别相等的两个三角形相似. 猜想:由以上的探究写出利用角判定两个三角形全等的条件. 已知:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′. 求证:△ABC∽△A′B′C′. B' A' D E C' B A C 证明猜想: 证明:在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上,分 别截取A′D=AB,A′E=AC,连结DE. ∵A′D=AB,∠A=∠A′,A′E=AC, ∴△A′DE≌ △ABC,∴∠A′DE=∠B. 又∵∠B′=∠B,∴∠A′DE=∠B′, ∴DE∥B′C′, ∴△A′DE∽△A′B′C′, ∴△A′B′C′∽△ABC. B' A' D E C' B A C 两角分别相等的两个三角形相似. A B C A' C' B' ★用数学符号表示: ∵ ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'. ★相似三角形的判定定理: 注意:对应点写在对应的位置. 如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,DE∥BC, AB=7,AD=5,DE=10,求BC的长. 解:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC (两角分别相等的两 个三角形相似), ∴BC=14. AD DE AB BC ∴ , B A D E C 例1 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB. 求证:△ADE∽△EFC. A E FB C D证明: ∵ DE∥BC,EF∥AB, ∴∠AED=∠C,∠A=∠FEC, ∴ △ADE∽△EFC(两角分别相等的 两个三角形相似). 例2 已知:如图,∠1=∠2=∠3, 求证:△ABC∽△ADE. 证明: ∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC , ∠DAE= ∠3+ ∠DAC, ∠1=∠3,∴ ∠BAC=∠DAE. ∵ ∠C=180°-∠2-∠DOC ,∠E=180°-∠3-∠AOE, 又∵ ∠DOC =∠AOE(对顶角相等), ∴ ∠C= ∠E. 在△ABC和△ ADE中 ∠BAC=∠DAE,∠C= ∠E, ∴ △ABC∽△ADE. 例3 1.在△ABC和△DEF中,∠A=40°,∠B=80 °,∠E=80 ° , ∠F=60 °.求证:△ABC∽△DEF. A FECB D 证明:∵ 在ΔABC中,∠A=40 ° ,∠B=80 ° , ∴ ∠C=180 °-∠A-∠B=180 °-40 °-80 °=60 °. ∵ 在ΔDEF中,∠E=80 °,∠F=60 °, ∴ ∠B=∠E,∠C=∠F, ∴ △ABC∽△DEF(两角对应相等,两三角形相似). 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,正方形EFCD的三个顶 点E、F、D分别在边AB、BC、AC上.已知AC=7.5,BC=5, 求正方形的边长. 解:∵四边形EFCD是正方形, ∴ED∥BC,ED=DC=FC=EF. ∵∠ADE=∠ACB=90°,∠AED=∠ABC, ∴△AED∽△ABC, AD ED AC BC , 7.5, 7.5 5 AC DC ED DC DC AC BC , ∴DE=3,即正方形的边长为3. 3.如图,在等边△ABC中,边长为10,点D在BC上, BD=6,∠ADE=60°,DE交AC于点E. (1)求证:△ABD∽△DCE. ∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE. 证明:∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,∴∠ADB+∠BAD=120°. 又∠ADE=60°,∴∠ADB+∠CDE=120°, (2)求CE的长. 6 10 4 解:∵△ABD∽△DCE, ∴△ABD∽△DCE, AB BD CD CE , 10 6 ,4 CE ∴CE=2.4. 利用两角判定三 角形相似 定理:两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理1的运用查看更多