中考数学专题复习练习:两圆公切线

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中考数学专题复习练习:两圆公切线

例 如图,半径分别为3、1的⊙O1与⊙O2外切,一直线分别切它们于A、B,又交O1O2于C.求:①切线AB长;②∠C的度数.‎ 分析:首先想到切线性质,故连结O1A、O2B,得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形,再用其性质.‎ 解:(1)连结O1A、O2B,作O2D∥BA交O1A于D.  ‎ 则得Rt△O2DO1和矩形ADO2B.  ‎ ‎∵ AD=O2B=1,  O1A=3  ‎ ‎∴O1D=3-1=2  ∵O1O2=3+1=4,‎ ‎ AB= O2D=.‎ ‎(2)由(1)知O1D=2,O1O2=4,∴∠C=∠DO2O1=30°‎ 说明:(1)求外公切线长,应用切线性质、构造三角形;(2)添加辅助线的方法. ‎ 例 如图,⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5,O1O2=15,内公切线AB交O1O2于C.  ‎ 求:①AB长;②sin∠ACO1的值.  ‎ 解:(1)连结O1A、O2B,‎ 作O1D∥AB交O2B延长线于D, ‎ 则得Rt△O1DO2,AO1DB是矩形,‎ ‎∵O1D=4,O2B=5,‎ ‎∴O2D=5+4=9      ‎ ‎∴AB= O1D=.‎ ‎(2)由(1)可知,sin∠ACO1= sin∠O2O1D=.‎ 说明:(1)求内公切线长;(2)构造三角形、矩形,应用勾股定理、三角函数;(3)此题还可以通过△AO1C∽△BO2C,求出O1A、O2B,在求得.‎ 例 (福州市,2002)已知:半径不等的⊙O1与⊙O2相切于点P,直线AB、CD都经过切点P,并且AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B两点,CD分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(点A、B、C、D、P互不重合),连结AC和BD.‎ ‎(1)请根据题意画出图形;‎ ‎(2)根据你所画的图形,写出一个与题设有关的正确结论,并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母).‎ M N 解:(1)如图所示.‎ ‎(2)第一个结论:AC∥BD.‎ 证明:过P作两圆的公切线MN,‎ ‎∴∠MPA=∠C,∠NPB=∠D.‎ ‎∵∠MPA=∠NPB,∴∠C=∠D,‎ ‎∴AC∥BD.‎ 第二个结论:△APC∽△BPD.‎ 证明:过P作两圆的公切线MN,∴∠MPA=∠C,∠NPB=∠D.‎ ‎∵∠MPA=∠NPB,∴∠C=∠D,又∠APC=∠BPD,∴△APC∽△BPD.‎ 第三个结论:O1、P、O2三点共线(或连心线O1O2必过切点P).‎ 证明:∵①圆是轴对称图形,②相切的两个圆也组成轴对称图形,③连心线O1O2是两个圆的对称轴,∴O1、P、O2三点共线(或连心线O1O2必过切点P)‎ 说明:①此题题型新颖,属于开放性题目,它源于教材P145练习第2题;②主要应用分类思想,作圆的公切线辅助线.‎ 例 已知:如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,过点P的直线交⊙O1于点D,交⊙O2于点E;DA与⊙O2相切,切点为C.‎ ‎ (1)求证:PC平分∠APD;‎ ‎ (2)若PE=3,PA=6,求PC的长.‎ 证明:(1)过P作两圆的公切线PT,‎ ‎∴∠TPC=∠4,∠3=∠D.‎ ‎∵∠4=∠D+∠5,∴∠2+∠3=∠D+∠5,∴∠2=∠5‎ 又DA与⊙O2相切于点C,‎ ‎∴∠5=∠1,∴∠1=∠2,即PC平分∠APD.‎ ‎(2)∵DA与⊙O2相切于点C,∴∠PCA=∠4.‎ 由(1)知∠1=∠2,∴△PCA∽△PEC.‎ ‎∴,即.∵PE=3,PA=6,∴,∴.‎ 说明:①此题主要应用:切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法;②此题得出∠1=∠2,在中考中是热点题目.‎ 典型例题五 例 已知半径分别为R和r()的两圆外切,它们的两条外公切线互相垂直,则等于( )‎ A. B. C. D.2‎ 解:连结(如图),则过点P且平分,过点作,则.‎ ‎,‎ ‎∴是等腰直角三角形.‎ ‎,故选C.‎ 说明:本题涉及的知识点较多,要认真审题,理清思路,解决问题.‎ 典型例题六 例 如图,⊙与⊙内切于点A,并且⊙的半径是⊙的直径,为⊙的半径交⊙于点C,AD是公切线,,则( )‎ A.50° B.40° C.25° D.20°‎ 解:∵是⊙的直径,‎ ‎,‎ 又∵,‎ ‎∴.‎ 又∵DA是两圆的公切线,和分别是⊙、⊙的弦切角,‎ 故选D.‎ 说明:利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键,要学以致用,温故而知新.‎ 典型例题七 例 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角,它们的圆心距是10cm,则外公切线长为________.‎ 解:如图连结、,过点A作,则cm,‎ 在Rt中,‎ ‎(cm),‎ 故应填cm.‎ 说明:公切线、两圆的半径之差(或和)和圆心距构成直角三角形,是解决这部分题的关键.‎ 典型例题八 例 已知:如图,设⊙、⊙外切于,外公切线分别切两圆于、交于,若⊙半径为,⊙半径为.‎ 求证:(1)‎ ‎(2)求的值。‎ 分析:(1)作⊙、⊙的内公切线交于,连、,则是,,,,根据圆周角定理的推论可知是、、三点所在的圆的直径,并且为圆心,为半径,又,与⊙切于点,根据切割线定理有:(2)作,,.,这样,求就转化为求的问题了,只要解即可。‎ 证明 (1)作⊙、⊙的内公切线交于,连、,‎ 是直角三角形 是过、、的圆的半径 又 是⊙的切线,是切点 ‎(2)交于,连、,‎ 是外公切线,‎ ‎, 且 作交于,则易证是矩形 由,根据勾股定理:‎ 典型例题九 例 如图,已知⊙与⊙O外切,A,B的一条外公切线的切线点,AB与连心线的夹角,若,求两圆半径及外公切线的长.‎ 解 连结,并作于C,则四边形为矩形.‎ ‎∴‎ 在Rt中,‎ 设⊙O与⊙半径分别为,则有 说明:本题考查外公切线长的求法,解题关键是作出辅助线,构造直角三角形,易错点是作不出辅助线.‎ 典型例题十 例 (荆州市,2000) 以抛物线上的点(原点除外)为圆心且切于x轴的动圆C,如果C的圆是,把这个圆记为的圆心,把这个圆记为,试用表示圆和圆外切的条件;(2)在外切于的圆只有一个的情况下,求a的值.‎ 解 (1)是圆心为,半径为的圆,是圆心为,半径为的圆.‎ ‎∵与外切,‎ ‎∴‎ ‎∴. ①‎ ‎(2)将①按b降幂排列,整理,得 ‎ ②‎ 由题意,b仅有一个实数值,试确定a.‎ 这有两种可能:‎ ‎(Ⅰ)作为b的二次方程②,其判别式为0.‎ 即 ‎ ‎∴‎ ‎∵的圆心不在原点上,∴舍去.‎ ‎(Ⅱ)在②中,‎ 说明:本题综合考查两圆的位置关系与直角坐标系的知识,解题关键是作出辅助线构造直角三角形,易错点是找不出第(2)题的解题思路或忽视对所得的关于b的一元二次方程的二次项系数的讨论.‎ 典型例题十一 例 (四川省,2000) 已知:如图,⊙和⊙外切于A,BC是⊙和⊙的公切线,切点为B,C,连结BA并延长交⊙于D,过D点作CB的平行线交⊙于E,F.求证:(1)CD是⊙的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的长度大小关系,并证明你的结论.‎ 证明 (1)过点A作⊙和⊙的内公切线交BC于点G,连结AC.‎ ‎∵GB、GA分别切⊙于B、A,∴.‎ 同理 ‎ ‎∴.即为直角.∴CD是⊙的直径.‎ ‎(2)结论是,连结AE.‎ 在和中,,又,‎ ‎∴‎ 又∽.‎ ‎∴,即.‎ ‎,又,‎ 说明:本题主要考查外切两圆的一些性质,解题关键是作两圆的外公切线.易错点是探索不出第二题的结论.‎ 选择题 ‎1.若两圆的半径分别为和,圆心距为,则两圆的外公切线长为()‎ A. B. C. D.‎ ‎2.如果两圆的半径分别为、,外公切线长为,那么这两个圆()‎ A.相交 B.外切 C.外离 D.外切或外离 ‎3.下列说法正确的是()‎ A.公切线上的两切点间的线段叫公切线的长 B.两圆的两条内公切线相等 C.两圆相离时,两条内公切线的交点必在连心线上 D.两圆外离时,公切线条数最多 ‎4.下列说法正确的是()‎ A.过外切两圆切点的直线是内公切线 B.过内切两圆切点的直线是外公切线 C.两圆相交时有两条外公切线 D.两圆外切时有两条内公切线 ‎5.两圆相交、外切、外离时,公切线的条数分别是()‎ A.2,3,4 B.2,3,3 C.2,2,3 D.2,2,2‎ ‎6.两圆半径分别为8和5,如果这两圆共有三条公切线,那么圆心距d应为( )。‎ A. B. C. D.‎ ‎7.两圆半径分别为4cm和1cm,一条外公切线的长为4cm,则两圆的位置关系为( )。‎ A.相交 B.外切 C.外离 D.相交或相切 ‎8.如图,两圆轮叠靠在墙旁,已知两轮的半径分别为R和r(),则它们与墙切点A与B间的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ 参考答案:‎ ‎1.B 2. C 3. D 4. C 5. A. 6.C 7.B 8.D 填空题 ‎1. 两圆的直径分别为3和4,这两个圆的圆心距是5,这两个圆最多可以有 条公切线.‎ ‎2. 两圆外离,半径分别为3和5,当一条内公切线与连心线所成的角为45°时,内公切线的长为 ;圆心距为 ·‎ ‎3. 半径为16cm和10 cm的两圆外切,作这两圆的外公切线和内公切线,则夹在两条外公切线间的内公切线的长为 .‎ ‎4. 两圆的圆心距为13cm,两圆的半径分别为7cm和2cm,那么这两圆的一条外公切线的长为 ·‎ ‎5. 已知:⊙O1和⊙O2外切,外公切线与连心线的夹角为α,且半径分别为,,则α= 度.‎ ‎6. 两圆的直径分别为和,它们的外公切线长为,则这两圆的位置关系是________‎ ‎7. 半径分别为和的两圆相外切,一条外公切线的长为,则两条外公切线的夹角为______‎ ‎8. ⊙与⊙外切,且⊙的半径,⊙的半径,过、的直线与一条外公切线的交角为,则 ‎9. 如果两圆外公切线交成角,它们的圆心距为,则它们的外公切线长为_______‎ ‎10. 两圆的半径分别为,,圆心距为,则两圆的公切线与连心线交点分别与两圆圆心的距离是________‎ ‎11.已知两圆外离,圆心距为5,大圆半径为2.5,小圆半径为1.5,则外公切线长为________,内公切线长为_________。‎ ‎12.两圆相离,这两圆最多时可作________条公切线。‎ ‎13.两圆半径分别为4和5,圆心距为5,则这两圆的公切线有________。‎ ‎14.为了测量一个圆形工件的直径,用直径为100mm的两根钢棒嵌在圆形工件的两侧(如图),测得两钢棒我侧距离为900mm,那么这个工件的直径是_____mm.‎ 参考答案:‎ ‎1. 4 2. 8 、 3. 4. 12cm 5. 60 6. 外切 7. 8. 9.10.与.11.,3 12.4 13.2 14.1600.‎ 解答题 ‎1.已知两圆外切,其半径分别为,,求两圆外公切线长及外公切线与连心线夹角。‎ ‎2.两圆的内公切线长为,两圆半径长分别为,,求两圆的圆心距。‎ ‎3.已知两圆外切,它们的两条外公切线互相垂直,其中大圆的半径为,求外公切线的长。‎ ‎4. 已知:⊙O1和⊙O2外切于P点,AB是外公切线,切⊙O1于A,切⊙O2于B,AP交⊙O2于C点,CD切⊙O1于点D.‎ 求证:CD=BC.‎ ‎5. 如图,两圆内切于点C,⊙O1的弦AB切⊙O2于点E,CE的延长线交⊙O1于点D.‎ 求证:AE·CD=BD· AC.  ‎ ‎6.如图,⊙与⊙内切于点,⊙的弦交⊙于、两点。求证:‎ ‎7.如图,已知:两圆内切于点,大圆的弦切小圆于,的延长线交大圆于。求证:‎ ‎8.已知:如图,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C,PC的延长线交大圆于点D。求证:(1);(2)‎ ‎9.如图,⊙和⊙外切于D,AB是⊙和⊙的一条外公切线,为切点,cm,两外公切线的夹角为60°,求两圆的半径。‎ ‎10.如图,在正方形中,以A点为圆心,AB为半径画弧,该弧与以CD为直径的⊙O相交于点的延长线交⊙O于点的延长线交BC于点F。(1)求证:;(2)若正方形的边长为2cm,求BE的长度;(3)求证:‎ ‎11.已知⊙与⊙外切于点O,其半径之比为1:3,以直线为x轴,点O为坐标原点建立直角坐标系,直线AB切⊙于B,切⊙于A,交y轴于点C(0,2),交x轴于点M,连结。(1)求证:;(2)求⊙的半径的长;(3)求直线AB的解析式;(4)在直线AB上是否在点P,使与 相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由。‎ ‎12.如图,已知,⊙是它的外接圆,与⊙内切于A点的⊙交AB于F,交AC于于于是的高,交GF于M,且。(1)求证:四边形是矩形;(2)设,写出矩形的面积y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(3)当矩形的面积是面积的一半时,两圆的半径有什么关系,并证明你的结论。‎ ‎13.如图,抛物线与x轴交于两点,与y轴交于C点,大圆的圆心D是该抛物线的顶点,小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点,大圆与x轴相切于E,小圆与y轴相切于O,两圆外切,且大圆半径是小圆半径的4倍。(1)求的值;(2)当的面积为时,求抛物线的函数表达式。‎ ‎14.如图,⊙与⊙外切于O,以直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系,在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙相切于点A,与⊙相切于点B,直线AB交y轴于点C,若。(1)求经过 三点的抛物线解析式;(2)设直线与(1)中的抛行物线交于两点,若线段MN被y轴平分,求k值;(3)在(2)的条件下,点D在y轴负半轴上,当点D的坐标为何值时,四边形是矩形。‎ ‎15.以AB为直径的⊙C交x轴于A,交y轴于B,满足,以OC为直径作⊙D,设⊙D的半径为2。(1)求⊙C的圆心坐标;(2)过C作⊙D的切线EF交x轴于E,交y轴于F,求直线EF的解析式;(3)抛物线的对称轴过C点,顶点在⊙C上,与y轴交点为B,求抛物线的解析式。‎ 答案与提示:‎ ‎1., 2. 3. 4. 提示:连PB,有BC2 = CP·CA,又CD为⊙O1的切线切,所以CD2 = CP·CA,∴CD=BC.(此题方法很多略)‎ ‎5. 证明:过点C作⊙O1与⊙O2的公切线MN,连结EF. ‎ ‎ 则 ∠EFC=∠ECN=∠DBC  ‎ 又∵AB为⊙O2切线  ∴∠EFC=∠AEC  ‎ ‎∵∠AEC=∠DBC  ∠D=∠A ‎ ‎∴AE· CD= AC·BD ‎ ‎6.过作两圆的公切线 ‎7.过作两圆的公切线,则证,∽.‎ ‎8.(1)过P作外公切线;(2)连AD。证∽‎ ‎9.‎ ‎10.(1);(2);(3)证 ‎11.(1)易证;(2)连,过作于N。⊙半径为,⊙半径为;(3);(4)存在点或,满足∽‎ ‎12.(1)过A作两圆公切线PQ,证;(2);(3)‎ ‎13.(1);(2)‎ ‎14.(1)连结。;(2);(3)(提示:过M作NF的垂线,交NF的延长线于G ‎15.(1);(2);(3),或.‎
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