中考数学专题复习练习：两圆公切线

中考数学专题复习练习：两圆公切线

例 如图，半径分别为3、1的⊙O1与⊙O2外切，一直线分别切它们于A、B，又交O1O2于C．求：①切线AB长；②∠C的度数．‎ 分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．‎ 解：（1）连结O1A、O2B，作O2D∥BA交O1A于D．　　‎ 则得Rt△O2DO1和矩形ADO2B．　　‎ ‎∵ AD=O2B=1，　　O1A=3　　‎ ‎∴O1D=3-1=2　　∵O1O2=3+1=4，‎ ‎　AB= O2D=．‎ ‎（2）由（1）知O1D=2，O1O2=4，∴∠C=∠DO2O1=30°‎ 说明：（1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法． ‎ 例 如图，⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，O1O2=15，内公切线AB交O1O2于C．　　‎ 求：①AB长；②sin∠ACO1的值．　　‎ 解：（1）连结O1A、O2B，‎ 作O1D∥AB交O2B延长线于D，　‎ 则得Rt△O1DO2，AO1DB是矩形，‎ ‎∵O1D=4，O2B=5，‎ ‎∴O2D=5+4=9　　 　　　‎ ‎∴AB= O1D=．‎ ‎（2）由（1）可知，sin∠ACO1= sin∠O2O1D=．‎ 说明：（1）求内公切线长；（2）构造三角形、矩形，应用勾股定理、三角函数；（3）此题还可以通过△AO1C∽△BO2C，求出O1A、O2B，在求得．‎ 例 （福州市，2002）已知：半径不等的⊙O1与⊙O2相切于点P，直线AB、CD都经过切点P，并且AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B两点，CD分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(点A、B、C、D、P互不重合)，连结AC和BD．‎ ‎（1）请根据题意画出图形；‎ ‎（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)．‎ M N 解：（1）如图所示．‎ ‎（2）第一个结论：AC∥BD．‎ 证明：过P作两圆的公切线MN，‎ ‎∴∠MPA=∠C，∠NPB=∠D．‎ ‎∵∠MPA=∠NPB，∴∠C=∠D，‎ ‎∴AC∥BD．‎ 第二个结论：△APC∽△BPD．‎ 证明：过P作两圆的公切线MN，∴∠MPA=∠C，∠NPB=∠D．‎ ‎∵∠MPA=∠NPB，∴∠C=∠D，又∠APC=∠BPD，∴△APC∽△BPD．‎ 第三个结论：O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）．‎ 证明：∵①圆是轴对称图形，②相切的两个圆也组成轴对称图形，③连心线O1O2是两个圆的对称轴，∴O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）‎ 说明：①此题题型新颖，属于开放性题目，它源于教材P145练习第2题；②主要应用分类思想，作圆的公切线辅助线．‎ 例 已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．‎ ‎ （1）求证：PC平分∠APD；‎ ‎ （2）若PE=3，PA=6，求PC的长．‎ 证明：（1）过P作两圆的公切线PT，‎ ‎∴∠TPC=∠4，∠3=∠D．‎ ‎∵∠4=∠D+∠5，∴∠2+∠3=∠D+∠5，∴∠2=∠5‎ 又DA与⊙O2相切于点C，‎ ‎∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即PC平分∠APD．‎ ‎（2）∵DA与⊙O2相切于点C，∴∠PCA=∠4．‎ 由（1）知∠1=∠2，∴△PCA∽△PEC．‎ ‎∴，即．∵PE=3，PA=6，∴，∴．‎ 说明：①此题主要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；②此题得出∠1=∠2，在中考中是热点题目．‎ 典型例题五 例 已知半径分别为R和r（）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ 解：连结（如图），则过点P且平分，过点作，则.‎ ‎，‎ ‎∴是等腰直角三角形.‎ ‎，故选C.‎ 说明：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题.‎ 典型例题六 例 如图，⊙与⊙内切于点A，并且⊙的半径是⊙的直径，为⊙的半径交⊙于点C，AD是公切线，，则（ ）‎ A．50° B．40° C．25° D．20°‎ 解：∵是⊙的直径，‎ ‎，‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ 又∵DA是两圆的公切线，和分别是⊙、⊙的弦切角，‎ 故选D.‎ 说明：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新.‎ 典型例题七 例 两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为________.‎ 解：如图连结、，过点A作，则cm，‎ 在Rt中，‎ ‎（cm），‎ 故应填cm.‎ 说明：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键.‎ 典型例题八 例 已知：如图，设⊙、⊙外切于，外公切线分别切两圆于、交于，若⊙半径为，⊙半径为.‎ 求证：（1）‎ ‎（2）求的值。‎ 分析：（1）作⊙、⊙的内公切线交于，连、，则是，，，，根据圆周角定理的推论可知是、、三点所在的圆的直径，并且为圆心，为半径，又，与⊙切于点，根据切割线定理有：（2）作，，.，这样，求就转化为求的问题了，只要解即可。‎ 证明 （1）作⊙、⊙的内公切线交于，连、，‎ 是直角三角形 是过、、的圆的半径 又 是⊙的切线，是切点 ‎（2）交于，连、，‎ 是外公切线，‎ ‎， 且 作交于，则易证是矩形 由，根据勾股定理：‎ 典型例题九 例 如图，已知⊙与⊙O外切，A，B的一条外公切线的切线点，AB与连心线的夹角，若，求两圆半径及外公切线的长.‎ 解 连结，并作于C，则四边形为矩形.‎ ‎∴‎ 在Rt中，‎ 设⊙O与⊙半径分别为，则有 说明：本题考查外公切线长的求法，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形，易错点是作不出辅助线.‎ 典型例题十 例 （荆州市，2000） 以抛物线上的点（原点除外）为圆心且切于x轴的动圆C，如果C的圆是，把这个圆记为的圆心，把这个圆记为，试用表示圆和圆外切的条件；（2）在外切于的圆只有一个的情况下，求a的值.‎ 解 （1）是圆心为，半径为的圆，是圆心为，半径为的圆.‎ ‎∵与外切，‎ ‎∴‎ ‎∴. ①‎ ‎（2）将①按b降幂排列，整理，得 ‎ ②‎ 由题意，b仅有一个实数值，试确定a.‎ 这有两种可能：‎ ‎（Ⅰ）作为b的二次方程②，其判别式为0.‎ 即 ‎ ‎∴‎ ‎∵的圆心不在原点上，∴舍去.‎ ‎（Ⅱ）在②中，‎ 说明：本题综合考查两圆的位置关系与直角坐标系的知识，解题关键是作出辅助线构造直角三角形，易错点是找不出第（2）题的解题思路或忽视对所得的关于b的一元二次方程的二次项系数的讨论.‎ 典型例题十一 例 （四川省，2000） 已知：如图，⊙和⊙外切于A，BC是⊙和⊙的公切线，切点为B，C，连结BA并延长交⊙于D，过D点作CB的平行线交⊙于E，F.求证：（1）CD是⊙的直径；（2）试判断线段BC、BE、BF的长度大小关系，并证明你的结论.‎ 证明 （1）过点A作⊙和⊙的内公切线交BC于点G，连结AC.‎ ‎∵GB、GA分别切⊙于B、A，∴.‎ 同理 ‎ ‎∴.即为直角.∴CD是⊙的直径.‎ ‎（2）结论是，连结AE.‎ 在和中，，又，‎ ‎∴‎ 又∽.‎ ‎∴，即.‎ ‎，又，‎ 说明：本题主要考查外切两圆的一些性质，解题关键是作两圆的外公切线.易错点是探索不出第二题的结论.‎ 选择题 ‎1．若两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的外公切线长为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果两圆的半径分别为、，外公切线长为，那么这两个圆（）‎ A．相交 B．外切 C．外离 D．外切或外离 ‎3．下列说法正确的是（）‎ A．公切线上的两切点间的线段叫公切线的长 B．两圆的两条内公切线相等 C．两圆相离时，两条内公切线的交点必在连心线上 D．两圆外离时，公切线条数最多 ‎4．下列说法正确的是（）‎ A．过外切两圆切点的直线是内公切线 B．过内切两圆切点的直线是外公切线 C．两圆相交时有两条外公切线 D．两圆外切时有两条内公切线 ‎5．两圆相交、外切、外离时，公切线的条数分别是（）‎ A．2，3，4 B．2，3，3 C．2，2，3 D．2，2，2‎ ‎6．两圆半径分别为8和5，如果这两圆共有三条公切线，那么圆心距d应为（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎7．两圆半径分别为4cm和1cm，一条外公切线的长为4cm，则两圆的位置关系为（ ）。‎ A．相交 B．外切 C．外离 D．相交或相切 ‎8．如图，两圆轮叠靠在墙旁，已知两轮的半径分别为R和r（），则它们与墙切点A与B间的距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 参考答案：‎ ‎1．B 2. C 3. D 4. C 5. A. 6．C 7．B 8．D 填空题 ‎1. 两圆的直径分别为3和4，这两个圆的圆心距是5，这两个圆最多可以有 条公切线．‎ ‎2. 两圆外离，半径分别为3和5，当一条内公切线与连心线所成的角为45°时，内公切线的长为 ；圆心距为 ·‎ ‎3. 半径为16cm和10 cm的两圆外切，作这两圆的外公切线和内公切线，则夹在两条外公切线间的内公切线的长为 ．‎ ‎4. 两圆的圆心距为13cm，两圆的半径分别为7cm和2cm，那么这两圆的一条外公切线的长为 ·‎ ‎5. 已知：⊙O1和⊙O2外切，外公切线与连心线的夹角为α，且半径分别为，，则α= 度．‎ ‎6. 两圆的直径分别为和，它们的外公切线长为，则这两圆的位置关系是________‎ ‎7. 半径分别为和的两圆相外切，一条外公切线的长为，则两条外公切线的夹角为______‎ ‎8. ⊙与⊙外切，且⊙的半径，⊙的半径，过、的直线与一条外公切线的交角为，则 ‎9. 如果两圆外公切线交成角，它们的圆心距为，则它们的外公切线长为_______‎ ‎10. 两圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的公切线与连心线交点分别与两圆圆心的距离是________‎ ‎11．已知两圆外离，圆心距为5，大圆半径为2.5，小圆半径为1.5，则外公切线长为________，内公切线长为_________。‎ ‎12．两圆相离，这两圆最多时可作________条公切线。‎ ‎13．两圆半径分别为4和5，圆心距为5，则这两圆的公切线有________。‎ ‎14．为了测量一个圆形工件的直径，用直径为100mm的两根钢棒嵌在圆形工件的两侧（如图），测得两钢棒我侧距离为900mm，那么这个工件的直径是_____mm.‎ 参考答案:‎ ‎1. 4 2. 8 、 3. 4. 12cm 5. 60 6. 外切 7. 8. 9.10.与.11．，3 12．4 13．2 14．1600.‎ 解答题 ‎1．已知两圆外切，其半径分别为，，求两圆外公切线长及外公切线与连心线夹角。‎ ‎2．两圆的内公切线长为，两圆半径长分别为，，求两圆的圆心距。‎ ‎3．已知两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，其中大圆的半径为，求外公切线的长。‎ ‎4. 已知：⊙O1和⊙O2外切于P点，AB是外公切线，切⊙O1于A，切⊙O2于B，AP交⊙O2于C点，CD切⊙O1于点D．‎ 求证：CD=BC．‎ ‎5. 如图，两圆内切于点C，⊙O1的弦AB切⊙O2于点E，CE的延长线交⊙O1于点D．‎ 求证：AE·CD=BD· AC． 　‎ ‎6．如图，⊙与⊙内切于点，⊙的弦交⊙于、两点。求证：‎ ‎7．如图，已知：两圆内切于点，大圆的弦切小圆于，的延长线交大圆于。求证：‎ ‎8．已知：如图，两圆内切于点P，大圆的弦AB切小圆于点C，PC的延长线交大圆于点D。求证：（1）；（2）‎ ‎9．如图，⊙和⊙外切于D，AB是⊙和⊙的一条外公切线，为切点，cm，两外公切线的夹角为60°，求两圆的半径。‎ ‎10．如图，在正方形中，以A点为圆心，AB为半径画弧，该弧与以CD为直径的⊙O相交于点的延长线交⊙O于点的延长线交BC于点F。（1）求证：；（2）若正方形的边长为2cm，求BE的长度；（3）求证：‎ ‎11．已知⊙与⊙外切于点O，其半径之比为1：3，以直线为x轴，点O为坐标原点建立直角坐标系，直线AB切⊙于B，切⊙于A，交y轴于点C（0，2），交x轴于点M，连结。（1）求证：；（2）求⊙的半径的长；（3）求直线AB的解析式；（4）在直线AB上是否在点P，使与 相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。‎ ‎12．如图，已知，⊙是它的外接圆，与⊙内切于A点的⊙交AB于F，交AC于于于是的高，交GF于M，且。（1）求证：四边形是矩形；（2）设，写出矩形的面积y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（3）当矩形的面积是面积的一半时，两圆的半径有什么关系，并证明你的结论。‎ ‎13．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，大圆的圆心D是该抛物线的顶点，小圆的圆心B是该抛物线与x轴正半轴的交点，大圆与x轴相切于E，小圆与y轴相切于O，两圆外切，且大圆半径是小圆半径的4倍。（1）求的值；（2）当的面积为时，求抛物线的函数表达式。‎ ‎14．如图，⊙与⊙外切于O，以直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，在x轴上方的两圆的外公切线AB与⊙相切于点A，与⊙相切于点B，直线AB交y轴于点C，若。（1）求经过 三点的抛物线解析式；（2）设直线与（1）中的抛行物线交于两点，若线段MN被y轴平分，求k值；（3）在（2）的条件下，点D在y轴负半轴上，当点D的坐标为何值时，四边形是矩形。‎ ‎15．以AB为直径的⊙C交x轴于A，交y轴于B，满足，以OC为直径作⊙D，设⊙D的半径为2。（1）求⊙C的圆心坐标；（2）过C作⊙D的切线EF交x轴于E，交y轴于F，求直线EF的解析式；（3）抛物线的对称轴过C点，顶点在⊙C上，与y轴交点为B，求抛物线的解析式。‎ 答案与提示：‎ ‎1．， 2． 3． 4. 提示：连PB，有BC2 = CP·CA，又CD为⊙O1的切线切，所以CD2 = CP·CA，∴CD=BC．（此题方法很多略）‎ ‎5. 证明：过点C作⊙O1与⊙O2的公切线MN，连结EF．　‎ ‎　则 ∠EFC=∠ECN=∠DBC　　‎ 又∵AB为⊙O2切线　　∴∠EFC=∠AEC　　‎ ‎∵∠AEC=∠DBC　　∠D=∠A　‎ ‎∴AE· CD= AC·BD　‎ ‎6．过作两圆的公切线 ‎7．过作两圆的公切线，则证，∽.‎ ‎8．（1）过P作外公切线；（2）连AD。证∽‎ ‎9．‎ ‎10．（1）；（2）；（3）证 ‎11．（1）易证；（2）连，过作于N。⊙半径为，⊙半径为；（3）；（4）存在点或，满足∽‎ ‎12．（1）过A作两圆公切线PQ，证；（2）；（3）‎ ‎13．（1）；（2）‎ ‎14．（1）连结。；（2）；（3）（提示：过M作NF的垂线，交NF的延长线于G ‎15．（1）；（2）；（3），或.‎