2013山东菏泽中考数学试题

2013山东菏泽中考数学试题

菏泽市二〇一三年初中学业水平考试 数学试题 注意事项： 1．本试题分为选择题和非选择题两部分，其中选择题 24 分，非选择题 96 分，满分 120 分．考试时间 120 分钟． 2．用黑色、蓝色水笔或圆珠笔答卷，答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3．请将选择题的正确答案代号(ABCD)填写在相应的“答题栏”内，将非选择题的答案直接答在试卷上． 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项 A、B、C、D 中，只有 一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在第三页该题相应的答题栏内． 1．(2013 山东菏泽，1，3 分)如果 a 的倒数是－1，那么 a2013 等于 A．1 B．－1 C．2013 D．－2013 【答案】B． 2．(2013 山东菏泽，2，3 分)如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一 个钝角为 120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为 A．15°或 30° B．30°或 45° C．45°或 60° D．30°或 60° 【答案】D． 3．(2013 山东菏泽，3，3 分)下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是 A． B． C． D． 【答案】C． 4．(2013 山东菏泽，4，3 分)在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的 15 名运动员的成绩 如下表所示： 成绩(m) 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 1 2 4 3 3 2 这些运动员跳高的中位数和众数分别是 A．1.70，1.65 B．1.70，1.70 C．1.65，1.70 D．3，4 【答案】A． 5．(2013 山东菏泽，5，3 分)如图，数轴上的 A、B、C 三点所表示的数分别为 a、b、c，其中 AB＝BC，如 果|a|＞|c|＞|b|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在 A．点 A 的左边 B．点 A 与点 B 之间 C．点 B 与点 C 之间 D．点 C 的右边 cba A B C 【答案】C． 6．(2013 山东菏泽，6，3 分)一条直线 y＝kx＋b 其中 k＋b＝－5、kb＝6，那么该直线经过 A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】D． 7．(2013 山东菏泽，7，3 分)如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别 为 S1、S2，则 S1＋S2 的值为 A．16 B．17 C．18 D．19 S2 S1 【答案】B． 8．(2013 山东菏泽，8，3 分)已知 b＜0，二次函数 y＝ax2＋bx＋a2－1 的图象为下列四个图像之一． x y －1 1O x y 1－1 O x y O x y O 试根据图象分析，a 的值应等于 A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】C． 二、填空题：本大题共同 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求填写最后结果，每小题填对得 3 分． 9．(2013 山东菏泽，9，3 分)明明同学在“百度”搜索引擎中输入“钓鱼岛最新消息”，能搜索到与之相关的结 果个数约为 4680000，这个数用科学记数法表示为__________． 【答案】4.68×106． 10．(2013 山东菏泽，10，3 分)在半径为 5 的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为__________(结果保留 π)． 【答案】 5 3 ． 11．(2013 山东菏泽，11，3 分)分解因式：3a2－12ab＋12b2＝__________． 【答案】3(a－2b)2． 12．(2013 山东菏泽，12，3 分)我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形 的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”)．已 知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是__________(写出 1 个即可)． 【答案】 3 ． 13．(2013 山东菏泽，13，3 分)如图，□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，  AEB＝45°，BD＝2， 将∆ABC 沿 AC 所在直线翻折 180°到其原来所在的同一平面内，若点 B 的落点记为 B'，则 DB'的长为 _________． B' A C E A C E B D D B 【答案】 2 ． 14．(2013 山东菏泽，14，3 分)如图所示，在∆ABC 中，BC＝6，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点 P 在 射线 EF 上，BP 交 CE 于 D，  CBP 的平分线交 CE 于 Q，当 CQ＝ 1 3 CE 时，EP＋BP＝______． QD FE B C A P 【答案】12． 三、解答题：本大题共 7 个小题，共 78 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(2013 山东菏泽，15，12 分) （1）计算：2－1－3tan30°＋( 2 －1)0＋ 12 ＋cos60° （2）解不等式 3 -1 5 1 1 242 xx x x   （ ） ≥ ，并指出它的所有的非负整数解 【答案】（1）原式＝ 1 3 13 1 2 32 3 2     ＝ 23 ． （2）解3 -1 5 1xx（ ） 得 x＞－2；解 1 242 x x ≥ 得 x≤ 7 3 ， ∴－2＜x≤ 7 3 ， ∴不等式的所有的非负整数解为 0，1，2． 16．(2013 山东菏泽，16，12 分) （1）如图，在∆ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE＝BD， 连结 AE、DE、DC． ①求证：∆ABE≌∆CBD； ②若∠CAE＝30°，求∠BDC 的度数． D E A B C （2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、 乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一： 甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；信息二：乙工厂每天加工的 数量是甲工厂每天加工数量的 1.5 倍．根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品． 【答案】（1）①证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°， ∴∠ABE＝∠CBD． 在△ABE 和△CBD 中， ∵ AB CB ABE CBD EB DB       ， ∴△ABE≌△CBD ②解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ECA＝45°． ∵∠CAE＝30°，∠BEA＝∠ECA＋∠EAC， ∴∠BEA＝45°＋30°＝75°． 由①知∠BDC＝∠BEA ∴∠BDC＝75°． （2）解：设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品． 依题意列方程得：1200 1200 101.5xx， 解得：x＝40， 经检验，x＝40 是原方程的解， ∴1.5x＝1.5×40＝60． 答：甲、乙两个工厂每天分别能加工 40 件和 60 件新产品． 17．(2013 山东菏泽，17，14 分) （1）已知 m 是方程 x2－x－2＝0 的一个实数根，求代数式(m2－m)(m－ 2 m ＋1)的值． （2）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y＝－x 的图象与反比例函数 y＝ k x 的图象交于 A、B 两点． ①根据图像求 k 的值； ②点 P 在 y 轴上，且满足以点 A、B、P 为顶点的三角形是直角三角形，试写出点 P 所有可能的坐标． x B A y -1 O 【答案】（1）解：方法 1：∵m 是方程 x2－x－2＝0 的一个实数根， ∴m2－m－2＝0， ∴m2－m＝2，m2＝m＋2． ∴原式＝ 2 22 mm m    ＝ 222 mm m     ＝ 22 m m   ＝2×2＝4． 方法 2：解 x2－x－2＝0 得：x1＝－1，x2＝2， ∴m＝－1 或 m＝2． 当 m＝－1 时，把 m＝－1 代入(m2－m)(m－ 2 m ＋1)＝4； 当 m＝2 时，把 m＝2 代入(m2－m)(m－ 2 m ＋1)＝4， ∴原式的值为 4． （2）解：①由图象知点 A 的横坐标为－1， ∵点 A 在一次函数 y＝－x 的图象上， ∴点 A 的纵坐标 y＝－(－1)＝1． 又∵点 A 在反比例函数 y＝ k x 的图象上， ∴1＝ 1 k  ， ∴k＝－1． ②点 P 所有可能的坐标为 P1(0，2)，P2(0，－2)，P3(0， 2 )，P4(0，－ 2 )． x B A y -1 P4 P3 P2 P1 O 18．(2013 山东菏泽，18，10 分)如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点．过点 C 作⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 D，取 CD 的中点 E，AE 的延长线与 BC 的延长线交于点 P． （1）求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若 OC＝CP，AB＝6，求 CD 的长． E D O C PB A 【答案】（1）证明：如图，连结 AC、AO． ∵BC 是⊙O 的直径， ∴AB⊥AC， ∴△ACD 是直角三角形， ∵点 E 是 CD 中点， ∴AE＝CE， ∴∠EAC＝∠ECA． ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC． ∵CD 是⊙O 切线， ∴∠DCB＝90°， ∴∠ECA＋∠OCA＝90°， ∴∠EAC＋∠OAC＝∠OAP＝90°， ∴AP 是⊙O 的切线． E D O C PB A （2）解：由（1）知△AOP 是直角三角形， ∵OC＝CP， ∴OC＝AC， ∵OA＝OC， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－60°＝30°． 在 Rt△ABC 中，∵AB＝6， ∴AC＝ 6 23tan 60 3 AB  ， 在 Rt△ACD 中， CD＝ 23 4cos30 3 2 AC  ． 19．(2013 山东菏泽，19，10 分)“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题．某小区为了改善生态环境，促 进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为三类：厨余、可回收和其他，分别记为 a、b、c，并且设置了 相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为 A、B、C． （1）若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率； （2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共 1000 吨生活垃圾，数据 统计如下(单位：吨)： A B C a 400 100 100 b 30 240 30 c 20 20 60 试估计“厨余垃圾．．．．”投放正确的概率． 【答案】解：（1）树状图如下： 由树状图可知垃圾投放正确的概率为 31=93 ； （2）“厨余垃圾”投放正确的概率为 400 2=400+100+100 3 ． 20．(2013 山东菏泽，20，10 分)已知：关于 x 的一元二次方程 kx2－(4k＋1)x＋3k＋3＝0(k 是整数)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 x1，x2(其中 x1＜x2)，设 y＝x2－x1－2，判断 y 是否为变量 k 的函数?如果 是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由． 【答案】解：（1）证明：⊿＝(4k＋1)2－4k(3k＋3)＝(2k－1)2， ∵k 是整数， ∴k≠ 1 2 ，2k－1≠0， ∴⊿＝(2k－1)2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解方程得：    24 1 2 1 2 kk x k     ， ∴x＝3 或 x＝1＋ 1 k ． ∵k 是整数， ∴ 1 k ≤1，1＋ 1 k ≤2＜3， 又∵x1＜x2， ∴x1＝1＋ 1 k ，x2＝3， ∴y＝3－(1＋ 1 k )－2＝－ 1 k ， ∴y 是 k 的函数． 21．(2013 山东菏泽，21，10 分)如图，三角形 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，点 A、C 分别是一次函 数 y＝－ 3 4 x＋3 的图像与 y 轴、x 轴的交点，点 B 在二次函数 y＝ 1 8 x2＋bx＋c 的图像上，且该二次函数 图像上存在一点 D 使四边形 ABCD 能构成平行四边形． （1）试求 b，c 的值、并写出该二次函数表达式； （2）动点 P 从 A 到 D，同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动，问： A B a C A B b C A B c C ①当 P 运动到何处时，有 PQ⊥AC? ②当 P 运动到何处时，四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少? O D CB A x y 【答案】解：（1）由 y＝－ 3 4 x＋3， 令 x＝0，得 y＝3．∴点 A(0，3)； 令 y＝0，得 x＝4．∴点 C(4，0)． ∵△ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形， ∴点 B 坐标为(－4，0)． ∵平行四边形 ABCD， ∴点 D 坐标为(8，3)． 将 B(－4，0)、D(8，3)代入二次函数 y＝ 1 8 x2＋bx＋c， 得 b＝－ 1 4 ，c＝－3， ∴该二次函数的表达式为 y＝ 1 8 x2－ 1 4 x－3． （2）①设点 P 运动了 t 秒时有 PQ⊥AC，此时 AP＝t，CQ＝t，AQ＝5－t． ∵PQ⊥AC， ∴△APQ∽△CAO， ∴ 5 54 tt ，解得 t＝ 25 9 ， 即当点 P 运动到与点 A 的距离为 25 9 个单位长度时，有 PQ⊥AC． ②∵S 四边形 PDCQ＋S△APQ＝S△ACD，S△ACD＝ 1 2 ×8×3＝12， ∴当△APQ 的面积最大时，四边形 PDCQ 的面积最小， 当动点 P 运动 t 秒时 AP＝t，CQ＝t，AQ＝5－t． 设△APQ 底边 AP 上的高为 h， 作 QH⊥AD 于 H，由△AQH∽△CAO 可得： (也可由∠HAQ＝∠OCA sin∠HAQ＝sin∠OCA 得到) 5 35 ht ， 整理得：  3 55ht， ∴S△APQ＝  13525tt   23 5 15 10 2 8t    ， ∴当 t＝ 5 2 时，S△APQ 达到最大值 15 8 ，此时 S 四边形 PDCQ＝12－ 15 8 ＝ 81 8 ． 综上，当点 P 运动到距 A 点 5 2 个单位长度处时，四边形 PDCQ 面积最小，最小值为 81 8 ． P O Q D CB A x y