中考数学专题复习练习：解直角三角形

中考数学专题复习练习：解直角三角形

‎ 【例】 设中，于D，若，解三角形ABC.‎ 分析 “解三角形ABC”就是求出的全部未知元素.本题CD不是的边，所以应先从Rt入手.‎ 解：在Rt中，有 ‎∴ ‎ 在Rt中，有 说明 （1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如 ‎（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理.事实上，还可以用面积公式求出AB的值：‎ 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具.‎ ‎【例】 在中，，求.‎ 分析 （1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差；‎ ‎（2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解.‎ 解：如图所示，作交CB的延长线于H，于是在中，有，且有 ‎；‎ 在中，，且 ‎，‎ ‎∴ ；‎ 于是，有 ‎，‎ 则有 说明 还可以这样求：‎ ‎【例】 在中，，求AB边上的高CH.‎ ‎ 分析 注意到，在中，构造关于CH的方程.‎ ‎ 解：设，在中，，于是 ‎，‎ 所以有关于h的方程 ‎，‎ 解这个方程，得 ‎，‎ ‎∴ .‎ 说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用.‎ 在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用.本例中关于的计算如果是这样：‎ 就不是好的计算过程，如果看到就有简便的算法 ‎.‎ 典型例题四 例 在中，如图，D、E是AB上的点，，解直角三角形ABC.‎ 解：根据题意知和都是等腰三角形，即.‎ 在等腰中，作于F点，则.‎ ‎.‎ 在Rt中，‎ 又为锐角，‎ ‎∴‎ 在Rt中，.‎ ‎ ‎ 综上可知，在中，‎ 说明：解本题的关键在于选择在等腰中作底边上的高，构造出条件足够（已知两边）的Rt，在解得后，使Rt条件具备，随之使Rt条件也具备.‎ 典型例题五 例 已知，如图，在直角梯形ABCD中，分别为AD、BC的中点，cm，求两底AB、CD的长.‎ 解：过C作于G交EF于H.‎ ‎∵E、F分别是AD、BC的中点，‎ ‎∴.‎ 在Rt中，.‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∵HF为的中位线，‎ 答：AB的长是16.5cm，CD的长是11.5cm.‎ 说明：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一个三角形中，然后再解此三角形.‎ 典型例题六 例 分别由下列条件解直角三角形（）.‎ ‎（1） （2）；（3）‎ ‎（4）‎ 解 （1）。‎ ‎∵ ∴ ∴ 。‎ ‎（2）。‎ ‎∵ . ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎(3) ∵ ∴ ‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ ‎(4) ∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∵ , ∴ .‎ 说明:本题考查直角三角形的解法,解题关键是正确地选用关系式.易错点是选用关系式不当,造成计算错误或增大结果的误差.‎ 典型例题七 例 在中,,解这个三角形.‎ 解法一 ∵ ∴ ‎ 设,则由勾股定理,得 ∴ .‎ ‎∴ .‎ 解法二 ‎ 说明: 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题.‎ 典型例题八 例 (山东省日照市,1999) 如图, 在中,,为 边上一点,是方程3的一个较大的根.求的长(结果取准确值).‎ 解 将方程整理,得 ‎∴ 或.‎ 当方程无实数解.‎ 当时, ‎ 经检验,是原方程的解.‎ 由,可知 在中,.‎ 在中, ‎ 说明:本题综合考查方程与解直角三角形的知识,解题关键是求出的值.易错点是忽视是方程的一个较大的根,出现多余的解或忽视分式方程的验根.‎ 选择题 ‎1．在中，分别是的对边，下列关系式中错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如图，在中，CD为斜边AB上的高，已知AD＝8，BD＝4，那么 A． B． C． D．‎ ‎3．如图，在四边形ABCD中，则AB＝（ ）‎ A．4 B．5 C． D．‎ ‎4．下列结论中，不正确的是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎5．在 A． B． C． D．‎ ‎6．在的对边，则有（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值（ ）‎ A．都没有变化 B．都扩大2倍 C．都缩小2倍 D．不能确定 答案：‎ ‎1．A 2．A 3．D 4．D 5．D 6．C 7．A 填空题 ‎1． 在直角三角形ABC中（）.‎ ‎（1）若已知a、A，则 ‎（2）若已知b、A，则 ‎（3）若已知a、B，则 ‎（4）若已知b、B，则 ‎（5）若已知c、A，则 ‎（6）若已知c、B，则 ‎（7）若已知a、b，则 ‎（8）若已知a、c，则 ‎（9）若已知b、c，则 ‎2．在中，，试根据下表中给出的两个数值，填出其他元素的值：‎ a b c A B ‎（1）‎ ‎4‎ ‎60°‎ ‎（2）‎ ‎3‎ ‎45°‎ ‎（3）‎ ‎5‎ ‎（4）‎ ‎6‎ ‎3．在中，‎ ‎4．如图，矩形ABCD中，O是两对角线交点，于点E，若 ‎5．在中，那么BC这上的高AE＝_________.‎ ‎6．如图，已知ABCD是正方形，以CD为一边向CD两旁作等边三角形PCD和等边三角形QCD，那么的值为_________.‎ 答案:‎ ‎1．‎ ‎2．‎ ‎3．6 4．3 5． 6．.‎ 解答题 ‎1．不查表，根据下列条件解直角三角形（）：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）。‎ ‎2．根据下列条件解直角三角形（，边长保留两个有效数字）：‎ ‎3．根据下列条件解直角三角形（，角度精确到1°），边长保留两个有效数字）：‎ ‎4．已知：如图，在中，AD为BC边上的高，‎ ‎，求的面积。‎ ‎5．如图，求和点B到直线MC的距离。‎ ‎6．在中，，斜边AB＝10，直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。（1）求m的值；（2）计算 ‎7．解，如果已知两个元素a、b可以求出其余三个未知元素c，∠A，∠B（如图），请你按照下列完成解题过程（注意：求解过程有多种方法，本题只要求在方框内正确地表示一种求解过程）。求解过程。‎ ‎8．如图，在中，是角平分线，且,求AB的值。‎ 答案 ‎1．‎ ‎2．‎ ‎3．‎ ‎4． 5． 6．（1）m＝14；（2） 7．8．‎