中考数学专题复习练习：三角形的内切圆

中考数学专题复习练习：三角形的内切圆

例 如图，△ABC的内心为I，外心为O，且∠BIC=115°，求∠BOC的度数．‎ 解：∵I为△ABC的内心，‎ ‎∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB．‎ ‎∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-115°=65°．‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=130°． ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=50°．‎ 又O是△ABC的外心，∴∠BOC=2∠A=100°‎ 说明：（1）此题为基本题型；（2）此题可得：∠BIC=90°+∠A；∠BOC=4∠BIC-360°．‎ 例 已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，求直角三角形内切圆的半径的长．‎ 分析：利用分割三角形，通过面积建立含内切圆半径的方程求解．‎ 解：由勾股定理得：‎ 连结OA、OB、OC，设⊙O的半径为r，则：‎ ‎，又．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 答：直角三角形内切圆的半径为1．‎ 说明：（1）此题为基本题目；（2）三角形内切圆性质的应用，通过面积求线段的长度．‎ 例 （陕西省，2001）如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E．‎ ‎ （1）求证：IE=BE；‎ ‎ （2）若IE=4，AE=8，求DE的长．‎ 证明：（1）连结BI，‎ ‎∵∠BIE=∠BAI+∠ABI=（∠BAC+∠ABC），‎ ‎ ∠IBE=∠IBC+∠EBC=∠ABC+∠EAC=（∠ABC+∠BAC），‎ ‎∴∠BIE=∠IBE ‎∴IE=BE 解：（2）∵I是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，‎ 又∵∠DBE=∠CAE，‎ ‎∴∠BAE=∠DBE，又∵∠E为公共角，‎ ‎∴△ABE∽△BDE，∴，∴‎ ‎∴，∴．‎ 说明：（1）本题应用了三角形内心的性质、等腰三角形的性质及判定、圆周角定理的推论、相似三角形等；（2）本题为教材117页12题和B组第3题的变形与结合；（3）本题为中档题．‎ 典型例题四 已知：如图，设为，，以为直径作⊙交与，设是的中点，连结、，求证：.‎ ‎ 证明 连结.‎ ‎ 为⊙的直径，在⊙上，‎ ‎ ，，‎ ‎ 又是的中点，，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ ‎ ，是半径的外端点，‎ ‎ 是⊙的切线，‎ ‎ .‎ ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎.‎ 说明：本题证到时，也可说明是⊙的切线，尽而说明.‎ 典型例题五 例 已知：如图，在的外接圆中，D是的中点，AD交BC于点E， 的平分线交AD于点F.（1）若以每两个相似三角形为一组，试问图中有几组相似三角形，并且逐一写出；（2）求证： ‎ 解 （1）有三组相似三角形：与；与；与.‎ ‎（2）∵D是中点，∴‎ 即 ‎∴‎ ‎∽‎ 说明：本题考查三角形内心的性质，解题关键是熟练运用三角形内心的性质.易错点是找不到证明的解题思路.‎ 典型例题六 例 如图，等腰梯形ABCD中，.⊙与⊙分别为和的内切圆，它们的半径分别为，则的值是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ 解 过D作于E，于F.‎ ‎∵梯形ABCD为等腰梯形，.‎ 同理，（cm）.∴∴选A.‎ 说明：本题考查三角形内切圆半径的求法，解题关键作辅助线，求出三角形的边长和高线长.易错点是企图求出的而使思路受阻.‎ 典型例题七 例 （山西省，1998） 如图，已知I为的内心，射线AI交的外接圆于D，交BC边于点E.（1）求证：；（2）设外接圆半径当点A在优弧上运动时，求函数与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围.‎ 证明 （1）连结BI.∵I是的内心，‎ ‎∴‎ 又 ‎∴即 ‎ 解 （2）在和中，‎ ‎∴∽.∴‎ 又 ‎∴自变量x的取值范围是 说明： 本题考查三角形内心的性质.解题关键是作辅助线并灵活运用三角形内心的性质，易错点是忽视自变量的取值范围或求错自变量的取值范围.‎ 选择题 ‎1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）‎ ‎（A）梯形 （B）菱形 （C）矩形 （D）平行四边形 ‎2、 菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3、如图，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）‎ ‎（A）70° （B）110° （C）120° （D）130°‎ ‎4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为（ ）‎ ‎（A）1∶∶ （B）1∶2∶ （C）1∶∶2 （D）1∶2∶3‎ ‎5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）‎ ‎（A）矩形 （B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形 参考答案：BDBDC 填空题 ‎1. 等边三角形的边长为4，则外接圆的半径为________，内切圆半径为______，内切圆半径：高：外接圆半径=__________.‎ ‎2. 中，内切圆与，，相切于，，，若，则 ‎，，.‎ ‎3. 的，，是的内心，则.‎ ‎4. 内切圆的半径为的等边三角形的面积为_________‎ ‎5. 在中，若，，，则内切圆的直径为________.‎ ‎6.若的边上的高为，长为，直线交、分别为、，以为直径的半圆与切于，若此半圆的面积是，则.‎ ‎7. 在中，为内心，若，则.‎ ‎8. 已知：等边三角形的边长为4，则它的内切圆与外接圆组成的圆环面积是________.‎ 答案:‎ ‎1. ，， 2. ，， 3. 4. 5. 6. 10 7.‎ ‎ 8. .‎ 解答题 ‎1. 画一个边长为3cm的等边三角形，在画出它的内切圆．‎ ‎2.（山西省，1998）如图，已知点I为△ABC的内心，射线AI交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．‎ ‎(1)求证：ID=BD；‎ ‎(2)设△ABC外接圆半径R=3，ID=2，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求函数y与自变量x间的函数关系式，并指出自变量的取值范围．‎ ‎3．已知点为的内心，如果，求的度数。‎ ‎4．已知：⊙的半径为，求它的外切等边三角形的周长和面积。‎ ‎5．如图，的内切圆⊙切斜边于点，切于点，的延长线交于点，求证：‎ ‎6．如图，在中，，是内心，的延长线交的外接圆于，求证：（1），（2）‎ 答案：‎ 1. 略 2. 提示：（1）与典型例题2一样；（2）由，∴，∵BD

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