八年级上数学课件八年级上册数学课件《算术平方根》 北师大版 (2)_北师大版
第二章 二次函数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2.2 二次函数的图象和性质
导入新课
复习引入
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上 向下
(h ,k) (h ,k)
x=h x=h
当x
h时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0) y轴 0
(0,-5) y轴 -5
(-2,0) 直线x=-2 0
(-2,-4) 直线x=-2 -4
(4,3) 直线x=4 3
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讲授新课
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质一
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨
论 的图象和性质？
21 6 21
2
y x x
问题1 怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式？21 6 21
2
y x x
21 6 21
2
y x x 配方可得
2 2 21 ( 12 6 6 42)
2
x x
21 ( 12 42)
2
x x
2 2 21 [( 12 6 ) 6 42]
2
x x
21 [( 6) 6]
2
x
21 ( 6) 3.
2
x
想一想：配方的方法及
步骤是什么？
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？21 ( 6) 3
2
y x
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由
怎样平移得到的？
21 ( 6) 3
2
y x 21
2
y x
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
21 6 21
2
y x x
…
…
…
…9876543x
解: 先利用图形的对称性列表
21( 6) 3
2
y x 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5
5 10 x
y
5
10然后描点画图，得到图象如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其性质。21 6 21
2
y x x
5 10 x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？
O
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k二
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成
顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax²+bx+c c
a
b
a
bx
a
bxa
22
2
22
2 2
2
2 2
b b ba x x c
a a a
c
a
b
a
bxa
42
22
2 24
2 4
b ac ba x
a a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k
的形式，即 2
2 2 4( ) .
2 4
b ac by ax bx c a x
a a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标是：
对称轴是：直线
24( , ).
2 4
b ac b
a a
.
2
bx
a
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
(1) (2)
x
y
O x
y
O
如果a>0,当x< 时，y随x的
增大而减小；当x> 时，
y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x
的增大而增大；当x> 时，
y随x的增大而减小.
2
bx
a
2
bx
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
2
b
a
例1 填表：
典例精析
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3) x=1 最大值1
(0,-1) y轴 最大值-1
最小值-6( ,-6)1
3
直线x= 1
3
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的
增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴
右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的
值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直
线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，
即b≤1，故选择D .
2 ( 1)
bx b
D
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为( )D
当堂练习
5
2
3
2
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图
象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y= –2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
2
2
(1) 2 12 13;
(2) 5 80 319;
1(3) 2 2 ;
2
(4) 1 2 .
y x x
y x x
y x x
y x x
直线x=3 3, 5
直线x=8 8, 1
直线x=1.25
5 9,
4 8
直线x= 0.5 1 9,
2 4
课堂小结
24( , )
2 4
b ac b
a a
2
bx
a
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式) (顶点式)
2
2 4( )
2 4
b ac by a x
a a
