重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15

15.2.3 整数指数幂 第十五章 分 式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 理解并 掌握 整数指数幂的运算性质 . （重点） 2. 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 . （重点） 3. 理解 负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题 ．（难点） 导入新课 问题引入 算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．   （ 2 ） = ； 同底数幂的乘法： （ m ， n 是正整数） 幂的乘方： （ m ， n 是正整数） （ 3 ） = ； 积的乘方： （ n 是正整数） 算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质． （ 4 ） = ； 同底数幂的除法： （ a ≠0 ， m ， n 是正整数且 m>n ） （ 5 ） = ； 商的乘方： （ b ≠0 ， n 是正整数） （ 6 ） = ； （ ） 想一想： a m 中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂 a m 表示什么？ 讲授新课 负整数指数幂 一 问题： 计算： a 3 ÷ a 5 =? ( a ≠0) 解法 1 解法 2 再假设正整数指数幂的运算性质 a m ÷a n =a mn ( a ≠0, m,n 是正整数， m > n ) 中的 m > n 这个条件去掉，那么 a 3 ÷ a 5 = a 3-5 = a -2 . 于是得到： （ 3 ） → ｝ ｝ ｝ → → （ 1 ） （ 2 ） 深入研究 知识要点 负整数指数幂的意义 一般地，我们规定：当 n 是正整数时， 这就是说， a -n ( a ≠0) 是 a n 的倒数 . 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到 全体整数 . 也就说前面提到的运算性质也推广到 整数指数幂 . 想一想： 对于 a m ，当 m =7 ， 0 ， -7 时，你能分别说出它们的意义吗？ （ 1 ） , . （ 2 ） , . 牛刀小试 填空： 例 1 A ． a ＞ b ＝ c B ． a ＞ c ＞ b C ． c ＞ a ＞ b D ． b ＞ c ＞ a 典例精析 B 方法总结： 关键是理解负整数指数幂的意义，依次计算出结果．当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． 计算： (1)( x 3 y － 2 ) 2 ； (2) x 2 y － 2 ·( x － 2 y ) 3 ； 例 2 解析：先进行幂的乘方，再进行幂的乘除，最后将整数指数幂化成正整数指数幂． 解： (1) 原式＝ x 6 y － 4 (2) 原式＝ x 2 y － 2 · x － 6 y 3 ＝ x － 4 y 提示： 计算结果一般需化为 正整数幂 的形式 . 计算： (3)(3 x 2 y － 2 ) 2 ÷( x － 2 y ) 3 ； (4)(3×10 － 5 ) 3 ÷(3×10 － 6 ) 2 . 例 2 (4) 原式＝ (27×10 － 15 )÷(9×10 － 12 ) ＝ 3×10 － 3 解 ： (3) 原式＝ 9 x 4 y － 4 ÷ x － 6 y 3 ＝ 9 x 4 y － 4 · x 6 y － 3 ＝ 9 x 10 y － 7 计算： 解： 做一做 解： (1) 根据整数指数幂的运算性质，当 m,n 为整数时， a m ÷a n =a m-n 又 a m · a -n =a m-n ， 因此 a m ÷a n =a m · a -n . 即 同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法 . (2) 特别地 ， 所以 即 商的乘方可以转化为积的乘方 . 总结归纳 整数指数幂的运算性质归结为 (1) a m ·a n = a m+n ( m 、 n 是整数 ) ； (2)( a m ) n = a mn ( m 、 n 是整数 ) ； (3)( ab ) n = a n b n ( n 是整数 ). 例 3 解析：分别根据有理数的乘方、 0 指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算． 科学记数法 二 科学记数法 ： 绝对值大于 10 的数记成 a ×10 n 的形式，其中 1≤ a <10 ， n 是正整数 . 忆一忆： 例如， 864000 可以写成 . 怎样把 0.0000864 用科学记数法表示？ 8.64×10 5 想一想： 探一探： 因为 所以， 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10 -5 . 类似地，我们可以利用 10 的 负整数次幂 ，用科学记数法表示一些绝对值 较小 的数，即将它们表示成 a ×10 - n 的形式，其中 n 是正整数， 1≤∣ a ∣ ＜ 10. 算一算： 10 － 2 = ___________; 10 － 4 = ___________; 10 － 8 = ___________. 议一议： 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 一般地， 10 的 - n 次幂，在 1 前面有 _________ 个 0 . 想一想： 10 － 21 的小数点后的位数是几位？ 1 前面有几个零？ 0.01 0.0001 0.00000001 通过上面的探索，你发现了什么？ : n 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 即利用 10 的负整数次幂，把一个绝对值小于 1 的数表示成 a ×10 - n 的形式，其中 n 是正整数， 1 ≤ ︴ a ︴<10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面这个零） . 知识要点 例 4 用小数表示下列各数： (1)2×10 － 7 ； (2)3.14×10 － 5 ； (3)7.08×10 － 3 ； (4)2.17×10 － 1 . 解析：小数点向左移动相应的位数即可． 解： (1)2×10 － 7 ＝ 0.0000002 ； (2)3.14×10 － 5 ＝ 0.0000314 ； (3)7.08×10 － 3 ＝ 0.00708 ； (4)2.17×10 － 1 ＝ 0.217. 1 . 用科学记数法表示： （ 1 ） 0.000 03 ； （ 2 ） -0.000 006 4 ； （ 3 ） 0.000 0314 ； 2 . 用科学记数法填空： （ 1 ） 1 s 是 1 μ s 的 1 000 000 倍，则 1 μ s ＝ ______ s ； （ 2 ） 1 mg ＝ ______ kg ；（ 3 ） 1 μ m ＝ ______ m ；　　　　　 （ 4 ） 1 nm ＝ ______ μ m ；（ 5 ） 1 cm 2 ＝ ______ m 2 ； （ 6 ） 1 ml ＝ ______ m 3 . 练一练 例 5 纳米是非常小的长度单位 ， 1nm=10 -9 m . 把 1 nm 3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上， 1mm 3 的空间可以放多少个 1 nm 3 的物体（ 物体之 间隙忽略不 计 ）？ 典例精析 答： 1mm 3 的空间可以放 10 18 个 1nm 3 的物体 . 解： 10 18 是一个非常大的数 ，它是 1 亿（即 10 8 ）的 100 亿（即 10 10 ）倍 . 当堂练习 1. 填空： (-3) 2 ·(-3) -2 =( ) ； 10 3 ×10 -2 =( ); a -2 ÷ a 3 =( ); a 3 ÷ a -4 =( ). 2. 计算： (1)0.1÷0.1 3 (2)(-5) 2 008 ÷(-5) 2 010 (3)10 0 ×10 -1 ÷10 -2 (4) x -2 · x -3 ÷ x 2 1 10 a 7 4. 下列是用科学 记 数法表示的数，写出原来的数 . （ 1 ） 2×10 － 8 （ 2 ） 7.001×10 － 6 3. 计算： （ 1 ）（ 2×10 － 6 ） × （ 3.2×10 3 ） （ 2 ）（ 2×10 － 6 ） 2 ÷ （ 10 － 4 ） 3 . 答案 : （ 1 ） 0.000 000 02 （ 2 ） 0.000 007 001 = 6.4×10 -3 ； = 4 5. 比较大小： （ 1 ） 3.01×10 － 4 _______9.5×10 － 3 （ 2 ） 3.01×10 － 4 ________3.10×10 － 4 < < 6. 用科学记数法把 0.000 009 405 表示成 9.405×10 n ，那么 n = . -6 课堂小结 整数指数幂运算 整数 指数幂 1. 零指数幂： 当 a ≠0 时， a 0 =1. 2. 负整数指数幂： 当 n 是正整数时， a -n = 整数指数幂的运算性质： （ 1 ） a m ·a n =a m+n （ m ， n 为整数， a ≠0 ） （ 2 ）（ ab ） m = a m b m （ m 为整数， a ≠0 ， b ≠0 ） （ 3 ）（ a m ） n = a mn （ m ， n 为整数， a ≠0 ） 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 绝对值小于 1 的数用科学记数法表示为 a ×10 - n 的形式， 1≤│ a │ <10 ， n 为原数第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数（包括小数点前面那个 0 ） .