重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理:八年级数学上(RJ)15

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15.2.3 整数指数幂 第十五章 分 式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 学习目标 1. 理解并 掌握 整数指数幂的运算性质 . (重点) 2. 会用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 . (重点) 3. 理解 负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题 .(难点) 导入新课 问题引入 算一算,并分别说出每一小题所用的运算性质.   ( 2 ) = ; 同底数幂的乘法: ( m , n 是正整数) 幂的乘方: ( m , n 是正整数) ( 3 ) = ; 积的乘方: ( n 是正整数) 算一算,并分别说出每一小题所用的运算性质. ( 4 ) = ; 同底数幂的除法: ( a ≠0 , m , n 是正整数且 m>n ) ( 5 ) = ; 商的乘方: ( b ≠0 , n 是正整数) ( 6 ) = ; ( ) 想一想: a m 中指数 m 可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂 a m 表示什么? 讲授新课 负整数指数幂 一 问题: 计算: a 3 ÷ a 5 =? ( a ≠0) 解法 1 解法 2 再假设正整数指数幂的运算性质 a m ÷a n =a mn ( a ≠0, m,n 是正整数, m > n ) 中的 m > n 这个条件去掉,那么 a 3 ÷ a 5 = a 3-5 = a -2 . 于是得到: ( 3 ) → } } } → → ( 1 ) ( 2 ) 深入研究 知识要点 负整数指数幂的意义 一般地,我们规定:当 n 是正整数时, 这就是说, a -n ( a ≠0) 是 a n 的倒数 . 引入负整数指数幂后,指数的取值范围就推广到 全体整数 . 也就说前面提到的运算性质也推广到 整数指数幂 . 想一想: 对于 a m ,当 m =7 , 0 , -7 时,你能分别说出它们的意义吗? ( 1 ) , . ( 2 ) , . 牛刀小试 填空: 例 1 A . a > b = c B . a > c > b C . c > a > b D . b > c > a 典例精析 B 方法总结: 关键是理解负整数指数幂的意义,依次计算出结果.当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. 计算: (1)( x 3 y - 2 ) 2 ; (2) x 2 y - 2 ·( x - 2 y ) 3 ; 例 2 解析:先进行幂的乘方,再进行幂的乘除,最后将整数指数幂化成正整数指数幂. 解: (1) 原式= x 6 y - 4 (2) 原式= x 2 y - 2 · x - 6 y 3 = x - 4 y 提示: 计算结果一般需化为 正整数幂 的形式 . 计算: (3)(3 x 2 y - 2 ) 2 ÷( x - 2 y ) 3 ; (4)(3×10 - 5 ) 3 ÷(3×10 - 6 ) 2 . 例 2 (4) 原式= (27×10 - 15 )÷(9×10 - 12 ) = 3×10 - 3 解 : (3) 原式= 9 x 4 y - 4 ÷ x - 6 y 3 = 9 x 4 y - 4 · x 6 y - 3 = 9 x 10 y - 7 计算: 解: 做一做 解: (1) 根据整数指数幂的运算性质,当 m,n 为整数时, a m ÷a n =a m-n 又 a m · a -n =a m-n , 因此 a m ÷a n =a m · a -n . 即 同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法 . (2) 特别地 , 所以 即 商的乘方可以转化为积的乘方 . 总结归纳 整数指数幂的运算性质归结为 (1) a m ·a n = a m+n ( m 、 n 是整数 ) ; (2)( a m ) n = a mn ( m 、 n 是整数 ) ; (3)( ab ) n = a n b n ( n 是整数 ). 例 3 解析:分别根据有理数的乘方、 0 指数幂、负整数指数幂及绝对值的性质计算出各数,再根据实数的运算法则进行计算. 科学记数法 二 科学记数法 : 绝对值大于 10 的数记成 a ×10 n 的形式,其中 1≤ a <10 , n 是正整数 . 忆一忆: 例如, 864000 可以写成 . 怎样把 0.0000864 用科学记数法表示? 8.64×10 5 想一想: 探一探: 因为 所以, 0.0000864=8.64 ×0.00001=8.64 ×10 -5 . 类似地,我们可以利用 10 的 负整数次幂 ,用科学记数法表示一些绝对值 较小 的数,即将它们表示成 a ×10 - n 的形式,其中 n 是正整数, 1≤∣ a ∣ < 10. 算一算: 10 - 2 = ___________; 10 - 4 = ___________; 10 - 8 = ___________. 议一议: 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系? 一般地, 10 的 - n 次幂,在 1 前面有 _________ 个 0 . 想一想: 10 - 21 的小数点后的位数是几位? 1 前面有几个零? 0.01 0.0001 0.00000001 通过上面的探索,你发现了什么? : n 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法: 即利用 10 的负整数次幂,把一个绝对值小于 1 的数表示成 a ×10 - n 的形式,其中 n 是正整数, 1 ≤ ︴ a ︴<10. n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数(特别注意:包括小数点前面这个零) . 知识要点 例 4 用小数表示下列各数: (1)2×10 - 7 ; (2)3.14×10 - 5 ; (3)7.08×10 - 3 ; (4)2.17×10 - 1 . 解析:小数点向左移动相应的位数即可. 解: (1)2×10 - 7 = 0.0000002 ; (2)3.14×10 - 5 = 0.0000314 ; (3)7.08×10 - 3 = 0.00708 ; (4)2.17×10 - 1 = 0.217. 1 . 用科学记数法表示: ( 1 ) 0.000 03 ; ( 2 ) -0.000 006 4 ; ( 3 ) 0.000 0314 ; 2 . 用科学记数法填空: ( 1 ) 1 s 是 1 μ s 的 1 000 000 倍,则 1 μ s = ______ s ; ( 2 ) 1 mg = ______ kg ;( 3 ) 1 μ m = ______ m ;      ( 4 ) 1 nm = ______ μ m ;( 5 ) 1 cm 2 = ______ m 2 ; ( 6 ) 1 ml = ______ m 3 . 练一练 例 5 纳米是非常小的长度单位 , 1nm=10 -9 m . 把 1 nm 3 的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上, 1mm 3 的空间可以放多少个 1 nm 3 的物体( 物体之 间隙忽略不 计 )? 典例精析 答: 1mm 3 的空间可以放 10 18 个 1nm 3 的物体 . 解: 10 18 是一个非常大的数 ,它是 1 亿(即 10 8 )的 100 亿(即 10 10 )倍 . 当堂练习 1. 填空: (-3) 2 ·(-3) -2 =( ) ; 10 3 ×10 -2 =( ); a -2 ÷ a 3 =( ); a 3 ÷ a -4 =( ). 2. 计算: (1)0.1÷0.1 3 (2)(-5) 2 008 ÷(-5) 2 010 (3)10 0 ×10 -1 ÷10 -2 (4) x -2 · x -3 ÷ x 2 1 10 a 7 4. 下列是用科学 记 数法表示的数,写出原来的数 . ( 1 ) 2×10 - 8 ( 2 ) 7.001×10 - 6 3. 计算: ( 1 )( 2×10 - 6 ) × ( 3.2×10 3 ) ( 2 )( 2×10 - 6 ) 2 ÷ ( 10 - 4 ) 3 . 答案 : ( 1 ) 0.000 000 02 ( 2 ) 0.000 007 001 = 6.4×10 -3 ; = 4 5. 比较大小: ( 1 ) 3.01×10 - 4 _______9.5×10 - 3 ( 2 ) 3.01×10 - 4 ________3.10×10 - 4 < < 6. 用科学记数法把 0.000 009 405 表示成 9.405×10 n ,那么 n = . -6 课堂小结 整数指数幂运算 整数 指数幂 1. 零指数幂: 当 a ≠0 时, a 0 =1. 2. 负整数指数幂: 当 n 是正整数时, a -n = 整数指数幂的运算性质: ( 1 ) a m ·a n =a m+n ( m , n 为整数, a ≠0 ) ( 2 )( ab ) m = a m b m ( m 为整数, a ≠0 , b ≠0 ) ( 3 )( a m ) n = a mn ( m , n 为整数, a ≠0 ) 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 绝对值小于 1 的数用科学记数法表示为 a ×10 - n 的形式, 1≤│ a │ <10 , n 为原数第 1 个不为 0 的数字前面所有 0 的个数(包括小数点前面那个 0 ) .
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