人教版初中数学八年级下册课件16.3 二根次式的加减

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16.3 二根次式的加减 第十六章 二次根式 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时 二次根式的混合运算 学习目标 1. 掌握二次根式的混合运算的运算法则.（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算. （难点） 导入新课 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法 则法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 复习引入 (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同 学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 讲授新课 二次根式的混合运算及应用一 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式 运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法 则仍然适用. 例1 计算： 1 8+ 3 6 2 4 2 3 6 2 2  （）（ ） ；（ ）（ ） ； 解：1 8+ 3 6 8 6+ 3 6     （）（ ） 4 3+3 2 . 2 4 2 3 6 2 2 4 2 2 2 3 6 2 2       （ ）（ ） 32 3.2   二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再 确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号 内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 归纳 3 ( 2 3)( 2 5). （ ） 2 3 ( 2 3)( 2 5) 2 5 2+3 2 15      （ ） （ ） 解： 13 2 2 .   此处类比“多项式×多 项式”即 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ ab. (1) 3 2 3 27+ 6 3  （ ） ； 0 6(2) 2016 3 + 3 12 . 2  （ ） - 6 3 3 3 3 6    解：(1)原式 3 3 .  (2)原式 1+2 3 3 3   3 2 .  【变式题】计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注 意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 归纳 例2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其 中有一段路基的横断面设计为上底宽 ，下底 宽 ，高 的梯形，这段路基长 500 m，那 么这段路基的土石方 (即路基的体积,其中路基的体积 =路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？ 6 2m 4 2m 6m 4 2m 6m 6 2m 典例精析 解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的 长度，所以这段路基的土石方为：          1 4 2 6 2 6 500 2 2 3 2 6 5002   5 2 6 500   35000 3 m . 答：这段路基的土石方为 35000 3m . 计算：          3 1 6 2 2 2 + 2 1 28- -( ) ； ( ) .  3= 6 2 28 -  3= 6 2 28 - . 3= 2 3 2 3= 32 -        3 1 6 28( ) -    2 2 + 2 1 2 ( ) - = 2 2 2 + 2 2 2 - - = 2 2 2 + 2 2 - - .= 2 - ：解 练一练 问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2; 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 利用乘法公式进行二次根式的运算二 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适 用吗? 整式的乘法 公式就是多 项式×多项 式 前面我们已 经知道二次 根式运算类 比整式运算， 所以适用哟 例3 计算： 21 ( 5 3)( 5 3) ; (2) ( 3 2) .  （） 2 25 3 （ ） （ ） 解： 1 ( 5 3)( 5 3) （） 5 3 2 .    2(2) ( 3 2) 2 23 2 3 2+2   （ ） 3 4 3+4  7 4 3 .  典例精析    (3) 3 2 48 18 4 3 ;   3 2 (4) .a a b a b a ab a b     解： 30.     3 2 4 3 3 2 4 3      (3) 3 2 48 18 4 3      2 2 3 2 4 3  .b a a b         a a b a b a b a ba a b       3 2 (4) a a b a b a ab a b     进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根 式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适 的运算方法，同时要灵活运用乘法公式，因式分解等 来简化运算. 归纳 【变式题】计算： 2018 20181 2 2 3 2 2 3 ;  （）（ ） （ ） 2017 2019 32 2 - 3 2 3 2 .2    （ ）（ ）（ ） 解：(1)原式 20182 2 3 2 2+3 =[（ ）（ ）] 20181=（ ） 1.= (2)原式 2017 2 3[ 2- 3 2 3 ] 2 3 2 2            （ ）（ ） （ ） 20171 7+4 3 3  （ ） 7+4 3 3  7+3 3 . 计算：      2 (1) 2 2-1 ( 2 ) 2- 3 5 7 2 3 .  ；    ( 2 ) 2- 3 5 7 2 3   2 (1) 2 2-1 ： 解 练一练    2- 3 2 3 5 7    5 7    2 22 2 1 2 2 2 1     9 4 2.  5 7.   先用乘法交换律， 再用乘法公式化简. 求代数式的值三 例3 已知 试求x2+2xy+y2的值.3 1, 3 1,x y    解： x2+2xy+y2=（x+y)2 把 代入上式得3 1, 3 1,x y    原式= 2 3+1 + 3 1  （ ）（ ） 22 3 12. （ ） 3 2, 3 2x y    解:∵ ， ∴ ∴x3y+xy3=xy(x2+y2)=xy[(x+y)2-2xy] 3 2, 3 2x y    3 2 3 2 2 3,x y         3 2 3 2 3 2 1,xy         2 1 2 3 2 1 10.        【变式题】 已知 ，求x3y+xy3. 用整体代入法求代数式值的方法：求关于x,y的 对称式(即交换任意两个字母的位置后，代数式不变)的 值，一般先求x+y,xy,x-y, 等的值，然后将所求代数式 适当变形成知含x+y,xy,x-y, 等式子，再代入求值. 归纳 x y x y 在前面我们学习了二次根式的除法法则时，学会 了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如: 5 7  5 7 7 7    35 7 拓展探究 思考 如果分母不是单个的二次根式，而是含二 次根式的式子，如： 等，该怎样去掉 分母中的二次根式呢？ 2 1, 3 2  根据整式的乘法公式在二次根 式中也适用，你能想到什么好 方法吗？ 例4 计算: 1 41 ; 2 . 3 2 5 1  （） （ ） 解:      1 3 211 3 2. 3 2 3 2 3 2         （）       4 5 1 4 5 142 5 1.45 1 5 1 5 1          （ ） 分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含 根号. 归纳 m a n b m a n b 【变式题】 已知 ,求 .1 1, 5 2 5 2 a b    2 2 2a b  解:∵    1 5 2 5 2, 5 2 5 2 5 2 a           1 5 2 5 2, 5 2 5 2 5 2 b         22 2 2 2 2a b a b ab           2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2        20 2 2 2 5.    解决二次根式的化简求值问题时，先化简已知 条件，再用乘法公式变形、代入求值即可. 归纳 已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.10 解： 3 10 4  3, 10 3.a b    2 2a b  练一练 6 10 10.  2 23 ( 10 3)      3 10 3 3 10 3       10 6 10   当堂练习 1.下列计算中正确的是（ ） 1A. 3( 3 ) 3 3   B.( 12- 27) 3 1   1C. 32 2 22   D. 3( 2 3) 6 2 3   B 2.计算： 22+ 3 24 . （ ） 5 3.设 则a b(填“>”“ < ”或 “= ”）. ,1 10 3 10 3 a b    ， = 4.计算：   ;1 1(1) 32 2 2 ( 2 ) 2 3 2- 3    ；  (1) 32 2 2  解：  4 2 2 2   5 2 2  5. 1 1( 2 ) 2 3 2- 3        2- 3 2 3 2 3 2- 3 2 3 2- 3        4 2 3 2- 3    22 4 4. 2 - 3      ( 3) 3 3 3- 3 ；   ( 4 ) 3 10 2- 5 ;  22=3 3 =9 3=6   解：原式 . 2 01(5) 3 1 3+1 + π-2 + 83        （ ）（ ） （ ） . 2 9+1+2 2 解：原式 6+2 2 .  5.在一个边长为 cm的正方形内部，挖去一个边 长为 cm的正方形，求剩余部分的面积. (6 15 5 5) (6 15 5 5) 解：由题意得 2 2(6 15 5 5) (6 15 5 5)   即剩余部分的面积是 2600 3cm . (6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5) (6 15 5 5)             212 15 10 5 600 3(cm ).   6.(1) 已知 ，求 的值；3 1x   2 2 3x x  解：x2-2x-3=(x-3)(x+1)    3 1 3 3 1 1         3 2 3 2    1.  (2)已知 ，求 的值.5 1 5 1,2 2x y   2 2x xy y  解： 5 1 5 1 5,2 2x y      5 1 5 1 1,2 2xy        222 2 5 1 4.x xy y x y xy         6.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有 如下两种方法将其进一步化简： 2 3 1 方法一：         2 2 3 1 2 3 12 3 1; 3 1 3 1 3 1 3 1           方法二：   3 1 3 12 3 1 3 1. 3 1 3 1 3 1         能力提升：    5 3 5 32 5 3 5 3. 5 3 5 3 5 3         (1)请用两种不同的方法化简： (2)化简： 2 ; 5 3           2 2 2 5 3 2 5 32 5 3; 5 3 5 3 5 3 5 3          解：(1) 1 1 1 1 . 4 2 6 4 8 6 2018 2016           1 4 2 6 4 8 6 2018 20162           1 1 1 1(2) 4 2 6 4 8 6 2018 2016           1 2018 2 .2   课堂小结 二次根式 混合运算 乘法公式 化 简 求 值 分 母 有 理 化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab