八年级数学上册第七章平行线的证明单元综合测试 北师大版

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1 《第 7 章 平行线的证明》 一、选择题 1．下列语句中，是命题的是（ ） A．直线 AB 和 CD 垂直吗 B．过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线 C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．连接 A，B 两点 2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC 的大小是（ ） A．25° B．35° C．50° D．65° 3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A．90° B．100° C．130° D．180° 4．如图，已知△ABC 中，点 D 在 AC 上，延长 BC 至 E，连接 DE，则下列结论不成立的是（ ） A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 5．如图，AB∥CD，直线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EG 平分∠BEF，交 CD 于点 G，∠1=50°，则 ∠2 等于（ ） 2 A．50° B．60° C．65° D．90° 6．如图，已知直线 AB∥CD，BE 平分∠ABC，交 CD 于 D，∠CDE=150°，则∠C 的度数为（ ） A．150° B．130° C．120° D．100° 7．如图，直线 a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB 的度数是（ ） A．84° B．106° C．96° D．104° 8．适合条件∠A= ∠B= ∠C 的△ABC 是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A．150° B．210° C．105° D．75° 10．已知：直线 l1∥l2，一块含 30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2 等于（ ） 3 A．30° B．35° C．40° D．45° 二、填空题 11．命题“对顶角相等”的条件是 ，结论是 ． 12．如图，DAE 是一条直线，DE∥BC，则 x= ． 13．如图，已知 AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B 的度数是 ． 14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= ，∠CED= ． 15．已知如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= ． 16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点 M 逆时 针方向旋转 22°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角α为 度． 4 17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 40°，则该等腰三角形顶角为 °． 18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 度． 三、解答题（共 66 分） 19．已知：如图，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，BE⊥FD 于点 G．求证：AB∥CD． 20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你， 这个人字架的夹角∠1 等于 130°，你能求出∠3 比∠2 大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他 的答案是多少？请说明理由． 21．如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC． 22．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3 的度数． 5 23．如图，△ABC 中，D，E，F 分别为三边 BC，BA，AC 上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°， 求∠EDF 的度数． 24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行说理． 25．【问题】如图①，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= ；若 ∠A=n°，则∠BEC= ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= ； （2）如图③，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？ 请说明理由； （3）如图④，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线 BO 和 CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ （只写结论，不需证明） 6 《第 7 章 平行线的证明》 参考答案与试题解析 一、选择题 1．下列语句中，是命题的是（ ） A．直线 AB 和 CD 垂直吗 B．过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线 C．同旁内角不互补，两直线不平行 D．连接 A，B 两点 【考点】命题与定理． 【分析】根据命题的定义，对一件事情做出判断的语句叫做命题，进行判断． 【解答】解：A、是问句，不是命题； B、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题； C、对一件事情做出了判断，是命题； D、是作图，没有对一件事情做出判断，所以不是命题． 故选 C． 【点评】命题分为真命题和假命题，注意假命题也是命题． 2．如图，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，则∠ABC 的大小是（ ） A．25° B．35° C．50° D．65° 【考点】平行线的性质；垂线． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，然后根据两直线平行内错角相等即可求出∠ABC 的大小． 【解答】解：∵CB⊥DB， ∴∠CBD=90°， ∴∠C+∠D=90°， 7 ∵∠D=65°， ∴∠C=25°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠C=25°． 故选 A． 【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错 角相等；两直线平行同旁内角互补． 3．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A．90° B．100° C．130° D．180° 【考点】三角形内角和定理． 【分析】设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角，再利用三角 形的内角和等于 180°列式整理即可得解． 【解答】解：如图，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1， ∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3， ∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2， 在△ABC 中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°， ∴∠1+∠2=150°﹣∠3， ∵∠3=50°， ∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°． 故选：B． 8 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠1、∠2、∠3 表示出△ABC 的三个内角是解题的关键， 也是本题的难点． 4．如图，已知△ABC 中，点 D 在 AC 上，延长 BC 至 E，连接 DE，则下列结论不成立的是（ ） A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据三角形外角的性质对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：∵∠ADB 是△BDC 的外角， ∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故 B、C 正确； ∵∠ACB 是△CDE 的外角， ∴∠ACB＞∠DEC， ∵∠ADB＞∠ACB， ∴∠ADB＞∠DEC，故 D 正确； ∠DCE 与∠ADB 的大小无法比较． 故选 A． 【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角大于与之不相邻的任何一个内角是解 答此题的关键． 5．如图，AB∥CD，直线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，EG 平分∠BEF，交 CD 于点 G，∠1=50°，则 ∠2 等于（ ） 9 A．50° B．60° C．65° D．90° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【分析】由 AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF 的度数，又由 EG 平分∠BEF，求得∠BEG 的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2 的度数． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠1=180°， ∵∠1=50°， ∴∠BEF=130°， ∵EG 平分∠BEF， ∴∠BEG= ∠BEF=65°， ∴∠2=∠BEG=65°． 故选 C． 【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁 内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用． 6．如图，已知直线 AB∥CD，BE 平分∠ABC，交 CD 于 D，∠CDE=150°，则∠C 的度数为（ ） A．150° B．130° C．120° D．100° 【考点】平行线的性质；角平分线的定义． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB 的度数， 再根据平行线的性质求出∠C 的度数即可． 【解答】解：∵直线 AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD， ∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°， ∴∠ABD=30°， ∵BE 平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°， 10 ∵AB∥CD， ∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°． 故选 C． 【点评】此题比较简单，考查的是平行线及角平分线的性质，比较简单． 7．如图，直线 a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB 的度数是（ ） A．84° B．106° C．96° D．104° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC=∠1，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得 解． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠ABC=∠1=46°， ∵∠A=38°， ∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°． 故选：C． 【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 8．适合条件∠A= ∠B= ∠C 的△ABC 是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【考点】三角形内角和定理． 【分析】此题隐含的条件是三角形的内角和为 180°，列方程，根据已知中角的关系求解，再判断 三角形的形状． 【解答】解：∵∠A= ∠B= ∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A， ∵∠A+∠B+∠C=180°，即 6∠A=180°， 11 ∴∠A=30°， ∴∠B=60°，∠C=90°， ∴△ABC 为直角三角形． 故选 B． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为 180°． 9．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点 D、E 分别是边 AB、AC 上，将△ABC 沿着 DE 折叠压平，A 与 A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（ ） A．150° B．210° C．105° D．75° 【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）． 【分析】先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根 据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE 及∠A′ED+∠A′DE 的度数，然后根据平角的性质即可求出答 案． 【解答】解：∵△A′DE 是△ABC 翻折变换而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°， ∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°． 故选 A． 【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图 形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 10．已知：直线 l1∥l2，一块含 30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2 等于（ ） 12 A．30° B．35° C．40° D．45° 【考点】平行线的性质． 【专题】探究型． 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质得出∠4 的度数，由直角三角 形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠3 是△ADG 的外角， ∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°， ∵l1∥l2， ∴∠3=∠4=55°， ∵∠4+∠EFC=90°， ∴∠EFC=90°﹣55°=35°， ∴∠2=35°． 故选 B． 【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角 相等． 二、填空题 11．命题“对顶角相等”的条件是 两个角是对顶角 ，结论是 这两个角相等 ． 【考点】命题与定理． 【分析】命题是判断一件事情，由条件和结论组成，都能写成“如果…那么…”的形式，此命题可 写成：如果是对顶角，那么这两个角相等． 13 【解答】解：此命题可写成：如果是对顶角，那么这两个角相等．因此条件是“两个角是对顶角” 结论是“这两个角相等” 故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等． 【点评】本题考查找命题里面的条件和结论，写成“如果…那么…”的形式可降低难度． 12．如图，DAE 是一条直线，DE∥BC，则 x= 64° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】两直线平行，内错角相等，据此进行计算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DAC=∠ACF， 即 70°+x=134°， 解得 x=64°． 故答案为：64°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简 单说成：两直线平行，内错角相等． 13．如图，已知 AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B 的度数是 50° ． 【考点】平行线的性质；三角形内角和定理． 【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠DFE 度数，再根据平行线的性质，求得∠B 的度数． 【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°， ∴∠DFE=50°， 14 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠DFE=50°． 故答案为：50° 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解题时注意：两条平行 线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 14．如图，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，则∠ABD= 70° ，∠CED= 110° ． 【考点】平行线的判定与性质． 【分析】根据平行线的判定得出 DF∥AC，根据平行线的性质求出∠D=∠ABD=70°，根据平行线的性 质得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可． 【解答】解：∵∠A=∠F=40°， ∴DF∥AC， ∵∠D=70°， ∴∠D=∠ABD=70°， ∵DF∥AC， ∴∠CED+∠C=180°， ∵∠C=70°， ∴∠CED=110°， 故答案为：70°，110°． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意： 平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁 内角互补，反之亦然． 15．已知如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，则∠BAC= 120° ． 15 【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【分析】利用外角的性质可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC 中利用内角和定理可列出关于∠2 的方程，可 求得∠2，则可求得∠2+∠DAC，即∠A． 【解答】解： ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2， ∵∠3+∠4+∠DAC=180°， ∴4∠2+100°=180°， ∴∠2=20°， ∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°， 故答案为：120°． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质，由条件得到关于∠2 的方程求出∠2 是解题 的关键． 16．用等腰直角三角板画∠AOB=45°，并将三角板沿 OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点 M 逆时 针方向旋转 22°，则三角板的斜边与射线 OA 的夹角α为 22 度． 【考点】平移的性质；同位角、内错角、同旁内角． 【分析】由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS=∠OWM，即可得答案． 【解答】解：由平移的性质知，AO∥SM， 故∠WMS=∠OWM=22°； 故答案为：22． 16 【点评】本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大 小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 17．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 40°，则该等腰三角形顶角为 50 或 130 °． 【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理． 【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角 形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图， 高与右边腰成 40°夹角，由三角形内角和为 180°可得，顶角为 50°； ②当为钝角三角形时可画图为， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为 180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为 50°，所以三角形的顶角为 130°； 故填 50°或 130°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；做题时，考虑问题要全面，必要的时 候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键． 18．如图所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，则∠A= 10 度． 17 【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质． 【分析】设∠A=x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠ DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，则 180°﹣5x=130°，即可求解． 【解答】解：设∠A=x． ∵AB=BC=CD=DE=EF=FG， ∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得 ∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x， 则 180°﹣5x=130°， 解，得 x=10°． 则∠A=10°． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD 是△ABC 的 外角是正确解答本题的关键． 三、解答题（共 66 分） 19．已知：如图，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，BE⊥FD 于点 G．求证：AB∥CD． 【考点】平行线的判定． 【专题】证明题． 【分析】首先由 BE⊥FD，得∠1 和∠D 互余，再由已知，∠C=∠1，∠2 和∠D 互余，所以得∠C=∠2， 从而证得 AB∥CD． 【解答】证明：∵BE⊥FD， ∴∠EGD=90°， ∴∠1+∠D=90°， 又∠2 和∠D 互余，即∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠2， 又已知∠C=∠1， 18 ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD． 【点评】此题考查的知识点是平行线的判定，关键是由 BE⊥FD 及三角形内角和定理得出∠1 和∠D 互余． 20．一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你， 这个人字架的夹角∠1 等于 130°，你能求出∠3 比∠2 大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他 的答案是多少？请说明理由． 【考点】三角形的外角性质． 【分析】根据邻补角定义求出∠1 的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和求出∠3﹣∠2 等于∠1 的邻补角的度数． 【解答】解：小刚的答案为 50°． 理由如下：如图， 设∠1 的邻补角为∠4， ∵∠1=130°， ∴∠4=180°﹣130°=50°， ∵∠3 是人字架三角形的外角， ∴∠3=∠2+∠4， ∴∠4=∠3﹣∠2=50°， ∴∠3 比∠2 大 50°． 【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于 180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和求解． 21．如图，点 A、B、C、D 在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求证：AE=FC． 19 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】证明题． 【分析】根据 BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用 ASA 求证△ABC 和△FDC 全等即可． 【解答】证明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE 和△FDC 中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关 键是利用平行线的性质求证△ABC 和△FDC 全等． 22．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3 的度数． 【考点】等腰直角三角形． 【分析】根据已知求得∠ACB=45°，进而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根据三角形内角和定理求得 2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根据三角形内角和 180°，从而求得∠3 的度 数． 【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=45°， ∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1， 20 ∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°， ∴2（45°+∠1）+∠1=180° ∴∠1=30°， ∴∠3= =75°． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关 键． 23．如图，△ABC 中，D，E，F 分别为三边 BC，BA，AC 上的点，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°， 求∠EDF 的度数． 【考点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理． 【分析】先根据三角形内角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根据∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+ ∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根据三角形内角和，求得∠EDF 即可． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=110°， ∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC， ∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°， ∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°， ∴∠EDB+∠FDC=140°， 即∠EDF=180°﹣140°=40° 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是 180°． 24．如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED 与∠C 的大小关系，并对结论进行说理． 21 【考点】平行线的性质． 【专题】探究型． 【分析】由图中题意可先猜测∠AED=∠C，那么需证明 DE∥BC．题中说∠1+∠2=180°，而∠1+∠ 4=180°所以∠2=∠4，那么可得到 BD∥EF，题中有∠3=∠B，所以应根据平行得到∠3 与∠ADE 之间 的关系为相等．就得到了∠B 与∠ADE 之间的关系为相等，那么 DE∥BC． 【解答】证明：∵∠1+∠4=180°（邻补角定义） ∠1+∠2=180°（已知） ∴∠2=∠4（同角的补角相等） ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行） ∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B=∠3（已知）， ∴∠ADE=∠B（等量代换）， ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）． 【点评】本题是先从结论出发得到需证明的条件，又从所给条件入手，得到需证明的条件．属于典 型的从两头往中间证明． 25．【问题】如图①，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，若∠A=80°，则∠BEC= 130° ；若∠A=n°，则∠BEC= 90°+ n° ． 【探究】 （1）如图②，在△ABC 中，BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC= 60°+ n° ； （2）如图③，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？ 请说明理由； 22 （3）如图④，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线 BO 和 CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ （只写结论，不需证明） 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理． 【分析】问题：利用三角形的内角和等于 180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠EBC+ ∠ECB，然后根据三角形的内角和等于 180°列式计算即可得解；将∠A 的度数换成 n°，然后求解 即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于 180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB， 然后根据三角形的内角和等于 180°列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD 和∠OCD，再根据角平分 线的定义可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出∠OBC 和∠OCB，然后根据三角形的内角和定理列 式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 【解答】【问题】解：∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°， ∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= ×100°=50°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°； 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°， ∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= ×（180°﹣n°）=90°﹣ n°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣ n°）=90°+ n°； 探究：解：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°， ∵BD，BE 三等分∠ABC，CD，CE 三等分∠ACB， ∴∠EBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB， 23 ∴∠EBC+∠ECB= （∠ABC+∠ACB）= ×（180°﹣n°）=120°﹣ n°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣ n°）=60°+ n°； （2）∠BOC= ∠A． 理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠OCD=∠BOC+∠OBC， ∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线 BO 和 CO 的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD， ∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A=2∠BOC， ∴∠BOC= ∠A； （3）∵O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线 BO 和 CO 的交点， ∴∠OBC= （180°﹣∠ABC）=90°﹣ ∠ABC，∠OCB= （180°﹣∠ACB）=90°﹣ ∠ACB， 在△OBC 中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣ ∠ABC）﹣（90°﹣ ∠ACB）= （∠ ABC+∠ACB）， 由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC= （180°﹣∠A）=90°﹣ ∠A． 故答案为：130°，90°+ n°；（1）60°+ n°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性 质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．