八年级数学期末复习专题练习几何证明

八年级数学期末复习专题练习几何证明

不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 1 八年级数学期末复习专题练习《几何证明》 1.1 练习 1．如图，点 C 、 F 在线段 BE 上， 90ABC DEF     ， BC EF ，请只添加一个合适的条件使 ABC DEF   ． （1）根据“ ASA”，需添加的条件是 ；根据“ HL ”，需添加的条件是 ； （2）请从（1）中选择一种，加以证明． 2．已知，如图， 90ABC ADC     ， M 、 N 分别是 AC 、 BD 的中点． （1）求证： MN BD ； （2）在边 AD 上能否找到一点 P ，使得 PB PD ？请说明理由． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 2 3．如图，在 ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线， 6AE  ， ABD 的周长为 24． （1）求 ABC 的周长； （2）如果 / /AB DE ，求 ABC 的面积． 4．如图， ABC 中， AD BC ， EF 垂直平分 AC ，交 AC 于点 F ，交 BC 于点 E ，且 BD DE ． （1）若 40BAE   ，求 C 的度数； （2）若 ABC 周长13cm ， 6AC cm ，求 DC 长． 5．如图， B 、 C 、 E 三点在同一条直线上， / /AC DE ， AC CE ， ACD B   ． （1）求证： BC DE （2）若 40A   ，求 BCD 的度数． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 3 1.2 练习 6．如图，在直角三角形 ABC 中， 90ABC   ，点 D 在 BC 的延长线上，且 BD AB ，过 B 作 BE AC ， 与 BD 的垂线 DE 交于点 E ．求证： ABC BDE   ． 7．如图， ABC 中， 36A   ， 72C  ， 36DBC   ． （1）求 ABD 的度数． （2）求证： BC AD ． 8．如图，点 C 在线段 AB 上， A B   ， AC BE ， AD BC ， F 是 DE 的中点． （1）求证： CF DE ； （2）若 20ADC   ， 80DCB   ，求 CDE 的度数． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 4 9．如图， ABC 中， 22.5B  ， 60C  ，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D ， 6DE  ， 6 2BD  ，AE BC 于 E ，求 EC 的长． 10．如图，在四边形 ABCD 中， 90ABC ADC     ， M 、 N 分别是 AC 、 BD 的中点． （1）猜一猜， MN 与 BD 的位置关系，并证明你的结论； （2）如果 45BCD   ， 2BD  ，求 MN 的长． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 5 1.3 练习 11．如图，过 ABC 的顶点 C 作 / /CE AB ，且 CE AC ，D 点在 AC 边上，连接 DE ， B EDC   ．求证： BC DE ． 12．如图所示，在 ABC 中， BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ， DE 垂直平分 AC ，垂足为点 E ． （1）证明 BAD C   ； （2） 29BAD   ，求 B 的度数． 13．如图， 已知在 ABC 中， BD AC 于 D ，CE AB 于 E ， M ， N 分别是 BC ， DE 的中点 ． （1） 求证： MN DE ； （2） 若 10BC  ， 6DE  ，求 MDE 的面积 ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 6 14．如图， ABC 中， AB AC ， AD BC ， CE AB ， AE CE ． 求证：（1） AEF CEB   ； （2） 2AF CD ． 15．如图，长方形 ABCD 中 / /AD BC ，边 4AB  ， 8BC  ．将此长方形沿 EF 折叠，使点 D 与点 B 重合， 点 C 落在点 G 处． （1）试判断 BEF 的形状，并说明理由； （2）求 BEF 的面积． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 7 1.9 练习 16．已知，如图： AD 、 BC 相交于点 O ， AD BC ， 90C D     ．求证： AO BO ，CO DO ． 17．如图，折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 8AB cm ， 10BC cm ，求 EC 的长． 18．如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，点 E 在 BA 的延长线上，且 / /EC AD ．证明： ACE 是等腰三 角形． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 8 19．如图， AD 是 ABC 的角平分线， DE 、 DF 分别是 ABD 和 ACD 的高，求证： AD 垂直平分 EF ． 20．如图， CDE B   ， ACE BCD   ， AC CE ， AC 、 DE 相交于点 F ． （1）求证： CD CB ； （2）若 50BCD   ，求 ADE 的度数． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 9 1.10 练习 21．在 ABC 中， AB AC ， D ， E 分别是 AC ， AB 上的点， BE CD ， BD 交CE 于 O ． 求证： OBC 为等腰三角形． 22．如图，在 ABC 中， AB AC ，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 BC 、 AC 边上，且 BE CF ， BD CE ． （1）求证： DEF 是等腰三角形； （2）当 40A   时，求 DEF 的度数． 23．已知：如图，在四边形 ABCD 中， 90ABC ADC     ，点 E 是 AC 的中点． （1）求证： BED 是等腰三角形： （2）当 BCD   时， BED 是等边三角形． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 10 24．如图所示，一个四边形纸片 ABCD ， 90B D     ，把纸片按如图所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的 B 点， AE 是折痕． （1）试判断 B E 与 DC 的位置关系； （2）如果 130C   ，求 AEB 的度数． 25．如图，在 ABC 中， AB AC ， 36A   ， DE 是 AC 的垂直平分线． （1）求证： BCD 是等腰三角形； （2） BCD 的周长是 a ， BC b ，求 ACD 的周长（用含 a ， b 的代数式表示）． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 11 1.16 练习 26．如图， / /AD BC ， 90A   ， E 是 AB 上的一点，且 AD BE ， 1 2   ． （1）求证： ADE BEC   ； （2）若 3AD  ， 9AB  ，求 ECD 的面积． 27．如图，在四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于点 O ， AB DC ， 1 2   ．求证： AC BD ． 28．如图， ABC 中， B C   ，点 D 、 E 在边 BC 上，且 AD AE ，求证： BE CD ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 12 29．已知：如图，点 C 、 D 、 B 、 F 在一条直线上，且 AB BD ， DE BD ， AB CD ， CE AF ． 求证：（1） ABF CDE   ；（2） CE AF ． 30．如图， C 是线段 AB 的中点， CD 平分 ACE ， CE 平分 BCD ， CD CE ． （1）试说明 ACD BCE   ； （2）若 50D  ，求 B 的度数． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 13 参考答案与试题解析 1.1 练习 1． 解 ： （ 1 ） 根 据 “ ASA ” ， 需 添 加 的 条 件 是 ACB DFE   ，根据“ HL ”，需添加的条件是 AC DF ， 故答案为： ACB DFE   ， AC DF ； （2）选择添加条件 AC DF 证明， 证明： 90ABC DEF     ， 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中， AC DF BC EF    ， Rt ABC Rt DEF(HL)    ． 2． 解：（1）连接 BM 、CM ， 90ABC ADC     ， M 是 AC 的中点， 1 2BM AC  ， 1 2DM AC ， BM DM  ，又 N 为 BD 的中点， MN BD  ； （2）作线段 BD 的垂直平分线交 AD 于 P ， 根据线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离 相等可知， PB PD ． 3． 解：（1） DE 是 AC 的垂直平分线， AD CD  ， 6AE CE  ， 12AC  ． ABD 的周长为 24， 24AB BD AC AB BD CD AB BC         ， ABC 的周长为： 36AB BC AC   ； （2） / /AB DE ， DE AC ， AB AC  ， 设 AB x ，则 24BC x  ， 在 Rt ABC 中， 2 2 2AB AC BC  ， 2 2 212 (24 )x x    ， 解得： 9x  ， 1 542ABCS AB AC   ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 14 4． 解：（1） AD 垂直平分 BE ， EF 垂直平分 AC ， AB AE EC   ， C CAE   ， 40BAE   ， 70AED   ， 1 352C AED     ； （2） ABC 周长13cm ， 6AC cm ， 7AB BE EC cm    ， 即 2 2 7DE EC cm  ， 3.5DE EC DC cm    ． 5． （1）证明： / /AC DE ， ACB DEC   ， ACD D   ， ACD B   ． D B   ， 在 ABC 和 DEC 中， ACB E B D AC CE         ， ( )ABC CDE AAS   ， CB DE  ； （2）解： ABC CDE   ， 40A DCE     180 40 140BCD      ． 1.2 练习 6． 证明：在 Rt ABC 中， 90ABC   ， 90ABE DBE     ， BE AC ， 90ABE A     ， A DBE   ， DE 是 BD 的垂线， 90D   ， 在 ABC 和 BDE 中，  A DBE AB DB ABC D         ， ( )ABC BDE ASA   ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 15 7． （1）解：在 ABC 中， 180 72ABC A C         ， 36ABD ABC DBC       ； （2）证明：在 BCD 中， 180 72BDC DBC C         ， BDC C   ， BD BC  ， 又 ABD A   ， BD AD  ， BC BD AD   ． 8． 证明：（1） AC BE ， A B   ， AD BC ， ( )ADC BCE SAS   CD CE  ， 又 F 是 DE 的中点， CF DE  ； （ 2 ） ADC BCE   ， 20ADC   ， 80DCB   ， 20ADC ECB     ， 100DCE DCB ECB       ， 又 CD CE ， 40CDE   9． 解：连接 AD ， 已知 DF 垂直且平分 AB BD AD  ， 22.5B  ， 60 97.5C BAC      ， 根据三角形外角与外角性质可得， 45ADE B DAB       ， AE BC ， 故 45DAE AED     为等腰三角形， 根据等腰三角形的性质可得 6DE AE  ， 60C   ， 90 60 30CAE       ， 2AC CE  ， 在 Rt ACE 中， 2 2 2AC AE CE  ， 即 2 2 24 6CE CE  ， 2 12CE  ， 解得 2 3EC  ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 16 10． 解：（1）猜想 MN BD ． 证明：连接 BM ， DM ， 90ABC   ， AM MC ，  1 2BM AC ， 同理 1 2DM AC ， BM DM  ， BN ND ， MN BD  （2） AM BM ， 2BMC MAB ABM BAM       ， 同理 2CMD CAD   ， 2 90BMD BCD     ， BM MD ， BMD 是等腰直角三角形（9 分），  1 12MN BD  ． 1.3 练习 11． 证明： / /CE AB ， A ECA   ， 在 ABC 和 CDE 中 A ECA B EDC CE AC         ， ( )ABC CDE AAS  ， BC DE  ． 12． 解：（1） AD 平分 BAC BAD DAE   ， DE 垂直平分 AC ， DA DC  ， DAE C   ， BAD C   ； （2） AD 平分 BAC BAD DAE   ， 29BAD   ， 29DAE   ， 58BAC   ， DE 垂直平分 AC ， AD DC  ， 29DAE DCA     ， 180BAC DCA B       ， 93B   ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 17 13． （1） 证明： 连接 ME 、 MD ， BD AC ， 90BDC  ， M 是 BC 的中点， 1 2DM BC  ， 同理可得 1 2EM BC ， DM EM  ， N 是 DE 的中点， MN DE  ； （2） 解： 10BC  ， 6ED  ， 1 52DM BC   ， 1 32DN DE  ， 由 （1） 可知 90MND   ， 2 2 2 25 3 4MN MD DN      ， 1 1 6 4 122 2MDES DE MN      14． 证明：（1） AD BC ， CE AB ， 90AEF CEB     ． 即 90AFE EAF CFD ECB         ． 又 AFE CFD   ， EAF ECB   ． 在 AEF 和 CEB 中， AFE B AEF CEB AE CE         ( )AEF CEB AAS   ； （2） AEF CEB   ， AF BC  ， AB AC ， AD BC CD BD  ， 2BC CD ． 2AF CD  ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 18 15． 解：（1） BEF 是等腰三角形． / /ED FC ， DEF BFE   ， 根据翻折不变性得到 DEF BEF   ， 故 BEF BFE   ． BE BF  ． BEF 是等腰三角形； （2）矩形 ABCD 沿 EF 折叠点 B 与点 D 重合， BE DE  ， BG CD ， 90EBG ADC     ， 90G C     ， AB CD ， AB BG  ， 设 BE DE x  ，则 8AE AD DE x    ， 在 Rt ABE 中， 2 2 2AB AE BE  ， 即 2 2 24 (8 )x x   ， 解得 5x  ， 5BE  ， 90ABE EBF ABC       ， 90GBF EBF EBG      ， ABE GBF   ， 在 ABE 和 GBF 中， ABE GBF AB BG A G         ， ( )ABE GBF ASA   ， 5BF BE   ， EBF 的面积 1 5 4 102     ． 1.9 练习 16． 解： 90C D     ， ACB 和 ADB 为直角三角形， 在 Rt ACB 和 Rt ADB 中， AD BC AB BA    Rt ACB Rt ADB    ， ABC BAD   ， OA OB  ， AD BC ， AD OA BC OB    ， 即 OD OC ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 19 17． 解：四边形 ABCD 为长方形， 8DC AB   ， 10AD BC  ， 90B D C       ， 折叠矩形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处 10AF AD   ， DE EF ， 在 Rt ABF 中， 2 2 2 210 8 6BF AF AB     ， 4FC BC BF    ， 设 EC x ，则 8DE x  ， 8EF x  ， 在 Rt EFC 中， 2 2 2EC FC EF  ， 2 2 24 (8 )x x    ，解得 3x  ， EC 的长为 3cm ． 18． 证明： AD 平分 BAC ， BAD CAD   ， / /EC AD ， BAD E   ， CAD ACE   ， E ACE   ， ACE 是等腰三角形． 19． 证明：设 AD 、 EF 的交点为 K ， AD 平分 BAC ， DE AB ， DF AC ， DE DF  ． DE AB ， DF AC ， 90AED AFD     ， 在 Rt ADE 和 Rt ADF 中， AD AD DE DF    ， Rt ADE Rt ADF(HL)    ， AE AF  ． AD 是 ABC 的角平分线 AD 是线段 EF 的垂直平分线． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 20 20． 证明：（1） ACE BCD   ， ACE ACD BCD ACD       ， 即 ECD ACB   ， 在 ECD 与 ACB 中 CDE B ECD ACB AC CE         ， ( )ECD ACB AAS   ， CD CB  ， （2） ECD ACB   ， E A   ， EFC AFD   ， ACE ADE   ， 50ACE BCD     ， 50ADE   ． 1.10 练习 21． 证明： AB AC ， ABC ACB   ， 在 BCE 和 CBD 中，  BE CD CBE BCD BC CB       ， ( )BCE CBD SAS   ， BCE CBD   ， OB OC  ， OBC 是等腰三角形． 22． 证明： AB AC ， ABC ACB   ， 在 DBE 和 CEF 中 BE CF ABC ACB BD CE       ， DBE CEF   ， DE EF  ， DEF 是等腰三角形； （2） DBE CEF   ， 1 3   ， 2 4   ， 180A B C       ， 1 (180 40 ) 702B       1 2 110     3 2 110     70DEF   不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 21 23． 证明：（1） 90ABC ADC     ，点 E 是 AC 边 的中点， 1 2BE AC  ， 1 2DE AC ， BE DE  ， BED 是等腰三角形； （2） AE ED ， DAE EDA   ， AE BE ， EAB EBA   ， DAE EDA DEC     ， EAB EBA BEC     ， 1 2DAB DEB   ， BED 是等边三角形， 60DEB   ， 30BAD   ， 360 90 90 30 150BCD           ． 故答案为：150． 24． 解：（1）由于 AB 是 AB 的折叠后形成的， 90AB E B D        ， / /B E DC  ； （2）折叠， ABE  △ AB E ， AEB AEB    ，即 1 2AEB BEB    ， / /B E DC ， 130BEB C      ， 1 652AEB BEB      ． 25． （1）证明： AB AC ， 36A   ， 180 722 AB ACB         ， DE 是 AC 的垂直平分线， AD DC  ， 36ACD A     ， CDB 是 ADC 的外角， 72CDB ACD A       ， B CDB   ， CB CD  ， BCD 是等腰三角形； （2）解： AD CD CB b   ， BCD 的周长是 a ， AB a b   ， AB AC ， AC a b   ， ACD 的周长 AC AD CD a b b b a b         ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 22 1.16 练习 26． 解：（1） / /AD BC ， 90A   ， 1 2   ， 90A B    ， DE CE ． AD BE ， 在 Rt ADE 与 Rt BEC 中 AD BE DE CE    ， Rt ADE Rt BEC(HL)    （ 2 ） 由 ADE BEC   得 AED BCE   ， AD BE ． 90AED BEC BCE BEC         ． 90DEC   ． 又 3AD  ， 9AB  ， 3BE AD   ， 9 3 6AE    ． 1 2   ， 2 2 2 26 3 3 5ED EC AE AD       ， CDE 的面积 1 453 5 3 52 2     ． 27． 证明：在 AOB 和 DOC 中， 1 2 AOB DOC AB DC         ( )AOB DOC AAS   OA OD  ， OB OC ， OA OC OD OB    ， AC BD  ． 28． 证明： AD AE ， ADE AED   ， BDA CEA   ， 在 ABD 和 ACE 中 B C BDA CEA AD AE         ， ( )ABD ACE AAS   ． BD CE  ， BE CD  ． 不忘初心 方能驰骋 初中数学备课组 23 29． 证明： （1） AB BD ， DE BD ， 90ABC CDE     ， 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 CE AF AB CD    ． Rt ABF Rt CDE(HL)    ； （2） ABF CDE   （已证）， BAF DCE   ， 90BAF CGB     ， 90BAF AGE     ， 90AEG   ， 即 CE AF ． 30． （1）证明： C 是线段 AB 的中点 AC BC  CD 平分 ACE ，CE 平分 BCD ， ACD ECD   ， BCE ECD   ， ACD BCE   ， 在 ACD 和 BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE       ， ( )ACD BCE SAS   ． （2）解： ACD BCE   ， 50D E    ， 1 2 3 180       ， 1 2 3     ， 1 2 3 60       ， 180 3 70B E         ．