第三章《图形的平移与旋转》导学

第三章《图形的平移与旋转》导学

初二数学下 第三章 ‎ 图形的平移与旋转 一． 开心一刻 老虎害怕的那种动物：‎ ‎“孩子们，我们早已知道老虎是原始林中之王，林中的动物都怕它。但是，老虎是不是也害怕什么动物呢？贝比克，老虎害怕的那种动物叫什么名称？”贝比克毫不犹豫地回答说：“老师，它叫母老虎！”‎ 二． 大脑扫描 1、 平移的定义：_________________________________________________________________‎ ‎ ________________________________________________________________。‎ 2、 平移的特点：（1）_____________________________________________________。‎ ‎ （2）_____________________________________________________。‎ 3、 平移的性质：（1）_____________________________________________________。‎ ‎ （2）_____________________________________________________。‎ ‎ （3）_____________________________________________________。‎ 4、 平移作图步骤：（1）___________________________________________________。‎ ‎ （2）___________________________________________________。‎ ‎ （3）___________________________________________________。‎ ‎ （4）___________________________________________________。‎ 5、 旋转的定义：________________________________________________________________‎ ‎ _______________________________________________________________。‎ 6、 旋转的特点:（1）____________________________________________________。‎ ‎ （2）____________________________________________________。‎ 7、 旋转角：___________________________________________________________________。‎ 8、 旋转中心：_________________________________________________________________。‎ 9、 旋转的特点：（1）__________________________________________________。‎ ‎ （2）__________________________________________________。‎ 10、 旋转的性质：（1）_________________________________________________。‎ ‎ （2）_________________________________________________。‎ ‎ （3）_________________________________________________。‎ ‎ （4）_________________________________________________。‎ 11、 旋转作图步骤：（1）______________________________________________。‎ ‎ （2）______________________________________________。‎ ‎ （3）______________________________________________。‎ ‎ （4）______________________________________________。‎ 20‎ 三． 知识刷新 知识点一：图形的平移概念与性质 例1：下列运动属于平移的是（ ）‎ A. 在冷水加热过程中，小气泡升为大气泡 B. 急刹车时，汽车在地面上的滑 C. 随手抛出的彩球运动 D. 随风飘动的风筝在空中的运动 例2：（1）将线段AB向右平移得到线段CD，如果AB=，则CD=_______。‎ ‎ （2）将向上平移得到？如果，则=____BF=______。‎ ‎（3）将面积为的等腰直角三角形ABC向下平移，得到，则是__________三角形，它的面积是_________。‎ 例3：如图，有一副宽为，长为的矩形图案，在矩形中镶嵌了两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2，求剩余部分的面积。设每天横彩条的宽为，则每条竖彩条的宽为，剩余部分的面积为______________。（用含的代数式表示）‎ ‎ ‎ 例4：如图，在的边BC上取两点D，E,且使BD=CE。试运用三角形三边间的关系和平移的知识找出AB+AC与AD+AE之间的长度关系，并说明理由。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例5：‎ 20‎ 如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An-1Bn-1Cn-1Dn-1沿An-1Bn-1的方向平移5个单位，得到矩形（＞2）。 （1）求AB1和AB2的长。 （2）若的长为56，求n。‎ 挑战自我，勇攀高分 ‎1、（1）如果小狗向左移动了50米，那么拖着的箱子向（ ）方向移动。移动了（ ）距离。‎ ‎ （2）如果小狗向右跑了80cm，那么箱子向 移动了 。‎ ‎ ‎ ‎2、如图，所示，Rt△A′B′C′是△ABC向右平移3cm所得，已知∠B＝60°，‎ B′C＝5cm，则∠C′＝_____________，B′C′＝_____________cm。‎ 3、 如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为？‎ ‎ ‎ ‎4、‎ 20‎ 如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为多少？‎ ‎ ‎ 4、 如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（ ）。‎ ‎ ‎ A、户最长 B、户最长 C、户最长 D、三户一样长 5、 如图的图形中只能用其中一部分平移可以得到的是（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6、如图，一块砖的外侧面积为x，那么图中残留部分墙面的面积为（ ）‎ ‎ ‎ A、 ‎ B、 C、 D、‎ ‎7、‎ 20‎ 小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积。 小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）． 参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF． （1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于多少？‎ 知识点二：平移作图 例1：如图，已知线段AB和端点A平移到位置C，作出线段AB平移后的图形。‎ ‎ ‎ 作法：连结AC，再过点B作线段BD，使BD满足__________且___________，连线CD，则CD为所作的图形。‎ 作图：过C点作线段CD使CD满足_________且__________，那么CD为所作的图形。‎ 例2：如右图，经过平移，相交线段AB，CD的交点O移到了，你能作出相交线段AB、CD平移后的图形吗？‎ 20‎ ‎ ‎ 例4：如图，是平移后的图形，F是C的对应点，作出。‎ ‎ ‎ ‎，‎ 挑战自我，勇攀高分 1、 如右图，正方形ABCD的对角线交点O移到了的位置，你能作出此正方形平移后的图形。‎ ‎ ‎ ‎2、汽车在笔直的公路上行驶，我们可以把它看成是汽车沿着公路的方向移动了一定的距离，这既是平移，想一想，如果汽车在盘山公路上行驶，这也是数学上的平移吗？为什么？‎ ‎3、如图，经过平移五角星的顶点A遇到了B，作出平移后的图形。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 知识点三：旋转的概念与性质 例1如图所示， AEF可以看做是 ABC绕其顶点A旋转角得到的，那么旋转中心是____________，旋转角是______________。‎ 20‎ ‎ ‎ 例2：如图，的∠BAC=120º，以BC为边向形外作等边，把 绕着D点按顺时针方向旋转60º后到的位置。若，求∠BAD的度数和AD的长。‎ ‎ ‎ 例3：.钟表的分针匀速旋转一周需要60分钟，那么：‎ ‎ （1）它的旋转中心是什么？ ‎ ‎ （2）分针旋转一周，时针旋转多少度？‎ ‎ （3）下午3点半时，时针和分针的夹角是多少度？ ‎ 例4：有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图甲），连结BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．‎ ‎⑴试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；‎ ‎ ‎ ‎⑵小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图乙），设旋转角为β(0°＜β＜ 90°), 当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数。‎ 20‎ 例5：已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点M，N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN。‎ ‎（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明。‎ M B C N 图3‎ A D ‎（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？并说明理由。‎ B C N M 图2‎ A D B C N M 图1‎ A D 例6：、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ。‎ ‎（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论。‎ ‎（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由。 ‎ 20‎ ‎ ‎ 例7：如图，将含角的直角三角板（）绕其直角顶点逆时针旋转解（），得到，与相交于点，过点作交于点，连结．设，的面积为，的面积为。‎ ‎（1）求证：是直角三角形；‎ ‎（2）试求用表示的函数关系式，并写出的取值范围；‎ ‎（3）以点为圆心，为半径作，‎ ‎ ①当直线与相切时，试探求与之间的关系； ‎ ‎ ②当时，试判断直线与的位置关系，并说明理由。‎ B 第28题图 A E N M C D 挑战自我，勇攀高分 1、 在钟表10：10分，时针和分针的夹角是多少度？‎ 20‎ ‎2、如图所示：正方形ABCD中E为BC的中点，将面ABE旋转后得到△CBF。‎ ‎（1）指出旋转中心及旋转角度．‎ ‎（2）判断AE与CF的位置关系．‎ ‎（3）如果正方形的面积为18cm2，△BCF的面积为4cm2,问四边形AECD的面积是多少？‎ ‎ ‎ ‎3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，求∠EAF ‎4、将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．研究：‎ ‎（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，△PBE能否为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。‎ ‎5、已知如图1，点P是正方形ABCD的BC边上一动点，AP交对角线BD于点E，过点B作BQ⊥AP于G点，交对角线AC于F，交边CD于Q点。‎ ‎（1）小聪在研究图形时发现图中除等腰直角三角形外，还有几对三角形全等．请你写出其中三对全等三角形，并选择其中一对全等三角形证明。‎ ‎（2）小明在研究过程中连结PE，提出猜想：在点P运动过程中，是否存在∠APB＝∠CPF？若存在，点P应满足何条件？并说明理由；若不存在，为什么？‎ 20‎ 第26题图 图1‎ 图2‎ 知识点四：旋转作图 例1：方格纸中作旋转图形如下图，在方格纸上作出“小旗子”绕O点按顺时针方向旋转90°后的图案，并简述理由。‎ ‎ ‎ 这面小旗子是结构简单的平面图形，在方格纸上大家能画出它绕点旋转后的图形，那么在没有方格纸或旋转角不是特殊角的情况下，能否也画出简单平面图形旋转后的图形呢？‎ 例2：例1：将A点绕O点沿顺时针方向旋转60˚。‎ ‎:.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3：将线段AB绕O点沿顺时针方向旋转60˚。‎ 20‎ ‎ ‎ 例4：如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 挑战自我，勇攀高分 ‎1、在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案。‎ ‎2、画出一个正三角形绕它的一个顶点按逆时针方向旋转，分别作出旋转下列角度后的图形。‎ ‎（1）30° (2) 60° （3）90° （4）120° ‎ ‎3、如图，将三角形做以下变化：向右平移三个单位后再绕点O顺时针旋转90°，请你作出变化后的图形。‎ 20‎ 四． 中考体验 一、 选择题 1、 在方格纸中，将图中的三角形甲平移到图中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么下面的平移方法中，正确的是（ ）‎ ‎ ‎ A. 先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 2、 将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ )‎ ‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ 3、 如图，由“基本图案”正方形ABCD绕O点顺时针旋转后的图形是（ ）‎ 20‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4、如图，△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的，则这个变换过程是。‎ ‎（A）平移 （B）轴对称 （C）旋转 （D）平移后再轴对称 ‎ ‎ ‎5、将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图 ② 中，将骰子向右翻滚90 ，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ）‎ ‎ A.6 B.5 C.3 D.2‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎6、钟表分针的运动可看做是一种旋转现象，一只标准时钟的分针匀速旋转，经过15分针旋转了_________度。‎ ‎7、如图，三角板ABC的两直角边AC，BC的长分别是40cm和30cm，点G在斜边AB上，且BG=30cm，将这个三角板以G为中心按逆时针旋转90°，至△A′B′‎ 20‎ C的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形EFGD）的面积为______。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8、已知以下四个汽车标志图案：‎ ‎ ‎ 其中是轴对称图形的是_________（只需填入图案代号）。‎ ‎9、如图，菱形ABCD中，AB=2，,菱形ABCD在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转叫做一次操作，则经过36次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为___________（结果保留）。‎ ‎ ‎ 三、 解答题 20‎ 1、 如图，在所给网格中完成下列各题：‎ （1） 画出图1关于直线MN对称的图2；‎ （2） 从平移的角度看，图2是由图1向_________平移________个单位得到的；‎ （3） 画出图1绕着点P逆时针方向旋转后的图3。‎ ‎ ‎ 2、 如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC边上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）如果∠AEC=75°，将△ADE绕着点A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小。‎ ‎ ‎ 五． 竞赛体验 1、 如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG，EF交AD于H，那么DH的长为________。‎ ‎ ‎ 2、 如图，P是等边内部一点，、、的大小之比是5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形的三个角的大小（从小到大）之比是（ ）‎ ‎ ‎ 20‎ 六． 家庭作业 一、选择题 ‎1‎ H A D E O G ‎ B C ‎ F 、如图,所给的图案由ΔABC绕点O顺时针 旋转( )前后的图形组成的。‎ A. 450、900、1350 ‎ ‎ B. 900、1350、1800 ‎ ‎ C.450、900、1350、1800、2250‎ ‎ D.450、1350、2250、2700.‎ ‎2、将如图所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体的左视图是（ ）‎ D A B C C B A 图1‎ ‎ ‎ ‎3、如图，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ ‎4、如图，线段AB=CD，AB与CD相交于点O，且，CE由AB平移所得，则AC+BD与AB的大小关系是：（ ）‎ A、 B、 C、 D、无法确定 ‎ ‎ 20‎ ‎5、如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形，则图中阴影部分面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎6、如图，将边长为（n=1,2,3…）的正方形纸片从左到右顺序摆放，其对应的正方形的中心依次为A、A、A…..。①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为__________；②若摆放前n个（n为大于1的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为________。‎ ‎ ‎ 20‎ 三、解答题 ‎7、如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到。‎ ‎（1）在正方形网格中，作出；（不要求写作法）‎ B C A ‎（2）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积。（结果保留）‎ ‎8、BC与水平方向夹角为450，四边形BCDE是等腰梯形时，CD=EF=AB=BC=40cm，‎ ‎ (1)请作出小明将圆盘从A点滚动至F点其圆心所经过的路线示意图 ‎(2)求出(1)中所作路线的长度。‎ ‎ ‎ 20‎ 七． 反思总结 ‎_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。‎ 20‎