高考理科数学专题复习练习14.1几何证明选讲

高考理科数学专题复习练习14.1几何证明选讲

第十四章选修模块 ‎14.1几何证明选讲 专题4‎ 圆周角、弦切角及圆的切线 ‎■(2015沈阳大连二模,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)选修4—1:几何证明选讲 如图,☉O内切于△ABC的三边于D,E,F,AB=AC,连接AD交☉O于点H,直线HF交BC的延长线于点G.‎ 求证:(1)圆心O在直线AD上;‎ ‎(2)点C是线段GD的中点.‎ 证明:(1)∵AB=AC,AF=AE,∴CF=BE.‎ 又CF=CD,BD=BE,‎ ‎∴CD=BD.‎ 又△ABC是等腰三角形,‎ ‎∴AD是∠CAB的角平分线.‎ ‎∴圆心O在直线AD上.‎ ‎(2)‎ 连接DF,由(1)知,DH是☉O的直径,‎ ‎∴∠DFH=90°,‎ ‎∴∠FDH+∠FHD=90°,‎ ‎∴∠FDH=∠G.‎ ‎∴∠G+∠FHD=90°.‎ ‎∵☉O与AC相切于点F,‎ ‎∴∠AFH=∠GFC=∠FDH,‎ ‎∴∠GFC=∠G,∴CG=CF=CD,‎ ‎∴点C是线段GD的中点.‎ ‎■(2015江西新余一中高考模拟,圆周角、弦切角及圆的切线,解答题,理22)如图,△ABC内接于圆O,AD平分∠BAC交圆于点D,过点B作圆O的切线交直线AD于点E.‎ 求证:(1)∠EBD=∠CBD;‎ ‎(2)AB·BE=AE·DC.‎ 证明:(1)∵BE为圆O的切线,‎ ‎∴∠EBD=∠BAD.‎ ‎∵AD平分∠BAC,‎ ‎∴∠BAD=∠CAD.‎ ‎∴∠EBD=∠CAD.‎ ‎∵∠CBD=∠CAD,‎ ‎∴∠EBD=∠CBD.‎ ‎(2)在△EBD和△EAB中,∠E=∠E,∠EBD=∠EAB,‎ ‎∴△EBD∽△EAB.‎ ‎∴.‎ ‎∴AB·BE=AE·BD.‎ ‎∵AD平分∠BAC,∴BD=DC.‎ ‎∴AB·BE=AE·DC.‎ 专题6‎ 圆的切线的性质与判定 ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图,点A在直径为15的☉O上,PBC是过点O的割线,且PA=10,PB=5.‎ ‎(1)求证:PA与☉O相切;‎ ‎(2)求S△ACB的值.‎ ‎(1)证明:连接OA,‎ ‎∵☉O的直径为15,∴OA=OB=7.5.‎ 又PA=10,PB=5,∴PO=12.5.‎ 在△APO中,PO2=156.25,PA2+OA2=156.25,‎ 即PO2=PA2+OA2,∴PA⊥OA.‎ 又点A在☉O上,故PA与☉O相切.‎ ‎(2)解:∵PA为☉O的切线,∴∠ACB=∠PAB.‎ 又由∠P=∠P,∴△PAB∽△PCA.‎ ‎∴.‎ 设AB=k,AC=2k,∵BC为☉O的直径且BC=15,AB⊥AC,‎ ‎∴BC=k=15,‎ ‎∴k=3.‎ ‎∴S△ACB=AC·AB=·2k·k=k2=45.‎ 专题7‎ 与圆有关的比例线段 ‎■(2015江西重点中学十校二模联考,与圆有关的比例线段,解答题,理22)如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交于B,C两点,且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F,连接EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°.‎ ‎(1)求AF的长;‎ ‎(2)求证:AD=3ED.‎ ‎(1)解:延长BE交圆E于点M,连接CM,则∠BCM=90°.‎ ‎∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴BC=2.‎ 又∵AB=AC,∴AB=BC=,∴AC=3.‎ 根据切割线定理得AF2=AB·AC=×3=9,即AF=3.‎ ‎(2)证明:过E作EH⊥BC于H,‎ ‎∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD,‎ ‎∴△EDH∽△ADF.‎ ‎∴.‎ 又由题意知CH=BC=,EB=2,‎ ‎∴EH=1,∴.‎ ‎∴AD=3ED.‎ ‎■(2015江西重点中学协作体二模,与圆有关的比例线段,解答题,理22)如图,已知PA与圆O相切于点A,半径OB⊥OP,AB交PO于点C.‎ ‎(1)求证:PA=PC;‎ ‎(2)若圆O的半径为3,PO=5,求线段AC的长度.‎ ‎(1)证明:∵PA与圆O相切于点A,‎ ‎∴∠PAB=∠ADB.‎ ‎∵BD为圆O的直径,‎ ‎∴∠BAD=90°.‎ ‎∴∠ADB=90°-∠B.‎ ‎∵BD⊥OP,∴∠BCO=90°-∠B.‎ ‎∴∠BCO=∠PCA=∠PAB,‎ 即△PAC为等腰三角形.∴PA=PC.‎ ‎(2)解:假设PO与圆O相交于点M,延长PO交圆O于点N.‎ ‎∵PA与圆O相切于点A,PMN是圆O的割线,‎ ‎∴PA2=PM·PN=(PO-OM)(PO+ON).‎ ‎∵PO=5,OM=ON=3,∴PA=4.‎ 由(1)知PC=PA=4,∴OC=1.‎ 在Rt△OAP中,cos∠AOP=,‎ ‎∴AC2=9+1-2×3×1×.‎ ‎∴AC=.‎ ‎■(2015江西重点中学协作体一模,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图,已知PE切圆O于点E,割线PBA交圆O于A,B两点,∠APE的平分线和AE,BE分别交于点C,D.‎ 求证:(1)CE=DE;‎ ‎(2).‎ 证明:(1)∵PE切圆O于E,∴∠PEB=∠A.‎ 又∵PC平分∠APE,∴∠CPE=∠CPA.‎ ‎∴∠PEB+∠CPE=∠A+∠CPA.‎ ‎∴∠CDE=∠DCE,即CE=DE.‎ ‎(2)∵PC平分∠APE,∴.‎ 又PE切圆O于点E,割线PBA交圆O于A,B两点,‎ ‎∴PE2=PB·PA,即.‎ ‎∴.‎ ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,圆的切线的性质与判定,解答题,理22)如图所示,PA为圆O的切线,A为切点,PO交圆O于B,C两点,PA=20,PB=10,∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.‎ ‎(1)求证:AB·PC=PA·AC;‎ ‎(2)求AD·AE的值.‎ ‎(1)证明:∵PA为圆O的切线,∴∠PAB=∠ACP.‎ 又∠P为公共角,∴△PAB∽△PCA.‎ ‎∴.‎ ‎∴AB·PC=PA·AC.‎ ‎(2)解:∵PA为圆O的切线,BC是过点O的割线,‎ ‎∴PA2=PB·PC.‎ ‎∴PC=40,BC=30.‎ 又∵∠CAB=90°,∴AC2+AB2=BC2=900.‎ 又由(1)知,‎ ‎∴AC=12,AB=6.‎ 连接EC,则∠CAE=∠EAB,‎ ‎∴△ACE∽△ADB,∴,‎ ‎∴AD·AE=AB·AC=6×12=360.‎ ‎14.2坐标系与参数方程 专题5‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎■(2015江西南昌十所省重点中学高考模拟,参数方程与普通方程的互化,解答题,理23)在极坐标系中,圆C的方程为ρ=2acos θ(a≠0),以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,设直线l的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)若直线l与圆C恒有公共点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)由 则.‎ ‎∴直线l的普通方程为4x-3y+5=0.‎ 由ρ=2acosθ得,ρ2=2aρcosθ.‎ 又∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,‎ ‎∴圆C的标准方程为(x-a)2+y2=a2.‎ ‎(2)∵直线l与圆C恒有公共点,‎ ‎∴≤|a|,‎ 两边平方得9a2-40a-25≥0,∴(9a+5)(a-5)≥0.‎ ‎∴a的取值范围是a≤-或a≥5.‎ 专题6‎ 极坐标方程与参数方程的应用 ‎■(2015江西重点中学协作体一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)直线l的参数方程为曲线C的极坐标方程为(1+sin2θ)ρ2=2.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于两点A,B,若点P为(1,0),求.‎ 解:(1)由直线l的参数方程为消去t可得l:x-y-=0.‎ 由曲线C的极坐标方程(1+sin2θ)ρ2=2,可得x2+y2+y2=2,‎ 即+y2=1.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入曲线C:x2+2y2=2,得7t2+4t-4=0.‎ 设A,B两点在直线l中对应的参数分别为t1,t2,‎ 则t1+t2=-,t1t2=-.‎ ‎∴,‎ ‎∴的值为.‎ ‎■(2015江西上饶一模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,直线l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M,N,求|PM|+|PN|的取值范围.‎ 解:(1)直线l的参数方程为(t为参数).‎ 曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.‎ 把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.‎ ‎∵曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,‎ ‎∴Δ=16(sinα+cosα)2-16>0.‎ ‎∴sinαcosα>0.‎ 又α∈[0,π),∴α∈.‎ 又t1+t2=-4(sinα+cosα),t1t2=4,‎ ‎∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=4sin.‎ ‎∵α∈,‎ ‎∴,‎ ‎∴sin.‎ ‎∴|PM|+|PN|的取值范围是(4,4].‎ ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.‎ 解:(1)利用cos2φ+sin2φ=1,把圆C的参数方程(φ为参数)化为(x-1)2+y2=1,‎ ‎∴ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.‎ ‎(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,由 解得 设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,‎ 由解得 ‎∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2.‎ ‎∴|PQ|=2.‎ ‎■(2015江西新余一中高考模拟,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)已知曲线C:=1,直线l:(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 解:(1)由题意得,曲线C:=1,‎ 所以曲线C的参数方程为(θ为参数),‎ 因为直线l:(t为参数),‎ 所以直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ),‎ 则点P到直线l的距离为d=,‎ 则|PA|=|4cosθ+3sinθ-6|=|5sin(θ+α)-6|.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为;‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.‎ ‎■(2015沈阳大连二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),曲线C2的参数方程为(β为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1和C2的极坐标方程;‎ ‎(2)已知射线l1:θ=α,将l1逆时针旋转得到l2:θ=α+,且l1与C1交于O,P两点,l2与C2交于O,Q两点,求|OP|·|OQ|取最大值时点P的极坐标.‎ 解:(1)曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4,所以C1极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ 曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,‎ 所以C2极坐标方程为ρ=4sinθ.‎ ‎(2)设点P极点坐标(ρ1,4cosα),即ρ1=4cosα.‎ 点Q极坐标为,‎ 即ρ2=4sin.‎ 则|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=4cosα·4sin=16cosα·=8sin+4.‎ ‎∵α∈,∴2α+.‎ 当2α+,即α=时|OP|·|OQ|取最大值,此时点P极点坐标.‎ ‎■(2015江西重点中学十校二模联考,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;‎ ‎(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.‎ 解:(1)曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,化为ρ2=2ρcosθ,可得直角坐标方程:x2+y2=2x.‎ 直线l的参数方程是(t为参数),消去参数t可得x=y+m.‎ ‎(2)把(t为参数),代入方程:x2+y2=2x,化为t2+(m-)t+m2-2m=0,‎ 由Δ>0,解得-10,‎ ‎∴实数m=1±.‎ ‎■(2015江西重点中学协作体二模,极坐标方程与参数方程的应用,解答题,理23)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=10cos θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程;‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,6),求|PA|+|PB|.‎ 解:(1)由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ.‎ ‎∴直角坐标方程为x2+y2=10x,配方为(x-5)2+y2=25.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,化为t2+9t+20=0.‎ 由于Δ=(9)2-4×20=82>0,可设t1,t2是上述方程的两个实根.‎ ‎∴t1+t2=-9,t1t2=20.‎ 又直线l过点P(2,6),‎ 可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=9.‎ ‎14.3不等式选讲 专题1‎ 含绝对值不等式的解法 ‎■(2015江西师大附中、鹰潭一中模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.‎ 解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,‎ 即4x2-4x+1>x2+4x+4,‎ 即3x2-8x+3>0,求得它的解集为.‎ ‎(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=‎ 故f(x)的最小值为f=-.‎ 根据∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,可得4m-2m2>-,即4m2-8m-5<0,‎ 求得-1时,由f(x)<6⇔3x+2<6⇔x<;‎ 又x>1,所以1-2,‎ 又x<-1,所以-21时,f(x)=3x+2>5;‎ 当-1≤x≤1时,f(x)=x+4∈[3,5];‎ 当x<-1时,f(x)=-3x>3;‎ 所以函数f(x)的值域为[3,+∞).‎ 又直线y=(a∈R)与函数y=f(x)的图象恒有公共点,‎ 所以≥3,所以a≤-1.‎ 即a的取值区间是(-∞,-1].‎ ‎■(2015江西上饶一模,含绝对值不等式的解法,解答题,理23)已知a∈R,设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.‎ ‎(1)若a=1,求A;‎ ‎(2)若A=R,求a的取值范围.‎ 解:(1)若a=1,则|2x-1|+|x+3|≥2x+4.‎ 当x≤-3时,原不等式可化为-3x-2≥2x+4,可得x≤-3;‎ 当-3时,原不等式可化为3x+2≥2x+4,可得x≥2;‎ 综上,A={x|x≤0,或x≥2}.‎ ‎(2)当x≤-2时,|2x-a|+|x+3|≥0≥2x+4成立;‎ 当x>-2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4;‎ ‎∴x≥a+1或x≤.‎ ‎∴a+1≤-2或a+1≤.‎ ‎∴a≤-2.‎ 综上,a的取值范围为a≤-2.‎ ‎■(2015江西新余一中高考模拟,含绝对值不等式的解法,解答题,理24)设函数f(x)=|2x+1|-|x-4|.‎ ‎(1)解不等式f(x)>0;‎ ‎(2)若f(x)+3|x-4|≥m对一切实数x均成立,求m的取值范围.‎ 解:(1)当x≥4时,f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0,‎ 得x>-5,所以x≥4成立;‎ 当-≤x<4时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0,‎ 得x>1,所以10,得x<-5,‎ 所以x<-5成立.‎ 综上,原不等式的解集为{x|x>1或x<-5}.‎ ‎(2)令F(x)=f(x)+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|‎ ‎≥|2x+1-(2x-8)|=9,‎ 当-≤x≤4时等号成立.‎ 即有F(x)的最小值为9.‎ 所以m≤9.‎ 即m的取值范围为(-∞,9].‎ 专题2‎ 绝对值三角不等式的应用 ‎■(2015沈阳大连二模,绝对值三角不等式的应用,解答题,理24)选修4-5:不等式选讲 已知a和b是任意非零实数.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立,求实数x的取值范围.‎ 解:(1)∵|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=4|a|对于任意非零实数a和b恒成立,‎ 当且仅当(2a+b)(2a-b)≥0时取等号,‎ ‎∴的最小值等于4.‎ ‎(2)∵|2+x|+|2-x|≤恒成立,故|2+x|+|2-x|不大于的最小值,由(1)可知的最小值等于4.‎ 实数x的取值范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤4的解集.‎ 解不等式得-2≤x≤2.‎ 专题4‎ 不等式的证明 ‎■(2015江西重点中学协作体一模,不等式的证明,解答题,理24)已知关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为1.‎ ‎(1)求整数m的值;‎ ‎(2)已知a,b,c均为正数,若2a+2b+2c=m,求的最小值.‎ 解:(1)∵|2x-m|≤1,∴-1≤2x-m≤1,‎ 解得≤x≤.‎ 由于整数解有且仅有一个值为1,‎ ‎∴∴10,b>0.‎ ‎(1)求的最小值;‎ ‎(2)若不等式≥|2x-1|-|x+1|对任意a,b恒成立,求x的取值范围.‎ 解:(1)∵a+b=1,a>0,b>0,‎ ‎∴(a+b)=5+≥5+2=9,‎ 当且仅当,即a=且b=时取等号,‎ ‎∴的最小值为9.‎ ‎(2)若不等式≥|2x-1|-|x+1|对任意a,b恒成立,‎ 则需|2x-1|-|x+1|≤9,可转化为 或 分别解不等式组可得-7≤x≤-1,≤x≤11,-14,解此不等式得a<-3或a>5.‎ 故实数a的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).‎