2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题02 三角形的高、中线、角平分线

2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题02 三角形的高、中线、角平分线

‎2020-2021学年人教版初二数学上册期中考点专题02 三角形的高、中线、角平分线 重点突破 知识点一 三角形的高 概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ 知识点二 三角形的中线 概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ 性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。‎ ‎ 重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。（选学）‎ 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。‎ 知识点三 三角形的角平分线 概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ 考查题型 考查题型一 画三角形的高 典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】A ‎【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.‎ ‎【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.‎ 故选A.‎ 变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【答案】D ‎【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；‎ 第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；‎ 第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；‎ 第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.‎ 故选D.‎ 变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）‎ A．B．C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.‎ 可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.‎ 故选D.‎ 变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（　　）‎ A．CF B．BE C．AD D．CD ‎【答案】B ‎【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．‎ 变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（　 　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.‎ 故选D 考查题型二 与三角形高有关的计算 典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )‎ A．三角形面积随之增大 B．∠CAB的度数随之增大 C．BC边上的高随之增大 D．边AB的长度随之增大 ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．‎ ‎【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确； B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确； C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．‎ D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；‎ 故选：C．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．‎ 变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（　　）‎ A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 ‎【答案】A ‎【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．‎ ‎【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，‎ 还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.‎ 故选A.‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.‎ 变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（　　）‎ A．10 B．10.8 C．12 D．15‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，‎ ‎∴△ABC的面积=×12×9=BC⋅AD=54，‎ 即12BC⋅10=54，解得BC=10.8.‎ 故选B.‎ 变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，是的三条高，，则（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据三角形的面积公式解答即可．‎ ‎【详解】解：因为AD、CE、BF是△ABC的三条高，，‎ 所以可得：BC•AD=AB•CE，‎ 可得：CE=＝＝．‎ 故选C．‎ ‎【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．‎ 变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（ ） ‎ A．90° B．130° C．270° D．315°‎ ‎【答案】B ‎【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°.‎ 故选：B.‎ 变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC，∠BAC=，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（ 　）．‎ A．∠B=∠C B．∠BAD=∠B C．∠C=∠BAD D．∠DAC=∠C ‎【答案】C ‎【提示】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C=，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC=，再运用三角形内角和定理依次判断即可.‎ ‎【详解】∵∠BAC=，∴∠B+∠C=，故选项A错误；‎ ‎∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA=，∴∠BAD+∠B=，故选项B错误；‎ ‎∵∠BAC=，∴∠BAD+ ∠DAC=，‎ 又∵∠ADC=，∴∠DAC+ ∠C=，‎ ‎∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.‎ 变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎【答案】D ‎【提示】连接AE和CD，要求三角形DEF的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE）来分别计算，三角形ABC是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF的面积．‎ ‎【详解】解：连接AE和CD， ∵BD=AB， ∴S△ABC=S△BCD=1，S△ACD=1+1=2， ∵AF=3AC， ∴FC=4AC， ∴S△FCD=4S△ACD=4×2=8， 同理可以求得：S△ACE=2S△ABC=2，则S△FCE=4S△ACE=4×2=8； S△DCE=2S△BCD=2×1=2； ∴S△DEF=S△FCD+S△FCE+S△DCE=8+8+2=18．‎ 故选：D．‎ ‎【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度．‎ 考查题型三 三角形中线有关的长度计算 典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE是的中线，已知，，则BD的长为　　‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题解析：∵AE是△ABC的中线，EC=4， ∴BE=EC=4， ∵DE=2， ∴BD=BE-DE=4-2=2． 故选A．‎ 变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为( )‎ A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm ‎【答案】B ‎【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．‎ ‎【详解】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD=DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC， ∵△ABD比△ACD的周长大3cm， ∴AB与AC的差为3cm． 故选B．‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC是解题的关键．‎ 变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（ ）‎ A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】解：设BC边上的高为h，‎ ‎∵S△ABD=S△ADC，‎ ‎∴，‎ 故BD=CD，即AD是中线．故选C．‎ 变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，那么AC的长为（ ）‎ A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm ‎【答案】B ‎【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．‎ ‎【详解】∵AD是BC边上的中线，‎ ‎∴D为BC的中点，CD=BD．‎ ‎∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．‎ ‎∴AC-AB=5cm．‎ 又∵AB+AC=13cm，‎ ‎∴AC=9cm．‎ 即AC的长度是9cm．‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．‎ 考查题型四 三角形中线有关的面积计算 典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE 的中点， 且△ABC的面积为4cm2，则△BEF的面积等于（ ） ‎ A．2cm2 B．1cm2 C．0．5 cm2 D．0．25 cm2‎ ‎【答案】B ‎【提示】依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，推出从而求得△BEF的面积．‎ ‎【详解】解：∵点D、E、F分别为边BC，AD，CE的中点，‎ ‎∵△ABC的面积是4， ∴S△BEF=1．‎ 故选：B ‎【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S= ×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．‎ 变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC的面积为12cm2，点D在BC边上，E是AD的中点，则△BCE的面积是（ ）‎ A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．6cm2‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵E是AD的中点，‎ ‎∴S△BDE=S△ABD，S△DEC=S△ADC，‎ ‎∴△BCE的面积=S△BDE+S△DEC=×（S△ABD+S△ADC）=×△ABC的面积=6，‎ 故选B．‎ 名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．‎ 变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】D ‎【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，，再得到，所以即可得出.‎ ‎【详解】∵D为BC的中点 ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴+=+=‎ ‎∴==×3=8‎ 故选：D ‎【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.‎ 变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF＝5，则△ABC的面积为（　　）‎ A．15 B．20 C．25 D．30‎ ‎【答案】B ‎【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案 ‎【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得 ‎∵F是BE的中点，‎ S△CFE＝S△CFB＝5，‎ ‎∴S△CEB＝S△CEF+S△CBF＝10，‎ ‎∵E是AD的中点，‎ ‎∴S△AEB＝S△DBE，S△AEC＝S△DEC，‎ ‎∵S△CEB＝S△BDE+S△CDE ‎∴S△BDE+S△CDE＝10‎ ‎∴S△AEB+S△AEC＝10‎ ‎∴S△ABC＝S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC＝20‎ 故选：B．‎ ‎【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用.‎ 考查题型五 三角形重心的有关性质 典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ）‎ A．三边高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 ‎【答案】D ‎【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．‎ ‎【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，‎ ‎∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，‎ 故选D．‎ ‎【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．‎ 变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】C ‎【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.‎ ‎【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G ‎∴G为△ABC的重心 ‎∴AG=2DG ‎∵AD=6‎ ‎∴AG=4‎ 故选C.‎ ‎【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G是三角形的重心是解题的关键.‎ 考查题型六 三角形的角平分线 典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）‎ A．59° B．60° C．56° D．22°‎ ‎【答案】A ‎【详解】根据题意可得，在△ABC中，，则，‎ 又AD为△ABC的角平分线，‎ 又在△AEF中，BE为△ABC的高 ‎∴‎ 变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（ ）‎ A．5° B．13° C．15° D．20°‎ ‎【答案】C ‎【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．‎ ‎【详解】在△ABC中，‎ ‎∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,‎ ‎∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，‎ ‎∵AE是∠BAC的平分线，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE=41°.‎ 又∵AD是BC边上的高，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，‎ ‎∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.‎ ‎【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.‎ 变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，则AC的长是（　　）‎ A．4 B．3 C．6 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点D作DF⊥AC于F，‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，‎ ‎∴DE=DF=2，‎ ‎∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，‎ 解得AC=3.‎ 故选B.‎ 变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE等于（　　）‎ A．20° B．18° C．45° D．30°‎ ‎【答案】A ‎【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．‎ ‎【详解】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，‎ ‎∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，‎ ‎∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，‎ ‎∴∠DAE=34°-14°=20°．‎ 故选：A．‎ ‎【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE的度数是解题关键．‎ 变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（　　）‎ A．115° B．110° C．100° D．90°‎ ‎【答案】A ‎【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数．‎ ‎【详解】∵∠A=50°，‎ ‎∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，‎ ‎∵BE、CF是△ABC的角平分线，‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴∠BDC=180°﹣65°=115°，‎ 故选A．‎ ‎【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.‎ 变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O在ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC的大小为( )‎ A．135° B．120° C．90° D．60°‎ ‎【答案】B ‎【提示】由条件可知O为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），在△BOC中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC．‎ ‎【详解】∵O到三边的距离相等 ‎∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB ‎∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=(180°−∠A)‎ ‎∵∠A=60°‎ ‎∴∠OBC+∠OCB=60°‎ ‎∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°‎ 故选B.‎ ‎【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．‎