人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：不等式的有关概念和性质（解析版）
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：
不等式的有关概念和性质
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重难突破
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用符号“”或“”表示大小关系的式子，叫作不等式.像a3这样用符号“”表示不等关系的式子也是不等式。
【注意】
1.方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2.常用的不等号有“”五种.“”“”不仅表示左右两边的不等关系，还明确表示左右两边的大小；“”“”也表示不等关系，前者表示“不小于”(大于或等于），后者表示“不大于”(小于或等于）；“”表示左右两边不相等。
3.在不等式a>b或a
b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或）
基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则acb，则bb>c，则a>c。
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1、根据不等式的性质，可以将一个不等式变形，尤其要注意性质2和性质3的区别，当不等式两边乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变。
2、不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子
不同点：
1、 对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立
2、 对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变；
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
【典型例题】
考查题型一 不等式的定义
典例1（2019·临川市期中）在下列式子中①；②a=3；③x+2>x+1；④2a+3；⑤x≠－2；⑥4x+5>0，是不等式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
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【详解】
解：①-2<0是不等式；
②a=3不是不等式；
③x+2>x+1是不等式；
④2a+3不是不等式；
⑤x≠-2是不等式；
⑥4x+5>0是不等式；
所以不等式有①③⑤⑥，共4个.
故选C.
变式1-1（2019·重庆市期中）下面个式子中，其中( )是不等式.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
A中含有等号，是等式；
B、D不含不等符号，不是不等式；
C中含有“＞”，是不等式
故选：C
变式1-2（2020·毕节市期中）老师在黑板上写了下列式子：①x－1≥1；②－2＜0；③x≠3；④x＋2；⑤x－y＝0；⑥x＋2y≤0，其中不等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】
因为用不等号连接的式子叫做不等式，其中常用不等号有：＞，＜，≥，≤，≠，所以属于不等式的是：①②③⑥．
故选C．
变式1-3（2018·成都市期末）根据天气预报，2018年6月20日双流区最高气温是，最低气温是，则双流区气温的变化范围是( )
A． B． C． D．
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【答案】D
【详解】
解：由于最高气温是30℃，最低气温是23℃，
∴23≤t≤30，
故选：D．
典例2（2020·杭州市期末）用不等式表示：“的与的和为正数”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意得.
故选A.
变式2-1（2019·丹江口市期中）与-x2的和的一半是非负数，用不等式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
a与-x2的和的一半是非负数，先求和再求和的一半，故用不等式表示为：.
故本题答案为：D.
变式2-2（2019·南阳市期中）的一半与的差是负数，用不等式表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意得
故选D．
考查题型二 不等式的解集
典例3（2018·成都市期末）已知，则下列结论正确的是( )
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A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：不等式两边都除以2，
得：，
故选：D．
变式3-1（2019·深圳市期末）下列各数中，能使不等式成立的是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
解：当时，=1＞0，
当x=5时，=0.5＞0，
当x=4时，=0，
当x=2时，=-1＜0，
由此可知，可以使不等式成立．
故选D．
变式3-2（2019·泉州市期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，由这两个不等式组成的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：由两个不等式的解集在数轴上的表示可知，这两个不等式是：x≥－1与x＞－3，其公共部分是x
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≥－1，即不等式组的解集是x≥－1.故选A.
变式3-3（2019·北京市期末）如图,天平左盘中物体A的质量为,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：根据题意得：，
解得：1＜m＜2，
故选：D．
变式3-4（2019·晋中市期末）下列实数中，能够满足不等式的正整数是（ ）
A．-2 B．3 C．4 D．2
【答案】D
【详解】
A选项，-2不是正整数，不符合题意；
B选项，，不符合题意；
C选项，，不符合题意；
D选项，，符合题意；
故选：D.
变式3-5（2019·大庆市期末）若不等式（a+1）x＞a+1的解集是x＜1，则a必满足（ ）
A．a＜﹣1 B．a＞﹣1 C．a＜0 D．a＜1
【答案】A
【详解】
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∵不等式(a+1)x>a+1的解集是x<1，
∴a+1<0，
解得：a<−1.
故选A.
变式3-6（2019·沙洋县期末）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋5＞b＋5 B．－2a＜－2b C．a＞b D．7a－7b＜0
【答案】D
【解析】
A．∵a＜b，∴a+5＜b+5，故本选项错误；
B．∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，故本选项错误；
C．∵a＜b，∴a＜b，故本选项错误；
D．∵a＜b，∴7a＜7b，∴7a﹣7b＜0，故本选项正确．
故选D．
考查题型三 不等式的性质
典例4（2019·诸城市期中）若则下列不等式变形错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、在不等式a>b的两边同时加上3，不等式仍成立，即.故本选项变形正确；
B、在不等式a>b的两边同时除以5，不等式仍成立，即.故本选项变形正确；
C、在不等式a>b的两边同时乘以2再加1，不等式仍成立，即.故本选项变形正确；
D、在不等式a>b的两边同时乘以−3再加5，不等号方向改变，即5−3a<5−3b.故本选项变形错误；
故选D．
变式4-1（2019·哈尔滨市期末）已知a＜b，则下列不等式中不成立的是（ ）．
A．a+4＜b+4 B．2a＜2b C．—5a＜—5b D．
【答案】C
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【详解】
A.由不等式a＜b的两边同时加4，不等号的方向不变，等式成立，故本项错误.
B.由不等式a＜b的两边同时乘以2，不等式仍成立，即2a＜2b；故本选项错误；
C. 由不等式a＜b的两边同时乘以−5，不等号的方向不变，即−5a<−5不成立，故本选项正确；
D．由不等式a＜b的两边同时除以3再-1，不等式的方向不变，即成立，故本选项错误.
变式4-2（2018·运城市期中）设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天枰称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
观察图形可知：b＋c =3c，即b =" 2c" ；且a＞b．所以．故选A．
变式4-3（2019·聊城市期中）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若则 B．若，则
C．若则 D．若且则
【答案】B
【详解】
解：当时，若，则，故A错误；
若，则，故B正确；
当时，，故C错误；
若，则，故D错误；
故选：B．
变式4-4（2019·佳木斯市期末）下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，b＜c，则a＞c B．若a＞b，则ac＞bc
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C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【答案】D
【详解】
解：A、可设a=4，b=3，c=4，则a=c．故本选项错误；
B、当c=0或c＜0时，不等式ac＞bc不成立．故本选项错误；
C、当c=0时，不等式ac2＞bc2不成立．故本选项错误；
D、由题意知，c2＞0，则在不等式ac2＞bc2的两边同时除以c2，不等式仍成立，即a＞b，故本选项正确．
故选D．
变式4-5（2020·单县期中）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是( )
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【答案】D
【详解】
A．若，当时，关系式不成立，如：，但，故本选项错误；
B．若，则，故本选项错误；
C．若，则，故本选项错误；
D．若，则，故本选项正确．
故选：D．
变式4-6（2018·成都市期中）下列不等式变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【详解】
解：A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；
B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确；
C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误；
D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．
故选：B．
变式4-7（2020·诸城市期中）数a，b，c，d所对应的点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，那么
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与的大小关系是（ ）．
A．＜ B．
C．＞ D．不能确定
【答案】A
【详解】
由数轴可知ab,得ac>bc;②由a>b,得ac2>bc2; ③由，得；④由，得；⑤由，得；⑥由，得ac＞bc.其中正确的有（ ）
A．④⑤⑥ B．①②③④ C．④⑤ D．②③④
【答案】A
【详解】
解：①当c≤0时，由a＞b，不能得出ac＞bc，此结论错误；
②当c=0时，由a＞b不能得出ac2＞bc2，此结论错误；
③当c＜0时，由ac＞bc，不能得出a＞b，此结论错误；
④由a＞b，得a（c2+1）＞b（c2+1），此结论正确；
⑤由ac2＞bc2得a＞b，此结论正确；
⑥由，得ac＞bc，此结论正确；
故选：A．
巩固训练
一、 选择题（共10小题）
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1．（2019·宿州市期中）下列说法中，错误的是( )
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式x＞－5的负整数解集有有限个
C．不等式－2x＜8的解集是x＜－4 D．－40是不等式2x＜－8的一个解
【答案】C
【详解】
A. 由x＜5，可知该不等式的整数解有4，3，2，1，-1，-2，-3，-4等，有无数个，所以A选项正确，不符合题意；
B. 不等式x>−5的负整数解集有−4，−3，−2，−1.故正确,不符合题意；
C. 不等式−2x<8的解集是x>−4,故错误.
D. 不等式2x<−8的解集是x<−4包括−40，故正确,不符合题意；
故选:C.
2．（2018·长春市期中）式子：①2＞0；②4x＋y≤1；③x＋3＝0；④y－7；⑤m－2.5＞3.其中不等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】
①是用“＞”连接的式子，是不等式；
②是用“≤”连接的式子，是不等式；
③是等式，不是不等式；
④没有不等号，不是不等式；
⑤是用“＞”连接的式子，是不等式；
∴不等式有①②⑤共3个，故选C．
3．（2019·江油市期末）以下说法中正确的是（ ）
A．若a＞|b|，则a2＞b2 B．若a＞b，则＜
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
【答案】A
【解析】
A、若a＞|b|，则a2＞b2，正确；
B、若a＞b，当a=1，b=﹣2时，则＞，错误；
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C、若a＞b，当c2=0时，则ac2=bc2，错误；
D、若a＞b，c＞d，如果a=1，b=﹣1，c=﹣2，d=﹣4，则a﹣c=b﹣d，错误；
故选A．
4．（2020·邯郸市期中）若，下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故C错误；
D、如；故D正确；
故选：D．
5．（2019·资阳市期中）如果(a+1)x＜a+1的解集是x＞1，那么a的取值范围是( )
A．a＜0 B．a＜﹣1
C．a＞﹣1 D．a是任意有理数
【答案】B
【解析】
根据不等式的性质3，可得答案.
解：如果（a+1）x1，得a+1<0，a<-1.
故选B.
6．（2019·赤峰市期中）若，、、的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
∵0＜m＜1,可得m²＜m, ＞1,
∴可得:m²＜m＜.
故选B.
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7．（2019宁波市期末）若，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】
由不等号的方向改变，得
a−3<0，
解得a<3，
四个选项中满足条件的只有0.
故选：A.
8．（2020·宁波市期末）实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为a＞b且ac＜bc，
所以c＜0．
选项A符合a＞b，c＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．
选项B不满足a＞b，选项C、D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．
故选：A．
9．（2019·石家庄市期末）下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是正数”表示为m＜0
B．“m不大于3”表示为m＜3
C．“n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0
D．“n不等于6”表示为n＞6
【答案】C
【详解】
A. “m不是正数”表示为 故错误.
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B. “m不大于3”表示为故错误.
C. “n与4的差是负数”表示为n﹣4＜0,正确.
D. “n不等于6”表示为,故错误.
故选:C.
10．（2019·太原市期中）用不等式表示图中的解集，其中正确的是（ ）
A．x≥-2 B．x≤-2 C．x＜-2 D．x＞-2
【答案】D
【详解】
解：∵表示不等式的解集的折线向右延伸，且表示-2的点是空心圆点
∴x＞-2
故选：D．
一、 填空题（共5小题）
11．（2020·达州市期末）用一组，，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是_____，______，_______．
【答案】2 3 -1
【解析】
根据不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
满足，即可，例如：，3，.
故答案为：，3，.
12．（2018·开封市期末）若不等式（a-2）x＜1，两边除以a-2后变成x＜，则a的取值范围是______．
【答案】a>2
【详解】
解：∵不等式（a-2）x＜1，两边除以a-2后变成 x＜
∴a-2＞0，
∴
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a＞2，
故答案为：a＞2．
13．（2019·淮南市期末）若，则______.（填“、或”号）
【答案】
【详解】
不等式两边乘以-6，根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变可得：
3m＞n．
故答案为：＞．
14．（2018·杭州市期末）“5与m的2倍的和是负数”可以用不等式表示为_____．
【答案】5+2m＜0
【详解】
解:由题意得：5与m的2倍的和是负数,
可列不等式：5+2m＜0
故答案为：5+2m＜0.
15．（2018·青岛市期末）不等号填空：若a＜b＜0，则﹣________ ﹣；________ ；2a﹣1________ 2b﹣1．
【答案】＞ ＞ ＜
【解析】
∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b；
根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
即不等式﹣a＞﹣b两边同时除以5，不等号方向不变，所以﹣＞﹣；
∵a＜b＜0，
∴ab>0，
不等式a＜b两边同时队以ab，不等号方向不变，即，
∴＞ ；；
再根据不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变和不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变可得：2a﹣1＜2b﹣1,
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故答案为＞ ，＞， ＜.
一、 解答题（共2小题）
16．（2019·济南市期中）我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题．
（1）完成下列填空：
已知
用“＜”或“＞”填空
5+2 3+1
﹣3﹣1 ﹣5﹣2
1﹣2 4+1
（2）一般地，如果那么a+c b+d（用“＜”或“＞”填空）．请你说明上述性质的正确性．
【答案】（1）＞，＞，＜；（2）结论：a+c＞b+d．理由见解析．
【详解】
（1）5+2＞3+1，﹣3﹣1＞﹣5﹣2，1﹣2＜4+1．
故答案为＞，＞，＜；
（2）结论：a+c＞b+d．
理由：因为a＞b，所以a+c＞b+c，因为c＞d，所以b+c＞b+d，所以a+c＞b+d．
故答案为＞．
17．（2019·杭州市期中）(1)若x＞y，比较－3x＋5与－3y＋5的大小，并说明理由．
(2)若x＜y，且(a－3)x＞(a－3)y，求a的取值范围．
【答案】（1）－3x+5<－3y+5；（2）a<3
【详解】
解：(1)∵x>y，∴－3x<－3y，∴－3x+5<－3y+5；
(2)∵x(a－3)y，
∴a－3<0，∴a<3．
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