《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第一课时 相交线

《同步导学案》人教七年级数学（下册）第五章 第一课时 相交线

‎5.1相交线 第一课时 ‎ 相交线 ‎1.了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角.‎ ‎2.理解对顶角的性质：对顶角相等，并能运用它解决一些问题.‎ ‎3.重难点：邻补角、对顶角的概念，对顶角性质与应用. 理解对顶角相等的性质的探索.‎ 知识导入 观察图5.1-1，注意剪刀剪开布片的过程中有关角度的变化.如图5.1-2用剪刀剪东西时，哪对角同时变大或变小? 如果AD和BC看作两条直线，这两条直线组成的角都有什么位置关系呢？让我们通过本节知识的学习来寻找答案吧！‎ ‎ ‎ 知识讲解 知识点一： 邻补角、对顶角的认识 例 ‎ 如图5.1-3，两条相交的直线所形成的四个角中，两两相配可以组成几对角？各对角存在怎样的位置关系和数量关系？‎ ‎ ‎ 分析　可分成6对角：∠1和∠2；∠2和∠3；∠3和∠4；∠1和∠4；∠1和∠3；∠2和∠4；位置关系：∠1和∠2；∠2和∠3；∠3和∠4；∠1和∠4；它们有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；∠1和∠3；∠2和∠4；它们都有一个公共顶点，并且角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．数量关系：∠1+∠2=180°；∠2+∠3=180°；∠3+∠4=180°；∠1+∠4=180°；∠1=∠3；∠2=∠4．‎ 解析　可分成6对角；‎ 位置关系：互为邻补角的有∠1和∠2；∠2和∠3；∠3和∠4；∠1和∠4；‎ ‎　　　　　互为对顶角的有∠1和∠3；∠2和∠4；‎ 数量关系：∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°；∠1=∠3；∠2=∠4．‎ 点拨　养成分析几何图形关系时从位置关系和数量关系两方面来分析．通过本题我们可以通过角的位置关系得到它们的数量关系．即邻补角、对顶角的性质：互为邻补角的两角互补；对顶角相等．‎ 知识点二：邻补角、对顶角的性质 ‎ ‎ 例 如图5.1-4，直线a,b相交，∠1=40°，‎ 求∠2，∠3，∠4的度数.‎ 分析 由图形可知∠2与∠1互为邻补角，∠3与∠1互为对顶角，∠4与∠2互为对顶角.可以根据邻补角的定义和对顶角的性质来解答.‎ 解析 由邻补角的定义，可得 ‎∠2=180°-∠1=180°-40°=140°‎ 由对顶角相等，可得 ‎ ∠3=∠1=40°‎ ‎ ∠4=∠2=140°‎ 点拨 　邻补角、对顶角的性质的运用主要是是根据角的位置关系得到的数量关系．‎ 知识探究 ‎1.相交线 ‎（1）相交线的交点个数问题 例 平面内两条直线相交有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，若有20条直线相交，交点个数最多有（　　）个．‎ 解析 画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时的交点个数，总结出规律，即可计算出20条直线相交时的交点个数．如图5.1-5：‎ ‎ ‎ ‎2条直线相交有1个交点；‎ ‎3条直线相交有1+2个交点；‎ ‎4条直线相交有1+2+3个交点；‎ ‎5条直线相交有1+2+3+4个交点；‎ ‎…‎ n条直线相交有个交点；‎ 所以20条直线相交有个交点．‎ ‎(2)相交线分平面问题 例 填空：在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成（　　）个部分．‎ 解析 如图5.1-6所示，‎ 任意三条直线最多把平面分成7个.‎ ‎2.邻补角与对顶角的概念与性质 ‎（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角．‎ ‎ 两条直线相交后所得的有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．‎ ‎（2）性质：邻补角的性质：邻补角互补；对顶角的性质：对顶角相等．‎ 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：‎ 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ‎1‎ ‎2‎ ‎∠1与∠2‎ 有公共顶点 ‎∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2‎ 邻补角 ‎4‎ ‎3‎ ‎ ∠3与∠4‎ 有公共顶点 ‎∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线 邻补角互补 即∠3+∠4=180°‎ 注意点：①对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；‎ ‎②如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ‎③如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。‎ ‎④两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.‎ 例 图5.1-7中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）‎ 解析 根据对顶角的定义“两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角”可知：四选项中只有C是对顶角．故选C．‎ 例 如图5.1-8已知∠1+∠3=180°，则图中与∠1互补的角有（　　）‎ A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 解析 相加等于180°的两角称作互为补角，即两角互补．∠1的补角有它的两个邻补角∠5和∠7；另外∠1+∠3=180°，则∠3和它的对顶角∠4，都是∠1的补角．共4个．故选D．‎ 例 如图5.1-9，直线AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=60°，则∠AOC的度数是_____．‎ ‎ ‎ 解析 本题利用对顶角及角平分线的性质确定角的度数. 解决此类问题的关键是对顶角的性质的应用. 根据角平分线的定义,可知∠BOD=∠DOE=30°,然后利用对顶角相等,可知∠AOC=∠BOD=30°. ‎ 易错辨析 题 在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数有（　　）‎ 错解 6个 辨析 本题要分类讨论。在平面上画出4条直线，当这4条直线经过同一个点时，有1个交点；当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；当4条直线不经过同一点时，有6个交点．故可得出答案．‎ 如图5.1-10所示：‎ 正解 ①当4条直线经过同一个点时，有1个交点；‎ ‎②当3条直线经过同一个点，第4条不经过该点时，有4个交点；‎ ‎③当4条直线不经过同一点时，有6个交点．‎ 综上所述，4条直线相交有1或4或6个交点 ‎1.下列说法正确的有( )‎ ‎ ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.‎ ‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎2.公园里准备修五条甬道，并在甬道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多可能设（　）‎ A、9个 B、10个 C、11个 D、12个 ‎3.如图5.1-11，若∠1+∠2=220°，则 ‎ ‎4.如图5.1-12所示,直线a,b,c两两相交,∠1=2∠3,∠2=65°,求∠4的度数.‎ ‎5. 如图5.1-13所示，L1，L2，L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数 观察图5.1-14中三幅图，寻找对顶角（不含平角）： ‎ ‎（1）如图a，图中共有_____对对顶角；‎ ‎（2）如图b，图中共有____对对顶角；‎ ‎（3）如图c，图中共有_____对对顶角；‎ ‎（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________对对顶角；‎ ‎（5）若有2012条直线相交于一点，则可形成__________对对顶角．‎ 分析 ‎ ‎ 探索规律型题目。由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；‎ ‎（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角，‎ ‎（3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角；‎ 依次可找出规律：（4）若有n条直线相交于一点，则可形成（n-1）n对对顶角；‎ ‎（5）将n=2012代入（n-1）n，可得2012条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．‎ 解析 （1）如图a，图中共有1×2=2对对顶角；‎ ‎（2）如图b，图中共有2×3=6对对顶角；‎ ‎（3）如图c，图中共有3×4=12对对顶角；‎ ‎（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，‎ 若有n条直线相交于一点，则可形成（n-1）n对对顶角；‎ ‎（5）若有2012条直线相交于一点，则可形成（2012-1）×2012=2011×2012对对顶角．‎ 点拨 本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n-1）n对对顶角.‎ 练习 （1）2条直线相交于一点有_____对不同的对顶角；‎ ‎（2）3条直线两两相交最多有_____个交点，此时有_____对不同的对顶角；‎ ‎（3）4条直线两两相交最多有_____个交点，此时有_____对不同的对顶角；‎ ‎……‎ ‎（4）n条直线两两相交最多有_____个交点，此时有_____对不同的对顶角；‎ 参考答案 课时检测 1. B ‎ 2. B ‎ ‎3.70° ‎ ‎4. 解：根据对顶角相等，得∠1=∠2=65°，‎ 因为∠1=2∠3，所以∠3=32.5°，所以∠4=∠3=32.5°．‎ ‎5. 解：设∠1=x，则∠2=x，∠3=8x.‎ 由图知∠1+∠2+∠3=x+ x+8x=1808°所以 x=18°∠4=∠1+∠2=2x=36°‎ 拓展提升 ‎(1)2.(2)3,6.(3)6,12.(4) ,n(n-1).‎