河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

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河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

石家庄二中2019~2020学年第一学期10月月考高一数学试卷 一、单项选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)‎ ‎1.设集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合,再根据交集的定义得出.‎ ‎【详解】解不等式,即,解得,则,‎ 因此,,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,同时也考查了绝对值不等式的解法,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎2.下列四个函数中,在上为增函数的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据常见函数的性质判断函数的单调性即可.‎ ‎【详解】对于A:函数在R递减,不符合题意;‎ 对于B:函数的对称轴是x,在(0,)递减,不合题意;‎ 对于C:函数在(0,+∞)递减,不合题意;‎ 对于D:函数在(-1,+∞)递增,所以在(0,+∞)满足递增,符合题意;‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数:一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间的判断.‎ ‎3.函数的定义域为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求函数定义域的基本原则列不等式组求出实数的取值范围,即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意得,即,解得且,‎ 因此,函数的定义域为,故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解,解题时要熟悉几条求函数定义域的基本原则,根据条件列出不等式求出自变量的取值范围,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎4.已知集合A={x|-3x<0},B={1,a},且A∩B有4个子集,则实数a的取值范围是(  )‎ A. (0,3)‎ B. (0,1)∪(1,3)‎ C. (0,1)‎ D. (-∞,1)∪(3,+∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:∵有4个子集,∴有2个元素,∴,∴‎ 且,即实数的取值范围是,故选B.‎ ‎【考点】本题主要考查集合的关系.‎ ‎5.若函数,且,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求出函数的解析式,然后由求出的值.‎ ‎【详解】设,则,,‎ 则,解得,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的应用,利用换元法求出函数的解析式是解题的关键,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎6.若函数在上是单调函数,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 得出函数的对称轴方程,对该函数的对称轴与区间分三种位置进行讨论,分析函数在区间上的单调性,可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】二次函数的图象开口向上,对称轴为直线.‎ ‎①当时,函数在区间上单调递增,合乎题意;‎ ‎②当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,函数在区间上不单调,不合乎题意;‎ ‎③当时,函数在区间上单调递减,合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是或,故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数,解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴,再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.‎ ‎7.已知函数在区间上是减函数,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 分、、三种情况,在的前提下,讨论二次函数图象的对称轴与定义域的位置关系,分析函数的单调性,可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时,,此时,函数在区间上是减函数,合乎题意;‎ 当时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线,若函数在区间上是减函数,则,解得;‎ 当时,二次函数的图象开口向下,对称轴为直线.‎ 则函数在区间上单调递增,在单调递减,‎ 此时,函数在区间上不单调,不合乎题意.‎ 综上所述,实数的取值范围是,故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数的单调性与参数,解题时要分析二次函数图象的开口方向和对称轴,再者就是要讨论对称轴与定义域的位置关系,考查分类讨论思想的应用,属于中等题.‎ ‎8.函数的单调减区间是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域,分离出内层函数和外层函数,并分析内层函数和外层函数的单调性,利用同增异减法得出函数的单调减区间.‎ ‎【详解】由,即,解得,‎ 内层函数为,外层函数为,‎ 内层函数的增区间为,减区间为,外层函数为增函数,‎ 由复合函数同增异减法可知,函数的单调减区间是,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查函数单调区间的求解,考查复合函数法求解函数的单调区间,在求解函数的单调区间时,要注意求出函数的定义域,要在函数定义域内得出单调区间,否则得到的单调区间无意义,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎9.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线于E,当从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设,左侧部分面积为,则关于的图像大致为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:直线l从A到D的移动过程中,面积在增大并且面积的增大率在增加,即函数的导数为正且在变大,直线l从D到C的移动过程中,面积在增大,但面积的增大率不变,所以导数为正的常数,直线l从C到B的增大过程中,面积在增大,但面积的增大率在减小,所以导数为正但逐渐减小,综上可得函数为增函数,且函数的导数先增大后不变再减小,C项符合要求 考点:函数导数的几何意义及瞬时变化率 点评:函数在某点处的导数值等于该点处的切线斜率 ‎10.已知函数,,构造函数,那么函数( )‎ A. 有最大值1,最小值﹣1 B. 有最小值﹣1,无最大值 C. 有最大值1,无最小值 D. 有最大值3,最小值1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义令,可得函数的解析式,作函数的图象即可求解.‎ ‎【详解】由得,;‎ 故,故可作的图象如下,‎ 通过图象观察可得有最大值1,没有最小值,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的图象的应用,准确得到函数的解析式作出函数的图象是解题的关键,属于中档题.‎ ‎11.已知偶函数对于任意都有,且在区间上是单调递增,则、、大小关系是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用题中等式推导出函数是以为周期的周期函数,由函数的周期性和奇偶性得出,,再利用函数在区间上的单调性可得出、、三个数的大小关系.‎ ‎【详解】对任意的,,,‎ 所以,函数是周期为周期函数,‎ 又函数为偶函数,,,‎ 函数在区间上单调递增,所以,,即,故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查利用奇偶性和周期性比较函数值的大小关系,要充分利用周期性和奇偶性将自变量置于同一单调区间,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎12.已知函数,若,,则 A. B. ‎ C. D. 与的大小不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 故选A.‎ 二、填空题(本大题共5个小题,每个小题4分,17题每空2分,共20分)‎ ‎13.已知函数是定义在上奇函数,当时,,则当时,______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设,求出的表达式,再利用奇函数的定义得出,可得出函数在上的解析式.‎ ‎【详解】设,则,则,‎ 函数是上的奇函数,则当时,.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的解析式,利用对称转移法求解,首先先设自变量在所求区间,然后求出的表达式,再利用奇函数的定义可得出结果,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎14.设函数对的一切实数都有,则=___________‎ ‎【答案】-2017‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令和 代入等式,解方程组得到的值.‎ ‎【详解】时,,当时, ‎ 即 ,解得.‎ 故填:-2017.‎ ‎【点睛】本题考查了利用方程组求解析式,属于简单题型,一般求解析式的方法分为:‎ ‎1.待定系数法,适应于已知函数类型;‎ ‎2.代入法,适用于已知的解析式,求的解析式;‎ ‎3.换元法,适用于已知的解析式,求的解析式;‎ ‎4.方程组法,适用于已知和的方程,或和的方程.‎ ‎15.已知函数,为奇函数且在区间上的最大值与最小值分别为和,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先推导出函数的图象关于点对称,可得出函数在区间上的最高点和最低点也关于点对称,由此可得出的值.‎ ‎【详解】函数为奇函数,则,‎ ‎,则,‎ 所以,函数的图象关于点对称,则函数在区间上的最高点和最低点也关于点对称,因此,,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查函数对称性的应用,利用题中等式推导出函数的对称性是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎16.已知函数,函数为偶函数,且当时,,若,则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 判断出函数在上为减函数,再由该函数为偶函数,结合 可得出,解出即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时,,易知函数在区间和上均为减函数,又函数在上连续,所以,函数在上为减函数,‎ 函数为偶函数,由,得,,‎ 解得且,因此,实数的取值范围是,故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式,在涉及到偶函数的性质时,可充分利用性质,可简化分类讨论,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎17.如图是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图上点、点以及射线上的点的实际意义,用文字说明图方案是______,图方案是______.‎ ‎【答案】 (1). 降低成本,票价不变 (2). 增加票价 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察函数的图象可知,函数图象上的横坐标表示乘客量,纵坐标表示收支差额,结合图象可得出结论.‎ ‎【详解】由图可知,点表示无人乘车时收支差额为元,点表示有 人乘车时收支差额为零,线段上的点表示亏损,延长线上的点表示盈利.‎ 对于图而言,与图相比,两个一次函数的一次项系数没变,但无人乘车时收支差额变为元,差距在减少,则图的方案是降低成本,票价不变;‎ 对于图而言,与图相比,图对应的一次函数一次项系数增大了,但无人乘车时收支差额仍是元,则图的方案是增加票价.‎ 故答案为:降低成本,票价不变;增加票价.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的性质,要理解一次项系数和直线与纵轴的交点纵坐标在实际问题中的意义,理解问题的叙述过程是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ 三、解答题(本大题共3个小题,共32分)‎ ‎18.已知集合,集合.‎ ‎(1)当时,求;‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解出集合,再将代入集合,再利用并集的定义求出集合;‎ ‎(2)分和两种情况讨论,在的前提下,由题意得出或,由此可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)解不等式,得,,‎ 当时,,因此,;‎ ‎(2)当时,,得,此时,成立;‎ 当时,,得,‎ ‎,则或,解得或,此时,.‎ 综上所述,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的并集运算,同时也考查了利用交集的运算结果求参数的取值范围,解题时要注意对集合分空集与非空集合两种情况讨论,考查分类讨论思想,考查运算求解能力,属于中等题.‎ ‎19.二次函数满足,且.‎ ‎(1)求的解析式;‎ ‎(2)若在区间上,不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,由得出,根据等式列关于、的方程组,解出这两个未知数,可得出函数的解析式;‎ ‎(2)当时,由利用参变量分离法得出,并利用定义法证明出函数在区间上的单调性,求出函数在区间上的最小值,可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)设,则.‎ ‎,‎ ‎,解得,因此,;‎ ‎(2)当时,由,得,得,‎ 构造函数,,下面证明函数在区间上的单调性.‎ 任取、,且,即,‎ 则,‎ ‎,,,,,‎ 所以,函数在区间上单调递增,则,,‎ 解得,因此,实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数的解析式,同时也考查了利用不等式恒成立问题求参数的取值范围,在含单参数的不等式中,利用参变量分离法进行求解,可避免分类讨论,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.‎ ‎20.已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上既是奇函数,又是减函数.‎ ‎(1)求证:对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;‎ ‎(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)0≤a<1.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由x2∈[﹣1,1],可得﹣x2∈[﹣1,1],利用函数y=f(x)在定义域[﹣1,1]上是奇函数,又是减函数,即可证明结论;(2)f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,等价于a2+a﹣2<0,即可求出实数a的取值范围.‎ 解析:‎ ‎(1)证明:若x1+x2=0,显然不等式成立.‎ 若x1+x2<0,则-1≤x1<-x2≤1,‎ 因为f(x)在[-1,1]上是减函数且为奇函数,‎ 所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0. ‎ 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立. ‎ 若x1+x2>0,则1≥x1>-x2≥-1,‎ 同理可证f(x1)+f(x2)<0. ‎ 所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.‎ 综上得证,对任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立. ‎ ‎(2)因为f(1-a)+f(1-a2)<0⇔f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),‎ 所以由f(x)在定义域[-1,1]上是减函数,得 ‎ ‎ 解得0≤a<1.‎ 点睛:本题考查奇偶性与单调性的综合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.解抽象函数不等式问题时,一般利用函数的奇偶性,和单调性转化为括号内的自变量的大小关系的比较。‎
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