北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 理

北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 理

北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题 ‎ 数 学（理科） ‎ ‎ 2012.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1．已知全集，集合，则（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．若实数，满足条件则的最大值为（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．‎ 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎5．已知函数的最小正周期是，那么正数（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎6．若，，，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B） ‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7．设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（ ）‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎9. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒 与秒之间．将测试结果分成组：，，‎ ‎，，，得到如图所示的频率分 ‎ 布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为 ‎，那么成绩在的学生人数是_____．‎ ‎10．的展开式中，的系数是_____．（用数字作答）‎ ‎11. 如图，为⊙的直径，，弦交 于点．若，，则_____． ‎ ‎12. 在极坐标系中，极点到直线的距离是_____．‎ ‎13. 已知函数 其中．那么的零点是_____；若的 值域是，则的取值范围是_____．‎ ‎14. 在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运 动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是 ‎_____．‎ 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 在△中，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角； ‎ ‎（Ⅱ）若，，求．‎ ‎16.（本小题满分13分）‎ 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同 ‎（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；‎ ‎（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；‎ ‎（Ⅲ）求比赛局数的分布列.‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，四边形与均为菱形， ，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值． ‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间.‎ ‎19.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，‎ 使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. ‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 对于数列，定义“变换”：将数列变换成数 列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．‎ ‎（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；‎ ‎（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件； ‎ ‎（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．‎ ‎ 数学（理科）参考答案及评分标准 ‎ 2012.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1. C； 2. D； 3. A； 4.A； 5. B； 6. D； 7. A； 8. D .‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9.； 10.； 11.； ‎ ‎12.； 13.和，； 14.，.‎ 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. ‎ ‎15.（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：原式可化为 ． …………3分 ‎ 因为， 所以 ， ‎ 所以 ． …………5分 ‎ 因为， 所以 ． ……………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解：由余弦定理，得 ．………8分 ‎ 因为 ，， ‎ 所以 ． …………10分 ‎ 因为 ， ………12分 所以 ． …………13分 ‎16.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是． ………1分 记“甲以比获胜”为事件，‎ 则． …………4分 ‎（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.‎ ‎ 因为，乙以比获胜的概率为， ……………6分 ‎ 乙以比获胜的概率为， ………7分 所以 ． …………8分 ‎（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为． ‎ ‎， …………9分 ‎ ， …………10分 ‎ ， ……………11分 ‎ ． ………………12分 比赛局数的分布列为：‎ ‎ ………………13分 ‎17.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：设与相交于点，连结．‎ 因为 四边形为菱形，所以，‎ 且为中点． ………………1分 又 ，所以 ． ………3分 因为 ， ‎ 所以 平面． ………………4分 ‎ ‎（Ⅱ）证明：因为四边形与均为菱形，‎ 所以//，//， ‎ 所以 平面//平面． ………………7分 ‎ 又平面，‎ 所以// 平面． ……………8分 ‎ ‎（Ⅲ）解：因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．‎ 因为为中点，所以，故平面．‎ 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系． ………………9分 ‎ 设．因为四边形为菱形，，则，所以，‎ ‎．‎ 所以 ． ‎ 所以 ，． ‎ 设平面的法向量为，则有 所以 取，得． ………………12分 ‎ 易知平面的法向量为． ………………13分 ‎ 由二面角是锐角，得 ． ‎ 所以二面角的余弦值为． ……………14分 ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：当时，，．…………2分 由于，，‎ 所以曲线在点处的切线方程是． ……4分 ‎（Ⅱ）解：，． …………6分 ‎① 当时，令，解得 ．‎ 的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分 当时，令，解得 ，或．‎ ‎② 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． ……10分 ‎③ 当时，为常值函数，不存在单调区间． ……………11分 ‎④ 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． …………13分 ‎19.（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由 ， 得 . ………2分 依题意△是等腰直角三角形，从而，故. …………4分 所以椭圆的方程是. ……5分 ‎（Ⅱ）解：设，，直线的方程为. ‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，‎ 消去得 . ……7分 所以 ，. ……8分 若平分，则直线，的倾斜角互补，‎ 所以. …………9分 设，则有 .‎ 将 ，代入上式，‎ 整理得 ，‎ 所以 . ………………12分 将 ，代入上式，‎ 整理得 . ……………13分 由于上式对任意实数都成立，所以 .‎ ‎ 综上，存在定点，使平分. …………14分 ‎20.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；‎ ‎；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形． ……2分 数列能结束，各数列依次为；；；．‎ ‎ ……………3分 ‎（Ⅱ）解：经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．……4分 若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……5分 当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．‎ 当时，数列．‎ 由数列为常数列得，解得，从而数列也 为常数列．‎ 其它情形同理，得证．‎ 在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列 ‎(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列． ………8分 所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．‎ ‎（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．‎ 证明：记数列中最大项为，则．‎ 令，，其中．‎ 因为， 所以，‎ 故，证毕． ……………9分 现将数列分为两类．‎ 第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，． ‎ 第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．‎ 下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．‎ 不妨令数列的第一项为，第二项最大()．（其它情形同理）‎ ‎① 当数列中只有一项为时，‎ 若()，则，此数列各项均不为 或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；‎ 若，则；‎ 此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；‎ 若()，则，此数列各项均不为 ‎，为第一 类数列；‎ 若，则；；，‎ 此数列各项均不为，为第一类数列．‎ ‎② 当数列中有两项为时，若()，则，此数列各项均不为，为第一类数列；‎ 若()，则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．‎ ‎③ 当数列中有三项为时，只能是，则，‎ ‎，，此数列各项均不为，为第一类数列．‎ 总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．‎ 又因为各数列的最大项是非负整数，‎ 故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束． ………………13分 ‎ ‎