高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-5离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）练习理北师大版

高考数学一轮复习第十二章计数原理、概率、随机变量及其分布12-5离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）练习理北师大版

‎12.5 离散型随机变量及其分布列（含超几何分布）‎ 核心考点·精准研析 考点一　离散型随机变量及其分布列 ‎ ‎1.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;③测量一批电阻,在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X;‎ ‎④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是 (　　)‎ A.①② B.①③ C.①④ D.①②④‎ ‎2.若随机变量X的概率分布列为 X x1‎ x2‎ P p1‎ p2‎ 且p1=p2,则p1等于 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的 是 (　　)‎ A.P(ξ=1) B. P(ξ≤1)‎ C.P(ξ≥1) D. P(ξ≤2)‎ ‎4.已知随机变量X的概率分布为P(X=i)=(i=1,2,3,4),则P(20,f是增函数,‎ 当p∈时,f'<0,f是减函数,‎ - 13 -‎ 所以当p=时,f取到最大值f,P取到最大值f.‎ 答案:‎ ‎(2)①因为p1=,p2=,p3=,p4=,所以归纳得pn=.‎ ‎②因为pn==-,所以由已知得p1+p2+p3+…+pn<,即-+-+-+…+-<,所以1-<,‎ 解得n<2 019,‎ 因为n是正整数,所以n的最大值为2 018.‎ ‎1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.‎ ‎(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;‎ ‎(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.‎ ‎(3)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.‎ ‎【解析】(1)由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40.‎ 该合唱团学生参加活动的人均次数为==2.3.‎ ‎(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为P0==.‎ - 13 -‎ ‎(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C.易知 P(ξ=1)=P(A)+P(B)=+=;‎ P(ξ=2)=P(C) ==;‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎2.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.‎ ‎(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N*)的函数解析式.‎ ‎(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: ‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进17枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列.‎ ‎【解析】(1)当日需求量n≥17时,利润y=(10-5)×17=85; 当日需求量n<17时,利润y=10n-85,所以y关于n的解析式为 y=(n∈N*).‎ ‎(2)X可取55,65,75,85,P(X=55)=0.1,‎ P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16,P(X=85)=0.54.‎ X的分布列为 X ‎55‎ ‎65‎ ‎75‎ ‎85‎ - 13 -‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.16‎ ‎0.54‎ 某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).‎ ‎(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数.‎ ‎(2)求P(ξ=7).‎ ‎(3)求随机变量ξ的分布列.‎ ‎【解析】(1)因为f(x)=‎ 所以-0.4+-0.4+-0.4+-+b+-+b=1,所以b=1.9.‎ 估计该班的考试平均分数为 ‎-0.4×55+-0.4×65+-0.4×75+-+1.9×85+-+1.9×95=76.‎ ‎(2)由题意可知,考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,‎ 所以P(ξ=7)==.‎ ‎(3)由题意,ξ的可能取值为5,6,7,8,9,‎ - 13 -‎ P(ξ=5)==,P(ξ=6)==,‎ P(ξ=7)=,P(ξ=8)==,‎ P(ξ=9)==.‎ 所以ξ的分布列为:‎ ξ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ P ‎【变式备选】‎ ‎ 　　 某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学学科提供5种不同层次的课程,分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5,每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习,该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表:　　　‎ 课程 数学1‎ 数学2‎ 数学3‎ 数学4‎ 数学5‎ 合计 选课 人数 ‎180‎ ‎540‎ ‎540‎ ‎360‎ ‎180‎ ‎1800‎ 为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析.‎ ‎(1)从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率.‎ ‎(2)从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X,选择数学1的人数为Y,设随机变量ξ=X-Y,求随机变量ξ的分布列.‎ - 13 -‎ ‎【解析】抽取的10人中选修数学1的人数应为10×=1人,选修数学2的人数应为10×=3人,选修数学3的人数应为10×=3人,选修数学4的人数应为10×=2人,选修数学5的人数应为10×=1人.‎ ‎(1)从10人中选3人共有=120种选法,并且这120种选法出现的可能性是相同的,有2人选择数学2的选法共有·=21种,有3人选择数学2的选法有=1种,所以至少有2人选择数学2的概率为=.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,ξ的可能取值为-1,0,1,2,3.‎ ‎ P(ξ=-1)=P(X=0,Y=1)==;‎ ‎ P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)‎ ‎ =+=+=;‎ ‎ P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=1)‎ ‎ =+=+=;‎ ‎ P(ξ=2)=P(X=2,Y=0)==;‎ ‎ P(ξ=3)=P(X=3,Y=0)==,‎ ‎ 所以ξ的分布列为: ‎ ξ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ - 13 -‎ P - 13 -‎