【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(7)

【数学】2020届一轮复习人教B版计数原理和概率作业(7)

‎(八十三)‎ ‎1．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D．0‎ 答案　A 解析　列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.‎ ‎2．有80个数，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两数，则所取的两数和为偶数的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　两数和为偶数，则两数同奇或同偶，故两数和为偶数的概率为P＝＝.‎ ‎3．(2019·吉林一中模拟)在高三某班的元旦文艺晚会中，有这么一个游戏：一个盒子内装有6张大小完全相同的卡片，每张卡片上写有一个成语，它们分别为意气风发，风平浪静，心猿意马，信马由缰，气壮山河，信口开河，参与者从盒内随机抽取2张卡片，若这2张卡片上的2个成语有相同的字就中奖，则该游戏的中奖率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　易知基本事件总数为C62＝15，参与者中奖包含的基本事件有(意气风发，风平浪静)，(心猿意马，信马由缰)，(气壮山河，信口开河)，(意气风发，心猿意马)，(意气风发，气壮山河)，(信马由缰，信口开河)，共6个，故该游戏的中奖率为P＝＝.故选C项．‎ ‎4．(2019·广西南宁一模)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4×100 m接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从6名短跑运动员中任选4人参加4×100 m接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A64－2A53＋A42＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C41·A42＝48种，因此所求的概率为＝，选C.‎ ‎5．(2019·广东惠州模拟)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　设齐王上，中，下三个等次的马分别记为a1，a2，a3，田忌的上，中，下三个等次的马分别记为b1，b2，b3，从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛的所有可能为a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，共9种．由题设知田忌获胜有3种情况：a2b1，a3b1，a3b2，故田忌获胜的概率为＝，故选A.‎ ‎6．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为.‎ ‎7．(2019·北京朝阳区期末)甲、乙两位学生参加数学文化知识竞赛培训，在培训期间，他们参加的5次测试成绩记录如下，‎ 甲：82　82　79　95　87‎ 乙：95　75　80　90　85‎ 从甲、乙两人的这5次成绩中各随机抽取一个，则甲的成绩比乙的成绩高的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　记甲被抽到的成绩为x，乙被抽到的成绩为y，用数对(x，y)表示基本事件，有：‎ ‎(82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)，(82，95)，(82，75)，(82，80)，(82，90)，(82，85)，(79，95)，(79，75)，(79，80)，(79，90)，(79，85)，(95，95)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)，(87，95)，(87，75)，(87，80)，(87，90)，(87，85)，‎ 基本事件总数n＝25.‎ 设“甲的成绩比乙的成绩高”为事件A，事件A包含的基本事件有：‎ ‎(82，75)，(82，80)，(82，75)，(82，80)，(79，75)，(95，75)，(95，80)，(95，90)，(95，85)，(87，75)，(87，80)，(87，85)，‎ 事件A包含的基本事件数m＝12.‎ 所以P(A)＝＝.故选A.‎ ‎8．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB与DE)，共有3种，∴所求概率为＝.‎ ‎9．从1，2，…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　基本事件总数为C93，设抽取3个数，和为偶数为事件A，则A事件包括两类：抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C43种，后者有C41C52种，‎ 所以A中基本事件数为C43＋C41C52，所以符合要求的概率为＝.故选C.‎ ‎10．(2019·衡水中学调研卷)3位大学生乘坐同一列“子弹头”CRH1A－A动车，该动车有8节车厢，则至少有2位大学生在同一节车厢的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　3位大学生的乘车方式共有83种，其中均不在同一节车厢的乘车方式有A83种，所以3位大学生均不在同一节车厢的概率为＝＝，故至少有2位大学生在同一节车厢的概率为1－＝，故选C.‎ ‎11．(2019·郑州市质检)某公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　该公司安排6位员工在“元旦(1月1日至1月3日)”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数n＝C62C42C22，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m＝C52C42C22，∴6位员工中甲不在1日值班的概率P＝＝＝.故选B.‎ ‎12．(2019·云南部分校联考)袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　方法一：所取3个球中没有红球的概率为P1＝＝，所取3个球中恰有1个红球的概率为P2＝＝，则所取3个球中至多有1个红球的概率为P＝P1＋P2＝.‎ 方法二：“至多有1个红球”的对立事件为“至少有2个红球”，所取3个球中至少有2个红球的概率为P1＝＋＝，故所求概率为P＝1－P1＝.‎ ‎13.如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用a(3≤a≤8且a∈N)表示被污损的数字．则甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　甲同学的历史平均成绩为＝92分，若甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩，≤92，得a≤6.因为3≤a≤8，所以3≤a≤6且a∈N，记甲同学的历史平均成绩不低于乙同学的历史平均成绩为事件A，则事件A包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，所以事件A的概率P(A)＝＝.‎ ‎14．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．‎ 答案　 解析　对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－＝.‎ ‎15．将一个骰子向上抛两次，所得点数分别为m和n，则n≤2m的概率是________．‎ 答案　 解析　基本事件的总数为6×6＝36，满足n>2m的数对(n，m)为(6，2)，(6，1)，(5，2)，(5，1)，(4，1)，(3，1)，共6个，所以所求概率为1－＝.‎ ‎16．有6个房间安排4个旅客住，每个人可以住进任一房间，且住进各房间是等可能的．‎ ‎(1)指定的4个房间中各有1人住的事件的概率为________；‎ ‎(2)指定的1个房间有2人住的事件的概率为________．‎ 答案　(1)　(2) 解析　每人可以住进任一房间，且住进各房间都有6种等可能的方法，故所有等可能的情况有64种．‎ ‎(1)指定的4个房间中各有1人住，有4×3×2×1＝24种方法，故所求的概率为＝；‎ ‎(2)从4人中选2人去指定的房间，有6种方法，余下2人每人去5个房间中的任一间，有52种方法，故所求的概率为＝.‎ ‎17．(2019·辽宁模拟卷)甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．‎ ‎(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少 ?‎ ‎(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？‎ 答案　(1)　(2) 思路　这是一个古典概型的概率问题，关键是计算出公式中的m，n，然后直接应用公式 P(A)＝＝进行求解．‎ 解析　甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.‎ ‎(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：‎ 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24.‎ ‎∴P(A)＝＝＝.‎ ‎(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．‎ 记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B，“至少一人抽到选择题”为事件C，则B包含的基本事件数为4×3＝12.‎ ‎∴由古典概型概率公式，得P(B)＝＝.由对立事件的性质可得P(C)＝1－P(B)＝1－＝.‎ ‎18．(2019·安徽省安师大附中高三阶段测试)某校高三期中考试后，数学教师对本次全部数学成绩按1∶20进行分层抽样，随机抽取了20名学生的成绩为样本，成绩用茎叶图记录如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下表所示的频率分布表：‎ 分数段(分)‎ ‎[50，70)‎ ‎[70，90)‎ ‎[90，110)‎ ‎[110，130)‎ ‎[130，150]‎ 总计 频数 b 频率 a ‎0.25‎ ‎(1)求表中a，b的值及成绩在[90，110)范围内的样本数，并估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率(成绩在[90，150]内为及格)；‎ ‎(2)若从茎叶图中成绩在[100，130)范围内的样本中一次性抽取两个，‎ 求取出两个样本数字之差的绝对值小于或等于10的概率．‎ 答案　(1)a＝0.1，b＝3；样本数为8；及格率为0.65　(2) 解析　(1)由茎叶图知成绩在[50，70)范围内的有2人，在[110，130)范围内的有3人，‎ ‎∴a＝0.1，b＝3.‎ ‎∵成绩在[90，110)范围内的频率为1－0.1－0.25－0.25＝0.4.‎ ‎∴成绩在[90，110)范围内的样本数为20×0.4＝8，‎ 估计这次考试全校高三学生数学成绩的及格率为 P＝1－0.1－0.25＝0.65.‎ ‎(2)一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω＝{(100，102)，(100，106)，(100，106)，(100，116)，(100，118)，(100，128)，(102，106)，(102，106)，(102，116)，(102，118)，(102，128)，(106，106)，(106，116)，(106，118)，(106，128)，(106，116)，(106，118)，(106，128)，(116，118)，(116，128)，(118，128)}，共21个基本事件，‎ 设事件A＝“取出的两个样本中数字之差小于等于10”，‎ 则A＝{(100，102)，(100，106)，(100，106)，(102，106)，(102，106)，(106，106)，(106，116)，(106，116)，(116，118)，(118，128)}，共10个基本事件，‎ ‎∴P(A)＝.‎