2020版高考数学一轮（新课改省份专用）复习（讲义）第十章计数原理概率随机变量及其分布列第六节二项分布与正态分布

2020版高考数学一轮（新课改省份专用）复习（讲义）第十章计数原理概率随机变量及其分布列第六节二项分布与正态分布

第六节　二项分布与正态分布 突破点一　事件的相互独立性及条件概率 ‎1．条件概率 定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 ‎①0≤P(B|A)≤1；‎ ‎②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ ‎2.事件的相互独立性 定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立 性质 ‎①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)；‎ ‎②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　)‎ ‎(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)‎ ‎(3)相互独立事件就是互斥事件．(　　)‎ ‎(4)在条件概率中，一定有P(AB)＝P(B|A)P(A)．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、填空题 ‎1．将一个大正方形平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机投掷一点(每次都能投中)，投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，则P(A|B)＝________.‎ 答案： ‎2．抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝{第一枚为正面向上}，B＝{第二枚为正面向上}，则事件C＝{两枚向上的面为一正一反}的概率为________．‎ 答案： ‎3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．‎ 答案：0.72‎ 考法一　条件概率　‎ ‎[例1]　(1)(2019·武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)＝(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)(2019·信丰联考)已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　(1)小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种情况，‎ 即n(B)＝108,4个人去的景点不同的情况有A＝4×3×2×1＝24种，即n(AB)＝24，‎ ‎∴P(A|B)＝＝＝.‎ ‎(2)设事件A为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B为“第2次抽到的是卡口灯泡”，‎ 则P(A)＝，P(AB)＝×＝.‎ 则所求概率为P(B|A)＝＝＝.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)D ‎[方法技巧]　　　条件概率的3种求法 定义法 先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)‎ 基本事件法 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝ 缩样法 缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简 考法二　事件的相互独立性　‎ ‎[例2]　(2019·洛阳模拟)在某中学篮球体育测试要求学生完成“立定投篮”和“三步上篮”两项测试，“立定投篮”与“三步上篮”各有2次投篮机会，先进行“立定投篮”测试，如果合格才有机会进行“三步上篮”测试，为了节约时间，每项只需且必须投中一次即为合格．小明同学“立定投篮”的命中率为，“三步上篮”的命中率为，假设小明不放弃任何一次投篮机会且每次投篮是否命中互不影响．‎ ‎(1)求小明同学一次测试合格的概率；‎ ‎(2)设测试过程中小明投篮的次数为ξ，求ξ的分布列．‎ ‎[解]　(1)设小明第i次“立定投篮”命中为事件Ai，第i次“三步上篮”命中为事件Bi(i＝1,2)，依题意有P(Ai)＝，P(Bi)＝(i＝1,2)，“小明同学一次测试合格”为事件C.‎ ‎(1)P()＝P(1 2)＋P(1 A2 1 2)＋P(A11 2)‎ ‎＝P(1)P(2)＋P(1)P(A2)P(1)P(2)＋P(A1)·P(1)P(2)‎ ‎＝2＋××2＋×2＝.‎ ‎∴P(C)＝1－＝.‎ ‎(2)依题意知ξ＝2,3,4，‎ P(ξ＝2)＝P(A1B1)＋P(12)‎ ‎＝P(A1)P(B1)＋P(1)P(2)＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A11B2)＋P(1A2B1)＋P(A112)‎ ‎＝P(A1)P(1)P(B2)＋P(1)P(A2)P(B1)＋P(A1)·P(1)P(2)＝，‎ P(ξ＝4)＝P(1A21)＝P(1)P(A2)P(1)＝.‎ 故投篮的次数ξ的分布列为：‎ ξ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 相互独立事件同时发生的概率的2种求法 ‎(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式．‎ ‎(2)间接法：从对立事件入手计算．　　　　 ‎ ‎1.已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，所以两次都取到红球的概率为.‎ ‎2.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)相互独立，则P(Ai)＝＝，P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝，i＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.‎ ‎3.为备战2018年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拔赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单．现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为p，且各场比赛结果互不影响．若甲获第一名且乙获第三名的概率为.‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)设在该次对抗比赛中，丙得分为X，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为.即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙的概率为，∴××(1－p)＝，∴p＝.‎ ‎(2)依题意，丙得分X的所有取值为0,3,6.‎ ‎∵丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为，‎ ‎∴P(X＝0)＝×＝，‎ P(X＝3)＝×＋×＝，‎ P(X＝6)＝×＝，‎ ‎∴X的分布列为 P ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ X ‎∴E(X)＝0×＋3×＋6×＝.‎ 突破点二　独立重复试验与二项分布 ‎1．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．‎ ‎2．二项分布 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　)‎ ‎(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　)‎ ‎(3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于________．‎ 答案： ‎2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．‎ 答案： ‎3．若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为________．‎ 答案：3×2－10‎ 考法一　独立重复试验的概率　‎ ‎[例1]　(1)如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中女孩多于男孩的概率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为p，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则p的取值范围为________．‎ ‎[解析]　(1)设女孩个数为X，女孩多于男孩的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝ C2×＋C3＝3×＋＝.故选B.‎ ‎(2)设P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“连续投掷一枚图钉，出现k次钉尖向上”的概率，由题意得P(B2)＜P(B3)，即Cp2(1－p)＜Cp3.∴3p2(1－p)＜p3.由于0＜p＜1，∴＜p＜1.‎ ‎[答案]　(1)B　(2) ‎[方法技巧]‎ n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作是C个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为Cpk(1－p)n－k.　　‎ 考法二　二项分布的应用　‎ ‎[例2]　(2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列．‎ ‎(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；‎ ‎(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)‎ ‎(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值．‎ ‎[解]　(1)∵前四组频数成等差数列，‎ ‎∴所对应的也成等差数列，‎ 设a＝0.2＋d，b＝0.2＋2d，c＝0.2＋3d，‎ ‎∴0.5×(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)＝1，‎ 解得d＝0.1，∴a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5.‎ 居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5＝0.25.‎ 居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100＝25.‎ ‎(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7＜0.8，‎ ‎∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米．‎ 应规定w＝2.5＋×0.5≈2.83.‎ ‎(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，‎ 可知P(A≤2.5)＝0.7，‎ 由题意，X～B(3,0.7)，‎ P(X＝0)＝C×0.33＝0.027，‎ P(X＝1)＝C×0.32×0.7＝0.189，‎ P(X＝2)＝C×0.3×0.72＝0.441，‎ P(X＝3)＝C×0.73＝0.343.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.027‎ ‎0.189‎ ‎0.441‎ ‎0.343‎ ‎∴E(X)＝np＝2.1.‎ ‎[方法技巧]‎ 某随机变量是否服从二项分布的特点 ‎(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．‎ ‎(2)各次试验中的事件是相互独立的．‎ ‎(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．　　‎ ‎1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次，事件“至少有一次正面向上”的概率为P，则n的最小值为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 解析：选A　由P＝1－n≥，解得n≥4，即n的最小值为4.‎ ‎2.若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C　一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－×＝1－＝，设X为3次试验中成功的次数，所以X～B，故所求概率P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－C×0×3＝，故选C.‎ ‎3.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．‎ ‎(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；‎ ‎(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．‎ 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，‎ P(A2)＝0.003×50＝0.15，‎ P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.‎ ‎(2)X～B(3,0.6)，X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，‎ P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，‎ P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，‎ P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.064‎ ‎0.288‎ ‎0.432‎ ‎0.216‎ E(X)＝3×0.6＝1.8.‎ 突破点三　正态分布 ‎1．正态曲线及性质 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ＞0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方与x轴不相交；‎ ‎②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；‎ ‎③曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎⑤当σ一定时， 曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定：‎ ‎2．正态分布 定义 如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)‎ 三个常用数据 ‎①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6；‎ ‎②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4；‎ ‎③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)当x无穷大时，正态曲线可以与x轴相交．(　　)‎ ‎(2)正态曲线与x轴之间的面积大小不确定．(　　)‎ ‎(3)X服从正态分布，通常用X～N(μ，σ2)表示，其中参数μ和σ2分别表示X的均值和方差．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝·e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是________．‎ 答案：10　2‎ ‎2．已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，其中P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4.设ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.158 7，则σ＝________.‎ 答案：2‎ ‎3．(2019·广州模拟)按照国家规定，某种大米每袋质量(单位：kg)必须服从正态分布ξ～N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为________．‎ 解析：∵每袋大米质量服从正态分布ξ～N(10，σ2)，∴P(ξ＜9.9)＝[1－P(9.9≤ξ≤10.1)]＝0.02，∴分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工人数大约为2 000×0.02＝40.‎ 答案：40‎ ‎[典例]　(2019·石家庄模拟)“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：‎ ‎(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；‎ ‎②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ＝≈11.95；‎ 若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4.‎ ‎[解]　(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5.‎ ‎(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ＝26.5，σ≈11.95，‎ ‎∴P(14.55＜Z＜38.45)＝P(26.5－11.95＜Z＜26.5＋11.95)＝0.682 6，‎ ‎∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.‎ ‎②根据题意得X～B，P(X＝0)＝C4＝；‎ P(X＝1)＝C4＝；P(X＝2)＝C4＝；‎ P(X＝3)＝C4＝；P(X＝4)＝C4＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎∴E(X)＝4×＝2.‎ ‎[方法技巧]‎ 求正态总体在某个区间内取值概率的关键点 ‎(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值；‎ ‎(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.‎ ‎①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．‎ ‎②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)．　　‎ ‎[针对训练]‎ ‎1．(2019·正阳模拟)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2＜X＜4)＝(　　)‎ A．0.682 6　　　　　　　　 　B．0.341 3‎ C．0.460 3 D．0.920 7‎ 解析：选A　∵随机变量X服从正态分布N(3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x＝3，∵P(X≥4)＝0.158 7，∴P(2＜X＜4)＝1－2P(X≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A.‎ ‎2．(2018·湘潭二模)某校高三年级有1 000人，某次数学考试不同成绩段的人数ξ～N(127,72)．‎ ‎(1)求该校此次数学考试平均成绩；‎ ‎(2)计算得分超过141的人数；‎ ‎(3)甲同学每次数学考试进入年级前100名的概率是，若本学期有4次考试，X表示进入前100名的次数，写出X的分布列，并求期望与方差．‎ ‎(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.44%)‎ 解：(1)由不同成绩段的人数ξ服从正态分布N(127,72)，可知平均成绩为μ＝127.‎ ‎(2)P(ξ＞141)＝P(ξ＞127＋2×7)＝×[1－P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)]＝0.022 8，‎ 故得分超过141分的人数为1 000×0.022 8≈23.‎ ‎(3)由题意知X～B，‎ 故X的所有可能取值为0,1,2,3,4，‎ P(X＝0)＝4＝，‎ P(X＝1)＝C13＝，‎ P(X＝2)＝C22＝，‎ P(X＝3)＝C31＝，‎ P(X＝4)＝4＝，‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 期望E(X)＝np＝4×＝1，‎ 方差D(X)＝np(1－p)＝4××＝.‎