重庆市三峡名校联盟2013届高三联考 数学理

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三峡名校联盟高2013级3月联考 数学（理科）试题 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．若集合，则（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知数列{ an }满足a1=，且对任意的正整数m,n，都有am+n= am + an，则等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．若是纯虚数，则的值为( )．‎ A． B． C. D.或 ‎4.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5. 已知某三棱锥的三视图（单位:Cm)如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）‎ A. 6cm3 B.2cm3 C.3 cm3 D.1cm3 ‎ 否 输出 结束 ‎?‎ 是 输入M，N 开始 第7题图 ‎6.若在区域内任取一点P，则点P恰好在单位圆内的概率为（ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知， 由如右程序框图输出的（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．设函数的图像关于直线对称,它的周期是,则（ ）‎ A．的图象过点 B.在上是减函数 C.的一个对称中心是 ks5‎ uD. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象 ‎9. 点为双曲线：和圆： 的一个交点，且，其 中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 函数为定义在上的减函数，函数的图像关于点（1,0）‎ 对称， 满足不等式，，为坐标原点，则当时，的取值范围为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．11.12.13为必答题.14.15.16为三选二.若都选.则计14.15题得分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 ‎11.点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离为 ‎ ‎.12. .在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为BC的中点，若F为该矩形内（含边界）任意一点，则：的最大值为______:‎ ‎ 13．给出以下命题：‎ ‎① 双曲线的渐近线方程为；‎ ‎② 命题“，”是真命题；‎ ‎③ 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；‎ ‎④ 设随机变量服从正态分布，若，则；‎ ‎⑤ 已知，，，‎ ‎，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）‎ 则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．‎ 选做题 ‎14.曲线与曲线的交点间距离为 ‎ ‎15.如图△ABC的外角平分线AD交外接圆于D,，则 ‎ ‎16.关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围为 __ 三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ 第16题图 C B D A ‎17.（本小题满分13分）‎ 如图，在△中，，为中点，.‎ 记锐角．且满足．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）求边上高的值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 现有长分别为、、的钢管各根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的,），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．‎ ‎（1）当时,记事件{抽取的根钢管中恰有根长度相等}，求；‎ ‎（2）当时,若用表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计）,①求的分布列；‎ ‎②令，，求实数的取值范围．‎ 19． ‎（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，四边形PCBM是直角梯形，，∥，‎ ‎．又，，直线AM与直线PC所成的角为．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ 20. ‎ (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1）若为的极值点，求实数的值；‎ ‎（2）当时，方程有实根，求实数的最大值。‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线和椭圆都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．‎ ‎（1）求这两条曲线的方程；‎ ‎（2）对于抛物线上任意一点，点都满足，求的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知正项数列的前项和为，且 .‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式； ‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）是否存在非零整数，使不等式 对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ 三峡名校联盟高2013级3月联考 ‎ 数学试题答案（理科）‎ 一、1-5 CBABD 6-10 ACCBD ‎ 二、11. 12. 9/2 13. ①③⑤ 14. 2 15. 4 16.‎ ‎17（1）∵，∴，‎ ‎∵，∴． -----------------6分 ‎（2）方法一、由（1）得， ‎ ‎∵， 7‎ ‎∴， ----------10分 在中，由正弦定理得：，‎ 第16题图 C B D A H ‎∴， ----------12分 则高． -----------------13分 方法二、如图，作 边上的高为 ‎ 在直角△中，由（1）可得，‎ 则不妨设 则 ---------9分 注意到，则为等腰直角三角形，所以 ，‎ 则 ----------11分 所以，即 ----------13分 ‎18.解：(1)事件为随机事件， ………………………………………4分 ‎（2）①可能的取值为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ……………………………………………………9分 ‎② ………………………………11分 ‎，‎ ‎， …………………………………………13分 ‎19、方法1：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分 ‎（2）取BC的中点N，连MN．∵，∴，∴平面ABC．作 ‎，交AC的延长线于H，连结MH．由三垂线定理得，∴为二面角的平面角．∵直线AM与直线PC所成的角为，∴在中，．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 在中，．‎ 在中，∵，∴．‎ 故二面角的余弦值为．13分 方法2：（1）∵，∴平面ABC，∴．5分 ‎（2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．．‎ ‎……………5分 ‎∵，‎ 且，∴，得，∴．……………8分 设平面MAC的一个法向量为，则由得得∴．……………10分 平面ABC的一个法向量为．．……………12分 显然，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．13分 ‎20.（1）．……1分 ‎ 因为为的极值点，所以．…………………………………2分 ‎ 即，解得． ………………………………………3分 ‎ 又当时，，从而的极值点成立．……………4分 ‎（2）若时，方程可化为，．‎ ‎ 问题转化为在上有解，‎ ‎ 即求函数的值域． ……………………7分 以下给出两种求函数值域的方法：‎ 方法1：因为，令，‎ ‎ 则 ， ……………………9分 ‎ 所以当，从而上为增函数，‎ ‎ 当，从而上为减函数， …………10分 ‎ 因此．‎ ‎ 而，故，‎ ‎ 因此当时，取得最大值0． …………………………12分 方法2：因为，所以．‎ 设，则．‎ ‎ 当时，，所以在上单调递增；‎ ‎ 当时，，所以在上单调递减；‎ ‎ 因为，故必有，又，‎ ‎ 因此必存在实数使得，‎ ‎ ，所以上单调递减；‎ ‎ 当，所以上单调递增；‎ ‎ 当上单调递减；‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 当，则，又．‎ ‎ 因此当时，取得最大值0． …………………………………………12分 ‎21解：（1）设抛物线方程为，将代入方程得 ‎-------------------2分 由题意知椭圆、双曲线的焦点为----------------3分 对于椭圆，‎ ‎ ， ‎ 所以椭圆方程为----------------6分 ‎（2）设------------（7分）‎ 由得---------------（9分）‎ ‎ 恒成立------------------10分 则 ‎∴-----------12分 ‎22. (1）由. ‎ 当时，，解得或（舍去）． ……2分 当时，‎ 由，‎ ‎∵，∴，则，‎ ‎∴是首项为2，公差为2的等差数列，故． ………………4分 另法：易得，猜想，再用数学归纳法证明(略)．‎ ‎（2）证法一：∵‎ ‎，……4分 ‎∴当时，‎ ‎.… 7分 当时，不等式左边显然成立. ……………… 8分 证法二：∵，∴.‎ ‎ ∴.……4分 ‎∴当时，‎ ‎.……7分 当时，不等式左边显然成立. ……8分 ‎（3）由，得，‎ 设，则不等式等价于.‎ ‎，……9分 ‎ ‎ ∵，∴，数列单调递增. ‎ 假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ‎① 当为奇数时，得； ……11分 ‎② 当为偶数时，得，即. ……12分 综上，，由是非零整数，知存在满足条件．…… 12分