辽宁省实验中学东戴河分校2020届高三12月月考数学（理）试题 含答案

辽宁省实验中学东戴河分校2020届高三12月月考数学（理）试题 含答案

数学试卷(理科) 说明： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（3） 页，第Ⅱ卷第（4）页至第（6）页。 2、本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 注意事项： 1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。答题卡不 要折叠 2、每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。 3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设集合 则 ( ) A． B． C． D． 2． “ ”是“方程 表示双曲线”的 （ ) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充 分也不必要条件 3．正项等差数列 中的 ， 是函数 的极值点，则 =( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．函数 的图象是由函数 的图像向左平移 个单位得到的，则 （ ） { } { }2| 0 | 2M x x x N x x= − =＜ ， ＜ ， M N∩ = ∅ M N M∩ = M N M∪ = M N R= { }na 11a 4027a ( ) 3 21 4 4 33f x x x x= − + − 20192log a 1 sin cos ( 0)y x a x a= + > 2 5sin 5cosy x x= + ϕ cosϕ = A． B． C． D． 5．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性 考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据 学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为 、 、 、 、 五 个等级.某试点高中 2018 年参加“选择考”总人数是 2016 年参加“选择考”总人 数的 2 倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校 2016 年 和 2018 年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表： 针对该校“选择考”情况，2018 年与 2016 年比较，下列说法正确的是 （ ） A．获得 A 等级的人数减少了 B．获得 B 等级的人数增加了 1.5 倍 C．获得 D 等级的人数减少了一半 D．获得 E 等级的人数相同 6．设 ，且 的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大， 那 么 展 开 式 中 的 所 有 项 的 系 数 之 和 是 （ ） A．1 B． C．64 D． 7．直线 恒过定点 ，若点 在直线 上，其中 ， ，则 的最小值为 （ ） A． B．4 C． D． 3 5 4 5 3 2 10 2 2 5 A B C D E ( ) 0 sin cosa x x dx π = +∫ 2 1 n x ax  −   1 256 1 64 ( 1) ( 2) 0( )x y Rλ λ λ λ+ − + + = ∈ A A 2 0mx ny+ + = 0m > 0n > 2 1 m n + 2 2 5 2 9 2 8．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所 用的经验公式为：弧田面积 （弦×矢+矢 ），弧田（如图阴影部分所示）是 由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心 到弦的距离之差，现有圆心角为 ，矢为 的弧田，按照上述方法计算出其面积 是 ( ) A． B． C． D． 9．执行如图所示的程序框图，则输出 的值是 （ ） A．3 B．5 C．7 D．9 10．已知函数 ，点 ， 分别为 图像在 轴右侧的第一个 最高点和第一个最低点， 为坐标原点，若 为锐角三角形，则 的取值范 围为（ ） 1 2 = × 2 2 3 π 2 2+4 3 13+ 2 2+8 3 4+8 3 n ( ) sin ( 0)f x xω ω= > A B ( )f x y O OAB∆ ω A． B． C． D． 11．设函数 在 上存在导函数 ， ，有 ，在 上有 ，若 ，则实数 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 12．已知函数 ，以下结论正确的是（ ） A． B． 在区间 上是增函数 C．若方程 恰有 3 个实根，则 D．若函数 在 上有 6 个零点 ，则 的 取值范围是 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13．已知 其中 为虚数单位，则 ________； 14．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 30, 2 π      3,2 2 π π      0, 2 π     ,2 π +∞   ( )f x R '( )f x x R∀ ∈ 3( ) ( )f x f x x− − = (0, )+∞ 22 '( ) 3 0f x x− > 2( 2) ( ) 3 6 4f m f m m m− − ≥ − + − m [ 1,1]− ( ,1]−∞ [1, )+∞ ( , 1] [1, )−∞ − +∞ 2 2 , 0( ) ( 2), 0 x x xf x f x x − − <=  − ≥ ( 3) (2019) 3f f− + = − ( )f x [ ]4,5 ( ) 1f x k x= + 1 1,2 4k  ∈ − −   ( )y f x b= − ( ,4)−∞ ( 1,2,3,4,5,6)ix i = ( )6 1 i i i x f x = ∑ ( )0,6 3 4 a b Ra i b ii + = + ∈，（ ， ） i a bi+ = { }na 1 1a = 1 1( 2)n n n na a a a n− −− = ≥ ； 15．如图，在矩形 ABCD 中， ，E 为 AB 的中点．将 沿 DE 翻折， 得到四棱锥 ．设 的中点为 M，在翻折过程中，有下列三个命题： ①总有 平面 ； ②线段 BM 的长为定值； ③存在某个位置，使 DE 与 所成的角为 90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号） 16．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心， 为半径的圆交 的右支于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ， 则 的离心率为_________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 10 分） 已知函数 (1)求函数 的单调递增区间； (2) 内角 的对边分别为 ，若 ， ， ，且 ，试求角 和角 . 1 2 2 3 2014 2015a a a a a a+ + + = 4, 2AB AD= = ADE 1A DEBC− 1AC BM∥ 1A DE 1AC C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F A F FA C M N AM N C 2( ) cos 2 cos2 ( )3f x x x x R π = − − ∈   ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c 3( )2 2 Bf = − 1b = 3c = a b> B C 18．（本小题满分 10 分） 如图，在 中， ，D 是 AE 的中点，C 是线段 BE 上的一点，且 ， ，将 沿 AB 折起使得二面角 是直二 面角． （l）求证：CD 平面 PAB； （2）求直线 PE 与平面 PCD 所成角的正切值． 19．（本小题满分 10 分） 2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术 不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部 2014 年印发的《学术论文抽检办 法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中有 2 位以上（含 3 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题 学术论文”．有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外 2 位同行专家（不同于前 3 位专家）进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位） 专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇 学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 ，且各篇学术论文 是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若 ，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的总评审费 用 1500 元；若某次评审抽检论文总数为 3000 篇，求该次评审费用期望的最大值 及对应 的值． 20．（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（﹣1，0）， PBE△ AB PE⊥ 5AC = 1 22AB AP AE= = = PBA∆ P AB E− − ( )0 1p p< < 1 2p = p xOy G 离心率 ． （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示． ①证明： ； ②求四边形 的面积 的最大值． 21．（本小题满分 10 分） 已知函数 在 上是增函数． 求实数 的值； 若函数 有三个零点，求实数 的取值范围． 22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值． 2 2e = 1 1l y kx m= +： G A B， 2 2 1 2l y kx m m m= + ≠： （ ） G C D， AB CD= 1 2 0m m+ = ABCD S ( ) 2 2 , 0 2 , 0x x x f x x ax ax xe  − <=  + − ≥ ( ),−∞ +∞ ( )1 a ( )2 ( ) ( )g x f x kx= − k xOy C 3cos 3sin x y α α = = α x l 2sin 4 2 πρ θ − =   C l ( )1,0P − l C ,A B | | | |PA PB+ 23．已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. ( ) ( )2 1 0f x x a x a= + + − > 1a = ( ) 4f x > ( ) 4 2f x x> − [ ]3, 1x∈ − − a （数学理） 1-5 BDCBB 6-10 DDADB 11.B 12 BCD 13.5 14. 15. ①② 16. 17【解析】 （1） ， 令 ，解得 故函数 的递增区间为 . （2） ， ， 由正弦定理得： ， ， ， 或 . 当 时， ：当 时， （不合题意，舍） 所以 . 18．如图，在 中， ，D 是 AE 的中点，C 是线段 BE 上的一点，且 ， ，将 沿 AB 折起使得二面角 是直二 面角． （l）求证：CD 平面 PAB； （2）求直线 PE 与平面 PCD 所成角的正切值． 4 3 2 3 3( ) cos 2 cos2 sin 2 cos2 3sin 23 2 2 3f x x x x x x π π   = − − = − = −       2 2 2 ,2 3 2k x k k Z π π ππ π− − + ∈  5 ,12 12k x k k Z π ππ π− + ∈  ∴ ( )f x 5, ( )12 12k k k π ππ π − + ∈   Z 3 13sin , sin2 3 2 3 2 Bf B B π π     = − = − ∴ − = −           20 , , ,3 3 3 3 6 6B B B B π π π π π ππ< < ∴− < − < ∴ − = − = 即 1 3 sin sinsin 6 a A Cπ= = 3sin 2C∴ = 0 C π< < 3C π∴ = 2 3 π 3c π= 2A π= 2 3C π= 6A π= ,6 3B C π π= = PBE△ AB PE⊥ 5AC = 1 22AB AP AE= = = PBA P AB E− − 【答案】（1）证明见解析. （2） . 【解析】 分析：（1）推导出 是 的斜边上的中线，从而 是 的中点， 由此能证明 平面 ； （2）三棱锥 的体积为 ，由此能求出结果． 详解：（1）因为 ，所以 ，又 ， ， 所以 ，又因为 ， 所以 是 的斜边 上的中线， 所以 是 的中点，又因为 是 的中点．所以 是 的中位线，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． （2）据题设分析知， ， ， 两两互相垂直，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系： 因为 ，且 ， 分别是 ， 的中点， 所以 ， ， 所以 ， ， ， ， 1 3 4,AE AC= Rt ABE∆ C BE / /CD PAB E PAC− E PAC P ACEV V− −= 1 22 AE = 4AE = 2AB = AB PE⊥ 2 2 2 22 4 2 5BE AB AE= + = + = 15 2AC BE= = AC Rt ABE BE C BE D AE CD ABE CD AB CD ⊄ PAB AB ⊂ PAB CD PAB AB AE AP A AB AE AP x y z 1 22AB AP AE= = = C D BE AE 4AE = 2AD = ( )0 4 0E   ( )1 2 0C   ( )0 0 2P   ( )0 2 0D   所以 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ，所以 ，令 ，则 ， 设直线 与平面 所成角的大小为 ，则 ． 故直线 与平面 所成角的正切值为 ． 19．2019 年 3 月 5 日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒 学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部 2014 年印发的《学术论文抽 检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家中 有 2 位以上（含 3 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在 问题学术论文”．有且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另 外 2 位同行专家（不同于前 3 位专家）进行复评，2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设 每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 ，且各篇学术 论文是否被评议为“不合格”相互独立． （1）若 ，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率； （2）现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的总评审费 用 1500 元；若某次评审抽检论文总数为 3000 篇，求该次评审费用期望的最大值 及对应 的值． 【答案】(1) (2) 最高费用为 万元．对应 ． （1）因为一篇学术论文初评被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ， 一篇学术论文复评被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ， 所以一篇学术论文被认定为“存在 问题学术论文”的概率为 ( )0 4 2PE = −     ( )1 2 2PC = −     ( )1 0 0CD = −     PCD ( )n x y z′ ′ ′=   0 0 n CD n PC  ⋅ =  ⋅ =   0 2 2 0 x x y z ′ ′ ′ ′ − =  + − = 0x z y =  = ′ ′ ′ 1y′ = ( )0 1 1n =   PE PCD θ 10sin 10 PE n PE n θ ⋅= = ⋅   PE PCD 1 3 ( )0 1p p< < 1 2p = p 25 32 350 1 3p = ( )2 2 3 3 3 31C p p C p− + ( ) ( )2 21 3 1 1 1C p p p − − −  ． ∴ 时， 所以抽检一篇的学术论文被认定为“存在问题学术论文”的概率为 ． （2）设每篇学术论文的评审费为 元，则 的可能取值为 900，1500． ， ， 所以 ． 令 ， ， ． 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减． 所以 的最大值为 ． 所以评审最高费用为 （万元）．对应 ． 20．在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为 F1（﹣1， 0），离心率 ． （1）求椭圆 G 的标准方程； （2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示． ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 3 3 1 3 3 31 1 1 1f p C p p C p C p p p = − + + − − −  ( ) ( ) ( )2 22 33 1 3 1 1 1p p p p p p = − + + − − −  5 4 3 23 12 17 9p p p p= − + − + 1 2p = 1 25 2 32f   =   25 32 X X ( ) ( )21 31500 1P X C p p= = − ( ) ( )21 3900 1 1P X C p p= = − − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 3 3900 1 1 1500 1 900 1800 1E X C p p C p p p p = × − − + × − = + −  ( ) ( )21g p p p= − ( )0,1p∈ ( ) ( ) ( ) ( )( )21 2 1 3 1 1g p p p p p p′ = − − − = − − 10, 3p  ∈   ( ) 0g p′ > ( )g p 10, 3      1 ,13p  ∈   ( ) 0g p′ < ( )g p 1 ,13      ( )g p 1 4 3 27g   =   443000 900 1800 10 35027 − × + × × =   1 3p = xOy G 2 2e = 1 1l y kx m= +： G A B， 2 2 1 2l y kx m m m= + ≠： （ ） G C D， AB CD= ①证明： ； ②求四边形 的面积 的最大值． （1）设椭圆 G 的方程为 （a＞b＞0） ∵左焦点为 F1（﹣1，0），离心率 e= ．∴c=1，a= ， b2=a2﹣c2=1 椭圆 G 的标准方程为： ． （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4） ①证明：由 消去 y 得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0 ， x1+x2= ，x1x2= ； |AB|= =2 ； 同理|CD|=2 ， 由|AB|=|CD|得 2 =2 ， ∵m1≠m2，∴m1+m2=0 ②四边形 ABCD 是平行四边形，设 AB，CD 间的距离 d= ∵m1+m2=0，∴ 1 2 0m m+ = ABCD S ∴s=|AB|×d=2 × = . 所以当 2k2+1=2m12 时，四边形 ABCD 的面积 S 的最大值为 2 21．已知函数 在 上是增函数． 求实数 的值； 若函数 有三个零点，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 解： 当 时， 是增函数，且 ， 故当 时， 为增函数，即 恒成立， 当 时，函数的导数 恒成立， 当 时， ，此时相应 恒成立，即 恒成立，即 恒成立， 当 时， ，此时相应 恒成立，即 恒成立，即 恒成立， 则 ，即 ． 若 ，则 在 上是增函数，此时 最多有一个零点，不可能有三个 零点，则不满足条件． 故 ， 当 时， 有一个零点 ， ( ) 2 2 , 0 2 , 0x x x f x x ax ax xe  − <=  + − ≥ ( ),−∞ +∞ ( )1 a ( )2 ( ) ( )g x f x kx= − k 1 2a e = ln2 11 ,2e e    ∪ − +∞      ( )1 0x < ( ) 2f x x= − ( ) ( )0 0f x f< = 0x ≥ ( )f x ( )' 0f x ≥ 0x ≥ ( ) ( ) ( )2 1 1' 2 2 2 1 1 2 0( ) x x x x x e xe xf x ax a a x x ae e e − −  = + − = + − = − − ≥   1x ≥ 1 0x− ≤ 1 2 0x ae − ≤ 12 xa e ≥ max 1 12 ( )xa e e ≥ = 0 1x≤ < 1 0x− > 1 2 0x ae − ≥ 12 xa e ≤ 12a e ≤ 12a e = 1 2a e = ( )2 0k ≤ ( )g x R ( )g x 0k > 0x < ( ) 2g x x kx= − − k− 当 时， ，故 0 也是故 的一个零点， 故当 时， 有且只有一个零点，即 有且只有一个解， 即 ，得 ， ， 则 ，在 时有且只有一个根， 即 与函数 ，在 时有且只有一个交点， ， 由 得 ，即 得 ，得 ，此时函数 递增， 由 得 ，即 得 ，得 ，此时函 数递减， 即当 时，函数取得极小值，此时极小值为 ， ， 作出 的图象如图， 要使 与函数 ，在 时有且只有一个交点， 则 或 ， 0x = ( ) ( )0 0 0 0g f= − = ( )g x 0x > ( )g x ( ) 0g x = 2 02x x x x kxe e e + − − = 2 2x x x x kxe e e + − = ( 0)x > 1 1 2x xk e e e = + − 0x > y k= ( ) 1 1 2x xh x e e e = + − 0x > ( ) 1 1' 2xh x e e = − + ( )' 0h x > 1 1 02xe e − + > 1 1 2xe e < 2xe e> ln2 1 ln2x e> = + ( )' 0h x < 1 1 02xe e − + < 1 1 2xe e > 2xe e< 0 ln2 1 ln2x e< < = + 1 ln2x = + ( ) 1 ln2 1 1 ln2 11 ln2 2h e e e+ ++ = + − ln2 1 1 ln2 1 1 1 ln2 1 ln2 2 2 2 2 2 2e e e e e e e e e e = + + − = + + − =⋅ ( ) 1 10 1 0 1h e e = + − = − ( )h x y k= ( ) 1 1 2x xh x e e e = + − 0x > ln2 2k e = 11k e ≥ − 即实数 的取值范围是 ． 22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 在以原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 和曲线 交于 两点，求 的值． 【答案】（1） ， ；（2） . （1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以曲线 C 的普通方程为 . 因为 ， 所以 . 所以直线 的直角坐标方程为 . （2）由题得点 在直线 l 上，直线 l 的参数方程为 ， 代入椭圆的方程得 ， 所以 ， 所以 . 23．已知函数 . k ln2 11 ,2e e    ∪ − +∞      xOy C 3cos 3sin x y α α = = α x l 2sin 4 2 πρ θ − =   C l ( )1,0P − l C ,A B | | | |PA PB+ 2 2 19 3 x y+ = 1 0x y− + = 66 2 C 3cos 3sin x y α α = = α 2 2 19 3 x y+ = 2sin 4 2 πρ θ − =   sin cos 1, 1 0x yρ θ ρ θ− = ∴ − + = l 1 0x y− + = ( )1,0P − 21 2 2 2 x t y t  = − +  = 22 2 8 0t t− − = 1 2 1 2 2+ , 4 02t t t t= = − < 2 1 2 1 2 1 2 66|PA|+|PB|=| | ( ) 4 2t t t t t t− = + − = ( ) ( )2 1 0f x x a x a= + + − > （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 对任意的 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） （1）当 时， ， 故 等价于 或 或 ，解得 或 . 故不等式 的解集为 . （2）当 时，由 得 ， 即 ，即 或 对任意的 恒成立. 又 ， ，故 的取值范围为 . 又 ，所以 ， 综上， 的取值范围为 . 1a = ( ) 4f x > ( ) 4 2f x x> − [ ]3, 1x∈ − − a 5| 1 3xx x > < −  或 ( )5,+∞ 1a = ( ) 1 2 1f x x x= + + − ( ) 4f x > 1 3 1 4 x x ≤ − − + > 1 1 3 4 x x − < ≤ − + > 1 3 1 4 x x >  − > 1x < − 5 3x > ( ) 4f x > 5| 1 3xx x > < −  或 [ ]3, 1x∈ − − ( ) 4 2f x x> − 2 2 2 4 0x a x x+ + − + − > 2x a+ > 2a x> − 2a x< − − [ ]3, 1x∈ − − ( )max2 5x− = ( )min2 1x− − = − a ( ) ( ), 1 5,−∞ − +∞ 0a > 5a > a ( )5,+∞