甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学（文）试卷 Word版含解析

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‎2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学（文）试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1．已知集合A=x ‎‎ ‎2x-1‎x-2‎<1‎,B=‎x ‎‎ y=log‎2‎(x‎2‎-3x+2)‎,则A∩B=‎ A．‎-∞,-1‎ B．‎(‎1‎‎2‎,1)‎ C．‎2,+∞‎ D．‎‎-1,1‎ ‎2．设p:b0)‎个单位，所得图象关于原点对称，则φ最小时，‎tanφ=‎ A．‎-‎‎3‎‎3‎ B．‎3‎‎3‎ C．‎-‎‎3‎ D．‎‎3‎ ‎6．已知数列‎{an}‎满足an‎=‎‎1‎‎4n‎2‎-1‎，Sn‎=a‎1‎+a‎2‎+⋯+‎an，若m>‎Sn恒成立，则m的最小值为 A．‎0‎ B．‎1‎ C．‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎7．设M是ΔABC边BC上任意一点，N为AM的中点，若AN‎=λAB+μAC，则λ+μ的值为 A．‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎1‎‎4‎ D．1‎ ‎8．已知非零向量a，b，满足‎ a ‎‎=2‎‎ b ‎，若函数f(x)=‎1‎‎3‎x‎3‎+‎1‎‎2‎ax‎2‎+a⋅bx+1‎在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为 A．‎0,‎π‎3‎ B．π‎3‎‎,π C．‎0,‎π‎3‎ D．‎π‎3‎‎,π ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 ‎ A．6+‎6‎‎2‎ B．8+‎4‎‎2‎ C．6+‎4‎‎2‎+‎2‎‎3‎ D．6+‎‎2‎2‎+4‎‎3‎ ‎10．设等差数列an的前n项和为Sn，已知‎(a‎5‎-1)‎‎3‎‎+2018(a‎5‎-1)=1‎，‎ ‎(a‎2014‎-1)‎‎3‎‎+2018(a‎2014‎-1)=-1‎‎，则下列结论正确的是 A．S‎2018‎‎=-2018,a‎2014‎>‎a‎5‎ B．‎S‎2018‎‎=2018,a‎2014‎>‎a‎5‎ C．S‎2018‎‎=-2018,a‎2014‎<‎a‎5‎ D．‎S‎2018‎‎=2018,a‎2014‎<‎a‎5‎ ‎11．已知锐角ΔABC的一边BC在平面α内，A∉α，点A在平面内的射影为点P，则‎∠ABC与‎∠BPC的大小关系为 A．‎∠BAC<∠BPC B．‎‎∠BAC>∠BPC C．‎∠BAC=∠BPC D．以上情况都有可能 ‎12．已知函数f(x)=‎ex‎, x<0‎‎6x‎3‎-9x‎2‎+1, x≥0 ‎，则函数g(x)=2‎[f(x)]‎‎2‎-3f(x)-2‎的零点个数为 A．‎2‎ B．‎3‎ C．‎4‎ D．‎‎5‎ 二、填空题 ‎13．在ΔABC中，AB=3，AC=4，BC=3，D为BC的中点，则AD=__________．‎ ‎14．若曲线f(x)=4lnx-‎x‎2‎在点(1,-1)处的切线与曲线y=x‎2‎-3x+m相切，则m的值是_________.‎ ‎15．已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，AB=2‎，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为__________．‎ ‎16．已知OA‎=(1,0), OB=(1,1), (x,y)=λOA+μOB.若‎0≤λ≤1≤μ≤2‎,z=xm+yn (m>0, n>0)‎的最大值为2，则m+n的最小值为____________.‎ 三、解答题 ‎17．已知‎{an}‎是公差为1的等差数列，且a‎1‎，a‎2‎，a‎4‎成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求‎{an}‎的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）求数列an‎2‎n的前n项和．‎ ‎18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：‎ 年份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y(万吨)‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎7‎ ‎7.1‎ ‎7.2‎ ‎7.4‎ ‎（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程y‎=bt+‎a；‎ ‎（Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量. ‎ 附:对于一组数据t‎1‎‎，‎y‎1‎‎，t‎2‎‎，‎y‎2‎，...，‎tn‎，‎yn，其回归直线y‎=bt+‎a的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b‎=‎i=1‎n‎(ti-t)(yi-y)‎i=1‎n‎(ti-t)‎‎2‎，a‎=y-‎bt.(参考数据:i=1‎‎6‎‎(ti-t)(yi-y)‎‎=2.8‎，计算结果保留小数点后两位）‎ ‎19．如图，在长方形ABCD中，AB=π ,AD=2,E,F为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ADHF⊥平面BCHF；‎ ‎（Ⅱ）若P为DC的中点，求三棱锥H—AGP的体积．‎ ‎20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M过点F，且与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P,Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.‎ ‎21．设函数f(x)=x-‎2‎x-a(lnx-‎1‎x‎2‎) (a>0)‎．‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x)‎的单调区间； ‎ ‎（Ⅱ）记函数f(x)‎的最小值为g(a)‎，证明：g(a)<1‎．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C‎1‎的参数方程为x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C‎2‎的极坐标方程为ρ=4sinθ.‎ I求曲线C‎1‎的普通方程和C‎2‎的直角坐标方程；‎ Ⅱ已知曲线C‎3‎的极坐标方程为θ=α(0<α<π)‎，点A是曲线C‎3‎与C‎1‎的交点，点B是曲线C‎3‎与C‎2‎的交点，且A，B均异于原点O，AB=4‎‎2‎，求α的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数 f(x)=‎2x-1‎-‎x+2‎ ‎ ‎（Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；‎ ‎（Ⅱ）若关于x的不等式‎2m+1‎‎≥f(x+3)+3‎x+5‎有解，求实数m的取值范围.‎ ‎2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学（文）试题 数学 答 案 参考答案 ‎1．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可.‎ ‎【详解】‎ 解：由A中不等式变形得：‎2x-1‎x-2‎‎-1<0‎，即为‎2x-1-‎x-2‎x-2‎‎<0‎变形可得：x-2‎x+1‎‎<0‎，解得‎-1‎Sn恒成立，则m≥‎‎1‎‎2‎则m的最小值为‎1‎‎2‎ .‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出Sn 的最大值.‎ ‎7．A ‎【解析】‎ 分析：因为M为边BC上任意一点，故将AN‎=λAB+μAC中的AN 化为AM得‎1‎‎2‎AM‎=λAB+μAC变形得AM‎=2λAB+2μAC。则‎2λ+2μ=1‎，可得λ+μ=‎‎1‎‎2‎。 详解：因为N为AM的中点，AN‎=λAB+μAC，‎ 所以‎1‎‎2‎AM‎=λAB+μAC，‎ 即 ‎AM‎=2λAB+2μAC 因为M为边BC上任意一点，‎ 所以‎2λ+2μ=1‎， 所以λ+μ=‎‎1‎‎2‎。‎ 故选A。‎ 点睛：由AN‎=λAB+μAC，求λ+μ的值。注意结论的运用：若O,A,B,C是一平面内四点，若OA‎=λOB+μOC ，则λ+μ=1‎。反之成立。‎ ‎8．B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数f‎'‎x‎=x‎2‎+a‎→‎x+a‎→‎⋅‎b‎→‎,而根据f（x）在R上存在极值便有f′（x）=0有两个不同实数根，从而‎△=a‎→‎‎2‎-4a‎→‎⋅b‎→‎>0‎ 这样即可得到cos<‎‎1‎‎2‎ 这样由余弦函数的图象便可得出‎‎的范围，即得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：f‎'‎x‎=x‎2‎+a‎→‎x+a‎→‎⋅‎b‎→‎，‎ ‎∵f（x）在R上存在极值；‎ ‎∴f′（x）=0有两个不同实数根；‎ ‎△=a‎→‎‎2‎-4a‎→‎⋅b‎→‎>0‎‎;即a‎→‎‎2‎‎-4a‎→‎⋅b‎→‎cos>0‎，因为‎ a ‎‎=2‎‎ b ‎，‎ ‎∴cos∈‎π‎3‎‎,π；‎ ‎∴‎a‎→‎与b‎→‎夹角的取值范围为π‎3‎‎,π . ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象．‎ ‎9．C ‎【解析】‎ 所以棱锥P-ABCD的表面积为‎2‎2‎×2+‎3‎‎4‎×‎(2‎2‎)‎‎2‎+3×‎1‎‎2‎×2×2=6+4‎2‎+2‎‎3‎ ‎ 选C.‎ 点睛:空间几何体表面积的求法 ‎ (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎10．D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造函数f（x）=x3+2018x，求出f′（x），判断出函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，由已知的两等式得到f（a5﹣1）=1及f（a2014﹣1）=﹣1，由f（x）为奇函数得到f（1﹣a2014）=1，由函数的单调性得到a5﹣1与1﹣a2014相等即a5+a2014=2，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S2018，根据等差数列的性质化简后，将a5+a2014=2代入即可求出值，再根据单调性判断出a5＞a2014．‎ ‎【详解】‎ 解：令f（x）=x3+2018x，则f′（x）=3x2+2018＞0，‎ 得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．‎ 由条件，有f（a5﹣1）=1，f（a2014﹣1）=﹣1，即f（1﹣a2014）=1．‎ ‎∴a5﹣1=1﹣a2014，从而a5+a2014=2，‎ 则Sn‎=‎2018‎a‎1‎‎+‎a‎2018‎‎2‎=‎2018‎a‎5‎‎+‎a‎2014‎‎2‎=2018‎ ‎ ‎∵f（a5﹣1）=1，f（a2014﹣1）=﹣1，f（x）在R上单调递增，‎ ‎∴a5﹣1＞a2014﹣1，即a5＞a2014，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查灵活运用等差数列的性质及前n项和的公式化简求值，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力,是一道中档题．‎ ‎11．A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点p作PD⊥BC于点D，连接AD.在RtΔACD和RtΔPCD中分别计算tan∠CAD和tan∠CPD就可以比较‎∠CAD和‎∠CPD的大小，进而比较‎∠BAC和∠BPC 大小.‎ ‎【详解】‎ 解：过点p作PD⊥BC于点D，连接AD如下图.则BD⊥面APD,‎ 在RtΔACD中，tan∠CAD=‎CDAD，‎ 在RtΔPCD中，tan∠CPD=‎CDPD,‎ 在RtΔAPD中，AD>PD,所以CDAD‎<‎CDPD也即tan∠CAD0‎且f‎1‎=-2‎ ，作出fx的大致图像，令g(x)=2‎[f(x)]‎‎2‎-3f(x)-2‎中m=fx变形为2m2﹣3m-2=0，解得m=2或‎-‎‎1‎‎2‎ ，再由图像f（x）=2或f（x）=‎-‎‎1‎‎2‎，观察可知，函数g(x)‎ 的零点个数为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题函数与方程的应用，函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查学生分析解决问题的能力，函数的性质等基础知识．‎ ‎13．‎41‎‎2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得cosB的值，之后在ΔABD中，根据余弦定理，从而求得AD的长.‎ ‎【详解】‎ 在ΔABC中，根据余弦定理，可得cosB=‎3‎‎2‎‎+‎3‎‎2‎-‎‎4‎‎2‎‎2×3×3‎=‎‎1‎‎9‎，‎ 在ΔABD中，根据余弦定理，可得AD‎2‎=‎3‎‎2‎+‎(‎3‎‎2‎)‎‎2‎-2×3×‎3‎‎2‎×‎1‎‎9‎=‎‎41‎‎4‎，‎ 所以AD=‎‎41‎‎2‎，故答案是‎41‎‎2‎.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键.‎ ‎14．‎‎13‎‎4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到m的值.‎ ‎【详解】‎ 因为f(x)=4lnx-‎x‎2‎，所以f‎'‎‎(x)=‎4‎x-2x，所以f‎'‎‎(1)=2‎，‎ 所以曲线f(x)‎在点‎(1,-1)‎处的切线方程为y+1=2(x-1)‎，即y=2x-3‎，‎ 联立y=2x-3‎y=x‎2‎-5x+m+3‎ 得x‎2‎‎-5x+m+3=0‎，‎ 为直线与曲线相切，‎ 所以Δ=25-4(m+3)=0‎，解得m=‎‎13‎‎4‎.‎ 故答案为：‎‎13‎‎4‎ ‎【点睛】‎ 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x‎0‎,y‎0‎)‎及斜率，其求法为：设P(x‎0‎,y‎0‎)‎是曲线y=f(x)‎上的一点，则以P的切点的切线方程为：y-y‎0‎=f'(x‎0‎)(x-x‎0‎)‎．若曲线y=f(x)‎在点P(x‎0‎,f(x‎0‎))‎的切线平行于y轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x=‎x‎0‎．‎ ‎15．‎π‎6‎ ‎【解析】‎ 分析: 根据正四面体的性质，可得内切球半径，根据平面ACE截球O所得截面经过球心，可得答案．‎ 详解: ∵球O为正四面体ABCD的内切球，AB=2，‎ 所以正四面体的体积为‎1‎‎3‎‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×‎‎2‎‎3‎‎6‎.‎ 设正四面体的内切球半径为r,‎ 则‎4×‎1‎‎3‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×r=‎1‎‎3‎×(‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎)×‎‎2‎‎3‎‎6‎ 故内切球半径r=‎6‎‎6‎，‎ 平面ACE截球O所得截面经过球心，‎ 故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等，‎ 故S=πr2=π‎6‎，‎ 点睛：本题主要考查几何体的内切球外接球问题，考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径，关键在于找到关于r的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来，得到四个小的三棱锥，它们的体积的和等于正四面体的体积，本题就是根据体积相等列出关于r的方程的.‎ ‎16．‎‎5‎‎2‎‎+‎‎6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：OA‎=(1,0),OB=(1,1),(x,y)=λOA+μOB ‎⇒‎λ=x-yμ=y，由‎0≤λ≤1≤μ≤2‎ ‎⇒‎‎0≤x-y≤1‎‎1≤y≤2‎，作出此可行域如图所示，当直线z=xm+‎yn经过点A(3,2)‎时，有最大值‎2‎，所以‎3‎m‎+‎2‎n=2‎，则m+n ‎=(m+n)⋅(‎3‎‎2m+‎1‎n)=‎5‎‎2‎+‎3n‎2m+mn≥‎5‎‎2‎+‎‎6‎，当且仅当‎3m‎2n‎=‎mn，即m=‎3+‎‎6‎‎2‎,n=1+‎‎6‎‎2‎时取等号，故答案填‎5‎‎2‎‎+‎‎6‎.‎ 考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式.‎ ‎【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件将λ,μ的限制范围转化为x,y限制范围，也就是关于x,y的可行域，然后再根据线性规划的知识得出m,n的关系，最后再结合基本不等式，即可求出m+n的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错.‎ ‎17．（1）an‎=n．（2）Sn‎=2-‎n+2‎‎2‎n．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得an的通项公式。‎ ‎（2）数列an‎2‎n可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n项和可用错位相减法求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得a‎2‎‎2‎‎=‎a‎1‎a‎4‎，‎∴‎(a‎1‎+1)‎‎2‎=a‎1‎(a‎1‎+3)‎，故a‎1‎‎=1‎，‎ 所以‎{an‎}‎的通项公式为an‎=n．‎ ‎（2）设数列C的前n项和为Sn，则 Sn‎=‎1‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎2‎+‎3‎‎2‎‎3‎+⋯+‎n‎2‎n‎，‎ ‎1‎‎2‎Sn‎=‎1‎‎2‎‎2‎+‎2‎‎2‎‎3‎+‎3‎‎2‎‎4‎+⋯+‎n‎2‎n+1‎‎，两式相减得‎1‎‎2‎Sn‎=‎1‎‎2‎+(‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎3‎+‎1‎‎2‎‎4‎+⋯+‎1‎‎2‎n)-‎n‎2‎n+1‎ ‎=1-‎1‎‎2‎n-‎n‎2‎n+1‎‎， ‎ 所以Sn‎=2-‎n+2‎‎2‎n．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题。‎ ‎18．（1）y‎=0.16t+6.44‎． ‎ ‎（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为‎7.72‎万吨．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求得t‎,‎y，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b‎,‎a的值，从而求得线性回归方程.（2）将t=8‎代入（1）求得的回归直线方程，来求‎2019‎年产量的预测值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知：t‎=‎1+2+3+4+5+6‎‎6‎=3.5‎，‎ y‎=‎6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4‎‎6‎=7‎‎， ‎ i=1‎‎6‎ti‎-‎t‎2‎‎=‎-2.5‎‎2‎+‎-1.5‎‎2‎+‎-0.5‎‎2‎+‎0.5‎‎2‎+‎1.5‎‎2‎+‎2.5‎‎2‎=17.5‎‎，‎ ‎∴b‎=i=1‎nti‎-‎tyi‎-‎yi=1‎nt‎1‎‎-‎t‎2‎=‎2.8‎‎17.5‎=0.16‎，‎ 又a‎=y-bt=7-0.16×3.5=6.44‎， ‎ ‎∴y关于t的线性回归方程为y‎=0.16t+6.44‎． ‎ ‎（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t=8‎，此时y‎=0.16×8+6.44=7.72‎，‎ 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为‎7.72‎万吨．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值y=bx+a，不是y=ax+b，这一点要特别注意.‎ ‎19．（1）见解析（2）‎‎3‎‎6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)H在下底面圆周上，且CD为下底面半圆的直径,得到DH垂直于HC，DH⊥FH进而得到DH⊥‎平面BCFH，最终根据面面垂直的判定定理得到面面垂直；(2) 三棱锥H-AGP的体积V=VA-PGH=‎1‎‎3‎×SΔPGH×‎AD，因为G、H为DC的三等分点结合题干条件得到ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC均为边长等于‎1‎的等边三角形，进而求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为H在下底面圆周上，且CD为下底面半圆的直径 所以DH⊥HC ‎ 又因为DH⊥FH，且CH∩FH=H，所以DH⊥‎平面BCHF ‎ 又因为DH⊂‎平面ADHF，所以平面ADHF⊥‎平面BCHF ‎ ‎（2）设下底面半径为r，‎ 由题πr=π，所以r=1‎， ‎ 因为下底面半圆圆心为P，‎ 所以PD=PG=PH=PC=r=1‎ 又因为G、H为DC的三等分点，‎ ‎∴∠DPG=∠GPH=∠HPC=‎‎60‎‎∘‎ 所以ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC均为边 长等于‎1‎的等边三角形，‎ 所以ΔPGH的面积SΔPGH‎=‎‎3‎‎4‎ ‎ 所以三棱锥H-AGP的体积V=VA-PGH=‎1‎‎3‎×SΔPGH×AD=‎‎3‎‎6‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了面面垂直的判定，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.‎ ‎20．（Ⅰ）y‎2‎‎=4x（Ⅱ）‎‎-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设Mx，y，由x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎x+1‎化简即可得结论；‎ ‎（Ⅱ）设直线DP的斜率为k(k≠0)‎，则直线DQ的斜率为‎-k，联立直线方程与抛物线方程求出P、Q两点坐标，继而求出斜率 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）设点M到直线l的距离为d，依题意MF‎=d 设Mx,y，则有x-1‎‎2‎‎+‎y‎2‎‎=‎x+1‎ 化简得y‎2‎‎=4x 所以点M的轨迹C的方程为y‎2‎‎=4x ‎（Ⅱ）设直线DP的斜率为k(k≠0)‎，则直线DQ的斜率为‎-k.令t=‎‎1‎k，‎ 联立方程组：x-1=t(y-2)‎y‎2‎‎=4x，消去x并整理得：y‎2‎‎-4ty+8t-4=0‎ ‎ 设P(xp，yp)‎，因为点D的坐标为‎1,2‎，所以‎2yp=8t-4‎，故yp‎=4t-2‎，‎ 从而点P的坐标为‎(4t‎2‎-4t+1，4t-2)‎，用‎-t去换点P坐标中的t可得点Q的坐标为‎(4t‎2‎+4t+1，-4t-2)‎，所以直线PQ的斜率为‎-4t-2‎‎-(4t-2)‎‎4t‎2‎+4t+1‎‎-(4t‎2‎-4t+1)‎‎=-1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标x，y，根据题意列出关于x，y的等式即可。在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果。‎ ‎21．（Ⅰ）f(x)‎在‎( 0 , a )‎上单调递减，在‎( a , +∞ )‎上单调递增．（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）fx的定义域为‎（0，+∞）‎，求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）要证g(a)<1‎，即证a-alna-‎1‎a<1‎，即证明‎1-lna-‎1‎a‎2‎<‎‎1‎a，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）显然f(x)‎的定义域为‎( 0 , +∞ )‎．‎ f‎'‎‎(x)=1+‎2‎x‎2‎-a(‎1‎x+‎2‎x‎3‎)=x‎2‎‎+2‎x‎2‎-a⋅x‎2‎‎+2‎x‎3‎=‎‎(x‎2‎+2)(x-a)‎x‎3‎‎． ‎ ‎∵x‎2‎‎+2>0‎，x>0‎，‎ ‎∴若x∈( 0 , a )‎，x-a<0‎，此时f‎'‎‎(x)<0‎，f(x)‎在‎( 0 , a )‎上单调递减；‎ 若x∈( a , +∞ )‎，x-a>0‎，此时f‎'‎‎(x)>0‎，f(x)‎在‎( a , +∞ )‎上单调递增；‎ 综上所述：f(x)‎在‎( 0 , a )‎上单调递减，在‎( a , +∞ )‎上单调递增． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f‎(x)‎min=f(a)=a-‎2‎a-a(lna-‎1‎a‎2‎)=a-alna-‎‎1‎a，‎ 即：g(a)=a-alna-‎‎1‎a． ‎ 要证g(a)<1‎，即证明a-alna-‎1‎a<1‎，即证明‎1-lna-‎1‎a‎2‎<‎‎1‎a，‎ 令h(a)=lna+‎1‎a+‎1‎a‎2‎-1‎，则只需证明h(a)=lna+‎1‎a+‎1‎a‎2‎-1>0‎， ‎ ‎∵h‎'‎‎(a)=‎1‎a-‎1‎a‎2‎-‎2‎a‎3‎=a‎2‎‎-a-2‎a‎3‎=‎‎(a-2)(a+1)‎a‎3‎，且a>0‎，‎ ‎∴当a∈( 0 , 2 )‎，a-2<0‎，此时h‎'‎‎(a)<0‎，h(a)‎在‎( 0 , 2 )‎上单调递减；‎ 当a∈( 2 , +∞ )‎，a-2>0‎，此时h‎'‎‎(a)>0‎，h(a)‎在‎( 2 , +∞ )‎上单调递增，‎ ‎∴h‎(a)‎min=h(2)=ln2+‎1‎‎2‎+‎1‎‎4‎-1=ln2-‎1‎‎4‎>0‎． ‎ ‎∴h(a)=lna+‎1‎a+‎1‎a‎2‎-1>0‎．‎ ‎∴g(a)<1‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎22．（1）‎(x-2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4,x‎2‎+‎(y-2)‎‎2‎=4‎；（2）‎3π‎4‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2＝4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．‎ ‎（2）曲线C1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4‎2‎|sin（α-‎π‎4‎）|＝4‎2‎，进而sin（α-‎π‎4‎）＝±1，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由x=2+2cosφy=2sinφ消去参数φ，‎ 得C‎1‎的普通方程为‎(x-2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎.‎ ‎∵ρ=4sinθ⇒ρ‎2‎=4ρsinθ，又x=ρcosθy=ρsinθ，‎ ‎∴C‎2‎的直角坐标方程为x‎2‎‎+‎(y-2)‎‎2‎=4‎.‎ ‎（2）由（1）知曲线C‎1‎的普通方程为‎(x-2)‎‎2‎‎+y‎2‎=4‎，‎ ‎∴其极坐标方程为ρ=4cosθ，‎ ‎∴AB‎=ρA‎-‎ρB=4sinα-cosα=4‎2‎sin(α-π‎4‎)‎=4‎‎2‎.‎ ‎∴‎sin(α-π‎4‎)=±1⇒α-π‎4‎=kπ+π‎2‎⇒α=kπ+‎3π‎4‎(k∈Z)‎ 又‎0<α<π，∴α=‎‎3π‎4‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎23．（1）‎(-∞,-‎1‎‎3‎)∪(3,+∞)‎；（2）‎‎(-∞,-3]∪[2,+∞)‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集；‎ ‎（2）f(x+3)+3x+5‎=‎2x+5‎+‎‎2x+10‎，利用绝对值的三角不等式求得‎2x+5‎‎+‎‎2x+10‎的最小值min，然后解不等式‎2m+1‎‎≥min即可．‎ 详解：（1）f(x)=‎x-3,x≥‎‎1‎‎2‎‎-3x-1,-20‎时，得x>3‎；当‎-3x-1>0‎时，得‎-20‎时，得x≤-2‎，‎ 综上可得不等式f(x)>0‎的解集为‎(-∞,-‎1‎‎3‎)∪(3,+∞)‎.‎ ‎（2）依题意‎2m+1‎‎≥‎‎(f(x+3)+3x+5‎)‎min，‎ 令g(x)=f(x+3)+3x+5‎=‎2x+5‎+‎‎2x+10‎ ‎≥‎-2x-5+2x+10‎=5‎.‎ ‎∴‎2m+1‎‎≥5‎，解得m≥2‎或m≤-3‎，即实数m的取值范围是‎(-∞,-3]∪[2,+∞)‎.‎ 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：‎ ‎（1）“能成立”：存在x使不等式t≥f(x)‎成立‎⇔t≥f‎(x)‎min，存在x使不等式t≤f(x)‎成立‎⇔t≤f‎(x)‎max；‎ ‎（2）“恒成立”：对任意的x不等式t≥f(x)‎恒成立‎⇔t≥f‎(x)‎max，对任意的x不等式t≤f(x)‎恒成立‎⇔t≤f‎(x)‎min． ‎