【数学】2019届一轮复习北师大版数学归纳法及其应用学案
13.3 数学归纳法
最新考纲
考情考向分析
1.了解数学归纳法的原理．
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
以了解数学归纳法的原理为主，会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式．在高考中以解答题形式出现，属高档题.
数学归纳法
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：
(1)验证：当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时，命题成立；
(2)在假设当n＝ ( ∈N＋， ≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝ ＋1时，命题成立．
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝ 到n＝ ＋1时，项数都增加了一项．( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √ )
题组二 教材改编
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.
3．已知{an}满足an＋1＝a－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝______，a3＝______，a4＝______，猜想an＝______.
答案 3 4 5 n＋1
题组三 易错自纠
4．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N＋)，在验证n＝1时，等式左边的项是( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案 C
解析 当n＝1时，n＋1＝2，
∴左边＝1＋a1＋a2＝1＋a＋a2.
5．对于不等式
0，整数p>1，n∈N＋.
(1)证明：当x>－1且x≠0时，(1＋x)p>1＋px；
(2)数列{an}满足a1>，an＋1＝an＋a.证明：an>an＋1>.
证明 (1)①当p＝2时，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．
②假设当p＝ ( ≥2， ∈N＋)时，不等式(1＋x) >1＋ x成立．
则当p＝ ＋1时，
(1＋x) ＋1＝(1＋x)(1＋x) >(1＋x)·(1＋ x)
＝1＋( ＋1)x＋ x2>1＋( ＋1)x.
所以当p＝ ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x>－1，且x≠0时，
对一切整数p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
(2)方法一 ①当n＝1时，由题设知a1>成立．
②假设当n＝ ( ≥1， ∈N＋)时，不等式a >成立．
由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N＋.
则当n＝ ＋1时，
＝＋a＝1＋.
由a >>0得－1<－<<0.
由(1)中的结论得p＝p>1＋p·＝.
因此a>c，即a ＋1>.
所以当n＝ ＋1时，不等式an>也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>均成立．
再由＝1＋可得<1，
即an＋1an＋1>，n∈N＋.
方法二 设f(x)＝x＋x1－p，x≥，
则xp≥c，
并且f′(x)＝＋(1－p)x－p
＝>0，x>.
由此可得，f(x)在[，＋∞)上是增加的，
因而，当x>时，f(x)>f()＝.
①当n＝1时，由a1>>0，
即>c可知a2＝a1＋
＝a1，从而a1>a2>.
故当n＝1时，不等式an>an＋1>成立．
②假设当n＝ ( ≥1， ∈N＋)时，
不等式a >a ＋1>成立，
则当n＝ ＋1时，f(a )>f(a ＋1)>f()，
即有a ＋1>a ＋2>.
所以当n＝ ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>均成立．
思维升华数学归纳法证明不等式的适用范围及关键
(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．
(2)关键：由n＝ 时命题成立证n＝ ＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化．
跟踪训练 (2018·衡水调研)若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1是过点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))(n∈N＋)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤xn0，
即x ＋11时，对x∈(0，a－1]，有φ′(x)≤0，
∴φ(x)在(0，a－1]上是减少的，
∴φ(a－1)<φ(0)＝0.
即当a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，
∴ln(1＋x)≥不恒成立．
综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．
命题点2 与数列有关的证明问题
典例 (2018·东营模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an>0(n∈N＋)．猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
解 分别令n＝1,2,3，得
∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3，
猜想：an＝n.
由2Sn＝a＋n，①
可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)，②
①－②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1.
(ⅰ)当n＝2时，a＝2a2＋12－1，
∵a2>0，∴a2＝2.
(ⅱ)假设当n＝ ( ≥2， ∈N＋)时，a ＝ ，那么当n＝ ＋1时，
a＝2a ＋1＋a－1＝2a ＋1＋ 2－1，
即[a ＋1－( ＋1)][a ＋1＋( －1)]＝0，
∵a ＋1>0， ≥2，∴a ＋1＋( －1)>0，
∴a ＋1＝ ＋1，即当n＝ ＋1时也成立．
∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立，
故对于一切n∈N＋，均有an＝n.
命题点3 存在性问题的证明
典例设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N＋)．
(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式；
(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2 ＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2 ＋2>a2.
再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)f(a2 ＋1)＝a2 ＋2，
a2( ＋1)＝f(a2 ＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2，
所以a2n＋1>－1.
解得a2n＋1>.④
综上，由②③④知存在c＝使得a2n0，
∴an＋1>0，∴an－a>0，
∴0，b2>，b3>.
猜想bn>(n∈N＋)．
下面利用数学归纳法证明．
①当n＝1时，∵b1＝2，∴0.
当n＝ ＋1时，b ＋1－＝－
＝
＝>0.
∴b ＋1>，也就是说，当n＝ ＋1时，结论也成立．
根据①②知bn>(n∈N＋)．
4．数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．
证明 ①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.
∵左边>右边，∴不等式成立．
②假设当n＝ ( ≥2，且 ∈N＋)时不等式成立，
即·…·>.
则当n＝ ＋1时，
·…·
>·＝＝
>＝＝.
∴当n＝ ＋1时，不等式也成立．
由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．
5．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．
证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立；
(2)假设当n＝ ( ≥1， ∈N＋)时等式成立，
即( ＋1)( ＋2)·…·( ＋ )＝2 ·1·3·5·…·(2 －1)，
那么当n＝ ＋1时，
左边＝( ＋1＋1)( ＋1＋2)·…·( ＋1＋ ＋1)
＝( ＋2)( ＋3)·…·( ＋ )(2 ＋1)(2 ＋2)
＝2 ·1·3·5·…·(2 －1)(2 ＋1)·2
＝2 ＋1·1·3·5·…·(2 －1)(2 ＋1)，
所以当n＝ ＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n∈N＋等式成立．
6．数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N＋)．
(1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c<0；
(2)若0xn，即xn＋1－xn＝－x＋c>0，
也就是证明xn<.
下面用数学归纳法证明当0xn，即{xn}是递增数列．
7．(2017·广州模拟)已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈时，f(x)≥.
(1)求a的值；
(2)设0
查看更多
