2018-2019学年河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中高一下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中高一下学期期中联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中高一下学期期中联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是(　　)‎ A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．以上都不对 ‎【答案】B ‎【解析】根据系统抽样的等距性判断抽样方法得解.‎ ‎【详解】‎ 由于号码为3,13,23，…，93为等差数列，符合系统抽样的性质特点，所以该抽样是系统抽样.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查系统抽样的定义及性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎2．将八进制数135(8)化为二进制数为(　　)‎ A．1 110 101(2) B．1 010 101(2)‎ C．1 111 001(2) D．1 011 101(2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】先将8进制数转化为十进制数，再由除取余法转化为二进制数，选出正确选项即可.‎ ‎【详解】‎ 由下图知，化为二进制数是 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除取余法”的方法 步骤是解答本题的关键.‎ ‎3．某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表：‎ x ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ y ‎50‎ ‎34‎ ‎41‎ ‎31‎ 据上表可得回归直线方程中的=－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为(　　)‎ A．48 B．45 C．50 D．51‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算平均数，利用=-4，可求的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为16元时 的销量.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ ‎∵=-4，‎ 回归直线方程为 时，件.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归直线方程的性质，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎4．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)‎ A．55.2,3.6 B．55.2,56.4‎ C．64.8,63.6 D．64.8,3.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先写出原来数据的平均数的公式和方差的公式，把数据都加上以后，再表示出新数据的平均数和方差的公式，两部分进行比较，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 设这组数据分别为，‎ 由其平均数为，方差是，则有，‎ 方差，‎ 若将这组数据中每一个数据都加上，则数据为，‎ 则其平均数为，‎ 方差为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数据的平均数和方差公式的计算与应用，其中熟记数据的平均数和方差的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎5．某学校高一、高二、高三共有学生3500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为 A．8 B．11‎ C．16 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】若设高三学生数为x，则高一学生数为，高二学生数为＋300，所以有x＋＋＋300＝3 500，解得x＝1 600.故高一学生数为800，因此应抽取高一学生数为＝8.‎ 故答案为：A 点睛：设出高一年级的人数，根据三个年级人数之间的关系，写出高二和高三的人数，根据学校共有的人数，得到关于高一人数的方程，解方程得到高一人数，用人数乘以抽取的比例，得到结果。本题考查分层抽样，在分层抽样之前有一个小型的运算，是一个基础题，运算量不大，可以作为选择和填空出现。分层抽样主要用于个体数量较多，且个体间具有明显差异的，这时采用分层抽样合适。‎ ‎6．如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是(　　)‎ ‎ ‎ A．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，根据条件，即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 根据程序框图，运行结构如下：‎ ‎ ‎ 第一次循环 10 9‎ 第二次循环 90 8‎ 第三次循环 720 7‎ 此时退出循环，故应填？‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本 题属于基础题.‎ ‎7．两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）‎ A．甲、乙两人的各科平均分相同 B．甲的中位数是83，乙的中位数是85‎ C．甲各科成绩比乙各科成绩稳定 D．甲的众数是89，乙的众数为87‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用中位数、众数、平均数、茎叶图的性质求解．‎ ‎【详解】‎ 对于选项A,甲的平均数，‎ 乙的平均数，所以选项A是正确的；‎ 对于选项B,由茎图知甲的中位数是83，乙的中位数是85，故选项B正确；‎ 对于选项C, 由由茎图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成绩比乙各科 成绩稳定，故选项C正确；‎ 对于选项D, 甲的众数是83，乙的众数是98，故选项D错误；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查平均数、中位数、众数的计算和概念，考查茎叶图的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎8．sin2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为(　　)‎ A．1 B．2sin2α C．0 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用诱导公式和同角的关系化简求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得原式=.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．利用秦九韶算法求f(x)＝x5＋x3＋x2＋x＋1当x＝3时的值为(　　)‎ A．121 B．283 C．321 D．239‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于函数，当 时，分别算出，，，，．即可得出．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ 当时，分别算出，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 即当时的函数值（3）．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了秦九韶算法计算函数值，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎10．矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为(　　)‎ A．7.68 B．8.68 C．16.32 D．17.32‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积 ‎【详解】‎ 由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：，‎ 又，解得：‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题。‎ ‎11．甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a-b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到所有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有种猜字结果，‎ 其中满足的有如下情形：‎ ‎①若，则，2；②若，则，2，3；‎ ‎③若，则，3，4；④若，则，4，5；‎ ‎⑤若，则，5，6；⑥若，则，6，‎ 总共16种，‎ 他们“心有灵犀”的概率为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题是古典概型问题，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．‎ ‎12．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）‎ A．15 B．16 C．17 D．18‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.‎ 详解：因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，‎ 因此根据经验公式计算出弧田的面积为，‎ 实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，‎ 因此两者之差为，选B.‎ 点睛：扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式 二、填空题 ‎13．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归方程：＝0.234x＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．‎ ‎【答案】0.234‎ ‎【解析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量对应的值，即可得到家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加的数字．‎ ‎【详解】‎ 因为y关于的线性回归直线方程：①‎ 年收入增加万元时，年饮食支出②‎ ‎②①可得：年饮食支出平均增加0.234万元.‎ 故答案为：0.234‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，用来预报当自变量取某一个数值时对应 的的值，属于基础题．‎ ‎14．已知，则值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】诱导公式.‎ ‎15．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为________．(表示B的对立事件)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意知试验发生包含的所有事件是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件 包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 随机抛掷一颗骰子一次共有6中不同的结果，‎ 其中事件 “出现不大于4的偶数点”包括2，4两种结果，（A），‎ 事件 “出现小于5的点数”的对立事件，‎ ‎（B），，‎ 且事件和事件是互斥事件，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件和对立事件的概率，分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不 可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件，属基础题．‎ ‎16．设函数为区间上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有，可以用随机模拟方法计算由曲线及直线， ， 所围成部分的面积，先产生两组每组个，区间上的均匀随机数和，由此得到V个点。再数出其中满足的点数，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题设中的规定可得从N个点得到满足的点数为，因此由随机模拟方法可得的近似值为，应填答案。‎ 三、解答题 ‎17．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，满足且的点在如图的正方形及其内部运动，而满足 的点在以为圆心且半径为2的圆及其内部运动．因此，所求概率等 于圆与正方形重叠部分扇形面积与正方形的面积之比，根据扇形面积和正 方形面积计算公式，即可求出本题的概率．‎ ‎【详解】‎ 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．‎ ‎∴所求的概率.‎ ‎【点睛】‎ 本题给出点满足的条件，求点到点距离小于或等于2的概率．着重考查了正方形、扇形面积计算公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．‎ ‎18．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：‎ 零件的个数x(个)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 加工的时间y(小时)‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；‎ ‎(2)求出y关于x的线性回归方程 ‎(3)试预测加工10个零件需要多少小时？‎ ‎【答案】(1)(2)(3)8.05‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意描点作出散点图；‎ ‎（2）由表中数据求得b=0.7，a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，从而解得；‎ ‎（3）将x=10代入回归直线方程，y=0.7×6+1.05=5.25（小时）．‎ 试题解析：‎ 解：（1）散点图如图.‎ ‎（2）由表中数据得: =52.5,‎ ‎=3.5, =3.5, =54,‎ ‎∴=0.7,∴=1.05,‎ ‎∴=0.7x+1.05,‎ 回归直线如图所示.‎ ‎（3）将x＝10代入回归直线方程，‎ 得＝0.7×10＋1.05＝8.05，‎ ‎∴预测加工10个零件需要8.05小时．‎ ‎19．已知α是第三象限角，.‎ ‎(1)化简；‎ ‎(2)若，求的值；‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】第一问利用 第二问∵∴从而，从而得到三角函数值。‎ 解：（1）‎ ‎（2）∵‎ ‎∴从而………………………8分 又为第三象限角 ‎∴………………………10分 即的值为 ‎20．某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.‎ 组号 分组 频数 频率 第一组 ‎[90,100)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第二组 ‎[100,110)‎ a ‎0.35‎ 第三组 ‎[110, 120)‎ ‎30‎ ‎0.30‎ 第四组 ‎[120,130)‎ ‎20‎ b 第五组 ‎[130,140]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 n ‎1.00‎ ‎(1)求a，b，n的值；‎ ‎(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．‎ ‎【答案】（1），，；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意，得，，，即可求解、、的值；（2）由第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，则第三、四、五组的人数，设出第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，即可利用古典概型求解其概率.‎ 试题解析：（1）依题意，得，，，‎ 解得，，；‎ ‎（2）因为第三、四、五组共有名学生，用分层抽样的方法抽取名学生，‎ 则第三、四、五组分别抽取名，名，名.‎ 第三组的名学生记为、、，第四组的名学生记为、，第五组的名学生记为，‎ 则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，，，，，，，，，其中第三组的名学生、、没有一名学生被抽取的情况有种，具体如下：、、，‎ 故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为.‎ ‎【考点】分层抽样；古典概型及其概率的计算.‎ ‎21．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.‎ ‎（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.‎ ‎【答案】（1）p=（2）‎ ‎【解析】（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，而取出的球的编号之和不大于4的事件 有两个，1和2，1和3，两种情况，求比值得到结果．（2）利用古典概型的概率公式求n≥m+2的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）从袋中随机抽取两个球，可能的结果有6种，‎ 而取出的球的编号之和不大于4的事件有两个，1和2，1和3，‎ 取出的球的编号之和不大于4的概率.‎ ‎ (2) 先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n≥m+2的概率为p=.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查古典概型的概率计算，考查学生分析问题、解决问题的能力．能判断一个试 验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本 事件的总数．‎ ‎22．在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.‎ ‎(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？‎ ‎(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）100（3）64.5‎ ‎【解析】由频率之和等于1可计算出第二小组的频率,再补全频率分布直方图；（2）由总数 频数频率计算；（3）根据频率分布直方图中的中位数计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.‎ ‎∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40.‎ ‎∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝＝0.04.‎ 则补全的直方图如图所示．‎ ‎(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人．‎ ‎∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，‎ ‎∴＝0.40，解得x＝100(人)．‎ 所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．‎ ‎(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5‎ 所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．‎ 设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5.‎ 所以中位数为64.5.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图中频数频率的计算，考查了中位数的计算和画统计图的能力．‎